专题03+方程与恒等变换竞赛综合-【初中数学竞赛】50题真题专项训练（全国竞赛专用）

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【初中数学竞赛】
专题03 方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练
（全国竞赛专用）

一、单选题
1．（2021·全国·九年级竞赛）把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（    ）．
A．不存在 B．有一组 C．有两组 D．多于两组
【答案】C
【详解】设三个连续的正整数分别为，n，（n为大于1的整数）．当一次项系数是或n时，均小于零，方程无实数根；当一次项系数是1时，．
因为n为大于1的整数，所以，要使，n只能取2．
当时，方程均有整数根，故满足要求的（a，b，c）只有两组：、．
2．（2021·全国·九年级竞赛）在方程组中，x，y，z是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（ ）
A．6 B．3 C．多于6 D．少于3
【答案】A
【详解】利用，把原方程组转化为解不定方程．
因为

，
所以，从而得，
即．
因此x，y，z中一定是两正一负，且．
又，
则上述两种组合中，只有符合条件．
所以或或或或或
共有6个解．故选A．

二、填空题
3．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则________．
【答案】10
【详解】解  因，
由知，
所以，于是，
因此，．
故填10．
4．（2021·全国·九年级竞赛）若，且方程的两根均为奇数，则此方程的根为_________．
【答案】
【详解】填．理由：设是方程的两个根，则
．
因为均为奇数，故为偶数，为奇数．
又，
则．
故．
由，解得．
从而，．
所以，或4，即或．
当时，，符合题意；
当时，与均为无理数，不合题意，舍去．
故原方程的根为．
5．（2021·全国·九年级竞赛）以下算式中，相同的汉字代表相同的数字．已知“神舟”，“号”，那么六位数“飞天神舟六号”=_______．

