专项09 平行+线段中点构造全等模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

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专项09  平行+线段中点构造全等模型综合应用【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF       口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：　        　．证明：（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．【解答】（1）已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC，证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F， ∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，∵点E是AC的中点，∴AE＝EC，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE＝EF＝DF，AD＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝DB，∴DB＝CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC，故答案为：DE∥BC，DE＝BC；（2）延长GE，CD交于点H， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△AGE≌△DHE（AAS），∴AG＝DH＝3，GE＝EH，∵DF＝4，∴FH＝DH+DF＝7，∵∠GEF＝90°，∴FE是GH的垂直平分线，∴GF＝FH＝7，∴GF的长为7． 【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AB，∴∠G＝∠BAD，∴∠G＝∠CAD，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB＝GE，∵GE＝FG+EF＝AF+EF，∴AF+EF＝AB；（2）结论：AF﹣EF＝AB．证明：如图②，延长AD、EF交于点G，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AB，∴∠G＝∠BAD，∴∠G＝∠CAD，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB＝GE，∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，∴AF﹣EF＝AB；（3）结论：EF﹣AF＝AB．证明：如图③，延长AD交EF于点G，∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD，∵EF∥AB，∴∠AGF＝∠PAD，∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（ASA），∴AB＝GE，∵EF﹣FG＝GE，∴EF﹣AF＝AB；【变式1-2】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AB+CD＝AC．【解答】解：（1）如图，延长AO交CD的延长线于点E，∵O为BD的中点，∴BO＝DO，在△AOB与△EOD中，∴△AOB≌△EOD，（ASA）∴AO＝AE，又∵OA⊥OC，∴AC＝CE∴CO平分∠ACD；（三线合一）（2）由△AOB≌△EOD可得AB＝DE∴AB+CD＝CD+DE＝CE∵AC＝CE∴AB+CD＝AC 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE．（2）连接EM，如果FM＝DM，判断EM与DF的关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，在△AED和△BFE中，，∴△AED≌△BFE（AAS）；（2）解：EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；理由如下：连接EM，如图所示：由（1）得：△AED≌△BFE，∴DE＝EF，∵∠MDF＝∠ADF，∠ADE＝∠BFE，∴∠MDF＝∠BFE，∴FM＝DM，∴EM⊥DF，∴ME垂直平分DF． 2．△ABC中，P是BC边上的一点，过P作直线交AB于M，交AC的延长线于N，且PM＝PN，MF∥AN，（1）求证：△PMF≌△PNC；（2）若AB＝AC，求证：BM＝CN．【解答】（1）证明：∵MF∥AN，∴∠MFP＝∠NCP，在△PMF和△PNC中，，∴△PMF≌△PNC（AAS）；（2）证明：由（1）得：△PMF≌△PNC，∴FM＝CN，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵MF∥AN，∴∠MFB＝∠ACB，∴∠B＝∠MFB，∴BM＝FM，∴BM＝CN．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．（3）求证：AD+BG＝DG．【解答】解：（1）如图1，∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∵AD∥BC，∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，∴△ADE≌△BFE；（2）如图2，EG⊥DF，理由是：∵∠ADF＝∠F，∠ADF＝∠GDF，∴∠F＝∠GDF，∴DG＝FG，由（1）得：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥FD；（3）如图2，由（1）得：△ADE≌△BFE，∴AD＝BF，∵FG＝BF+BG，∴FG＝AD+BG，∵FG＝DG，∴AD+BG＝DG．4．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．【解答】解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中，，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，AD＝FC．∵AD＝5，BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中，，∴AE＝AF＝6.5．5．阅读理解（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？　相等　（S表示面积）；应用拓展（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；解决问题（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．【解答】解：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．∵D是BC中点，∴BD＝CD，又∵S△ABD＝•BD•AE，S△ADC＝•CD•AE，∴S△ABD＝S△ADC．故答案为相等； （2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．在△DAE与△FBE中，，∴△DAE≌△FBE（AAS），∴DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，∴E是DF中点，∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC，∴S△DEC＝S△ADE+S△EBC；（3）如图所示：取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．  6．如图，直角△ABC，∠ABC＝90°，分别以AB、AC为直角边作等腰直角△ABD、△ACE，连接DE交AB于F，求证：BC＝2AF．【解答】证明：在AB上取点M，使AM＝BC，连接DM，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABC＝∠DAM，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AC＝DM，∠AMD＝∠ACB，∵AC＝AE，∴AE＝DM，∵∠ACB＝∠DAC，∴∠AMD＝∠DAC，∵∠CAE＝∠DAB＝90°，∴∠DAN＝∠BAE，∴∠AMD＝∠BAE，∵∠AFE＝∠DFM，∴△DMF≌△EAF（AAS），∴AF＝FM，∴BC＝AM＝2AF．7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积．【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：∵AD∥BC，∴∠M＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠M，∴AB＝MB，∵AE⊥BE，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC；（2）证明：∵AB＝MB，BE⊥AE，∴AE＝ME，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（SAS），∴AD＝MC，∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，∴△ABM的面积＝2×4＝8，∵△ADE≌△MCE，∴△ADE的面积＝△MCE的面积，∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点．（1）求证：S△CED＝S△ADE+S△BCE．（2）当CE＝DE时，判断BC与CD的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，∵E是AB中点，∴AE＝BE，在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF（AAS），∴DE＝EF，S△AED＝S△EBF，∴S△DEC＝S△EFC＝S△ADE+S△BCE．（2）解：当CE＝DE时，BC⊥CD．理由：∵△AED≌△BEF，∴DE＝EF，∵CE＝DE，∴CE＝DE＝EF，∴∠F＝∠ECF，∠ECD＝∠CDE，∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE＝180°，∴∠FCD＝90°，∴BC⊥CD．