【答案】102564．
【详解】设“飞天”，“六号”，则题设算式可化为
，
化简得
即，
即．
两边约去13得，即，64与41互质，64整除y．故．
“号”与题设符合．
代入得．
于是“飞天神舟六号”．
6．（2021·全国·九年级竞赛）已知一个矩形的长、宽分别为正整数a，b，其面积的数值等于它的周长的数值的2倍，则______或________．
【答案】     25     18
【详解】根据题意，得，
即，
则．
因为a，b均为正整数，且，所以一定是16的正约数．
当分别取1，2，4，8，16时，代入上式得：
时，；
时，；
时，（舍去）；
时，（舍去）；
时，（舍去）．
因此或18．
故应填25，18．
7．（2021·全国·九年级竞赛）一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过___________．
【答案】4
【详解】设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，则蓝球有个．
根据题意，得，
即．
易知，x的最大值是4，即小明摸出的10个球中至多有4个红球．
8．（2021·全国·九年级竞赛）篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么其中排球的个数是__________．
【答案】17或9或1
【详解】设足球有x个，排球有y个，则，
即．
当时，；当时，；当时，．
所以排球的个数是17或9或1个．
9．（2021·全国·九年级竞赛）某一次考试共需做20个小题，做对一个得8分，做错一个扣5分，不做的得0分．某学生共得13分，那么这个学生没做的题有_______个．
【答案】7
【详解】设该生做对x个题，做错y个题，没做的题目有z个，则
所以．
又8与13互质，则被13整除．
而，所以，从而．
所以这个学生没做的题有7个．
10．（2021·全国·九年级竞赛）两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是___________．
【答案】663
【详解】设这两个正整数为．
根据题意，可得，
则，
即．
因为，即，且a，b中有一个是完全平方数，故，
所以
则．
11．（2021·全国·九年级竞赛）某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然数是__________．
【答案】198
【详解】所求数不可能是一位数，四位数及四位以上的数．故只考虑两位数及三位数．
（1）设所求自然数是，则，
即，
此方程无满足条件的解．
（2）设所求自然数是，则，
即．
显然x只可能是1，因此，只有一组解：．
故所求的数是198．
12．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是_________．
【答案】
【详解】设三角形的三边长分别为a，b，c，且，则．
可得，即．
又因为，所以，即．
故，c可取4或5．
当时，，所以．
此时三角形面积为；
当时，．当时，．此时，不合题意．
当时，．此时三角形面积为；
当时，．
此时三角形为直角三角形，三角形面积为．
显然，所以所求最大面积为．
13．（2021·全国·九年级竞赛）一个两位数除以它的反序数所得的商数恰等于余数，则这个两位数是__________．
【答案】52
【详解】设这个数为，它除以它的反序数的商数是q，则其反序数为．
于是，q为自然数，
即．
当时，，此方程无整数解；
当时，有．可知y是偶数．
当时，．
而当或6或8时，x无整数解．
所以当时，．
进一步，当时，有，
当时，x无整数解；而当时，，即x无满足条件的解．
当时，有．
因为此方程右边4不被3整除，所以无解．
最后，当时，有．
所以，不可能有解．
综上所述，所求数等于52．
14．（2021·全国·九年级竞赛）某个两位自然数，它能被其各位数字之和整除，且除得的商恰好是7的倍数，写出符合条件的所有两位数是_________．
【答案】21，42，63，84
【详解】设所有两位数是，则．
其中k是正整数，且为7的倍数．
当时，，即．
当时，；时，；时，；时，．
当时，，
即．
此方程无正整数解．
当，方程均无正整数解．
所以满足条件的两位数是：21，42，63，84．
15．（2021·全国·九年级竞赛）小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用大、小盒子多于10个，则大盒子数为________，盒子数为__________．
【答案】     2     15
【详解】设大盒子有x个，小盒子有y个．
根据题意，得，从而．
因为x，y都为整数，所以x可取2或7．
当时，；当时，．
因为，所以．
16．（2021·全国·九年级竞赛）设平方数是11个相继整数的平方和，则y的最小值是__________．
【答案】－11
【详解】理由：设11个相继整数为，则，
即．
显然，y最小时，只能是．
所以y取最小值．
17．（2021·全国·九年级竞赛）一个三位数，它等于它的各位数码之和的12倍．试写出所有这样的三位数_________．
【答案】108
【详解】设这样的三位数为，则
，
即．
因为a，b，c均为整数，且，所以，得．
又因为，所以只能．
18．（2021·全国·九年级竞赛）一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是___________．
【答案】1972
【详解】设这个四位数为，根据题意，得
，
即．
（1）若，则，所以．从而．
（2）因为的最大值为，所以，即，从而．
（3）由于，则．
所以或7．
当时，，得（舍去）；
当时，，得．
故这个四位数是1972．
19．（2021·全国·九年级竞赛）n是一个非立方的四位数，且它仅有4个正约数，除了它本身之外其他三个约数的和等于1000，那么这个四位数n是___________．
【答案】1994
【详解】由题意，，且p，q均为质数，则，即．
以p，q中必有一个为偶质数2，另一个为997．
从而有．
20．（2021·全国·九年级竞赛）方程在正整数范围内的解是_________．
【答案】或
【详解】由，得，所以x只能取1，2，3．
当时，；当时，y无正整数解；当时，．
所以所求方程的解为或
21．（2021·全国·九年级竞赛）方程有_________组正整数解．
【答案】5
【详解】理由：因为，
所以，
则，
即．
原方程可化为，
则．
所以42能被y整除．
所以y可取6，7，14，21，42．相应地得到五组解：

22．（2021·全国·九年级竞赛）已知三角形的三个角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个角的度数分别是__________．
【答案】
【详解】设三角形的三个角的度数分别是x，y，z，且，则．
所以x，y，z中必有一个偶质数2，得，y，z必为奇数．
若，则，与矛盾．
所以，得．
因此，三角形三个角的度数分别是．
23．（2021·全国·九年级竞赛）若质数m，n满足，则的值为_________．
【答案】19或25
【详解】因为m，n为质数，且，所以m，n中必有一个是偶质数．
若，则；若，则．
所以的值为19或25．

三、解答题
24．（2021·全国·九年级竞赛）（1）设x是实数，证明： ，
（2）求之值
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解  （1）设，则．
若，则，于是
，
所以
若，则，于是
，
所
综上所述，对任何实数x， 成立．
（2）由（1）知
令，再将各式相加得

．
注：从以上各例看出，求解有关及的问题的关键是： 及的定义和基本不等式．只要将及的定义与不等式结合起来进行计算和讨论，就能找到解决问题的途径．
25．（2021·全国·九年级竞赛）3设a，b，c是正数，且，证明： ．
【答案】见解析
【详解】证明  注意到，设 （x，y，z为正实数），则
原不等式
．①
设，则
．
于是①．②
不妨设，则．如果，那么
，不等式②成立；
如果，又，那么
即②成立．
26．（2021·全国·九年级竞赛）若，证明： ．等号成立当且仅当．
【答案】见解析．
【详解】解  原不等式
．①
而故①成立．等号成立当且仅当．
注： 称为三个正数a，b，c的调和平均值．故本例的结论可写为3个正数的算术平均值不小于它们的调和平均值，等号成立当且仅当这3个正数都相等．
②本题可直接用算术平均值不小于几何平均值来证明：
又故
．
27．（2021·全国·九年级竞赛）若，则，等号成立当．
【答案】见解析
【详解】证明  经去括号，移项整理知，要证不等式等价于： ．
而由3个正数的平均值不等式得
．
故原不等式成立．等号成立当且仅当
28．（2021·全国·九年级竞赛）已知为实数且，证明： ．
【答案】见解析
【详解】证明  因为，设，于是，由已知条件中第二个不等式得
，
即，
所以．由对称性得．
注：①本题也可以用不等式来证明：因为，
于是，下面解法与前述相同．
②例12和例13中的代换称为平均值代换．
29．（2021·全国·九年级竞赛）设且，证明： ．
【答案】见解析
【详解】证明注意到，原不等式等价于
①
故要证①成立，只要证
而由平均值不等式有

．
同理，故①成立，从而原不等式成立．
30．（2021·全国·九年级竞赛）是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？
【答案】存在满足题设的质数，理由见解析
【详解】设方程有有理数根，则判别式为平方数．
令，其中，n是一个非负整数，
则．
由于，且与同奇偶，故同为偶数．
因此，有如下几种可能情形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）．
对于情形（1）、（3），，从而，；
对于情形（2）、（5），，从而（不合题意，舍去）；
对于情形（4），q是合数（不合题意，舍去）
又当时，方程为，它的根为，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数．
31．（2021·全国·九年级竞赛）已知b，c为整数，方程的两根都大于且小于0．求b和c的值．
【答案】
【详解】根据二次函数的图象和题设条件知：
当时，，有；            ①
当时，，有．            ②
因抛物线顶点的横坐标满足，
则．            ③
又因，即，故．            ④
由①、③、④得．
若，则由②、④得且，得；
若，则且，无整数解；
若，则且，无整数解；
若，则且，无整数解．
故所求b，c的值为．
32．（2021·全国·九年级竞赛）试求两个不同的自然数，它们的算术平均数A和几何平均数G都是两位数，其中A，G中一个可由另一个交换个位和十位数字得到．
【答案】98和32
【详解】设这两个自然数为，则
即是方程的两个根，所以应为自然数，即为完全平方数．
设，则，
可得．
因此，11整除或，但，故11整除．
由，得，则必须是完全平方数．
由，知是一个奇数，但，所以．
由得
所以．
故．
因此，所求两数为98和32．
33．（2021·全国·九年级竞赛）已知方程的根都是整数，求整数n的值．
【答案】整数n的值为，，0，10
【详解】解得．
因为方程的根都是整数，所以，是完全平方数．设，，则有．
因为，
分别解得．
所以，整数n的值为，，0，10．
34．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且，求的最小值．
【答案】4
【详解】由已知得，即．
又，则，即，故，
．
因，则，即，故的最小值为4．
35．（2021·全国·九年级竞赛）已知p为质数，使二次方程的两根都是整数，求出p的所有可能值．
【答案】或7
【详解】为完全平方数，从而为完全平方数．
令，注意到，故，且n为整数，于是，
则中至少有一个是5的倍数，即（k为整数）．
则．
由p为质数，知或7．
当时，原方程变为，得；
当时，原方程变为，得．
所以，或7．
36．（2021·全国·九年级竞赛）已知n为正整数，且能被整除，试求n的值．
【答案】
【详解】设（k为整数），则关于n的一元二次方程的判别式一定是完全平方数．
解  设（k是整数），则
，
且应为完全平方数．
因为


，
所以，从而．
于是，，有，
解得（不合题意）或57．
所以．
37．（2021·全国·九年级竞赛）试求出这样的四位数，它的前四位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
【答案】四位数为2025或3025
【详解】设这个四位数前后两个两位数，分别是x，y，则，且，
展开得关于x的二次方程：．
当时，方程有实数解．
即当时，方程有解．
因为x为整数，故必为完全平方数，而完全平方数的末位数字仅可能为0，1，4，5，6，9．
故仅当时，，此时或20．
故此四位数为2025或3025．
38．（2021·全国·九年级竞赛）已知m，n为整数，n为整数，且满足，求m，n的值．
【答案】或
【详解】以m为主元，得关于m的一元二次方程．
因为m有整数解，所以，
解得．
又n为整数，所以．
又方程有整数解，则必为完全平方数，从而．
当或时，代入原方程均有，
解得（舍去）．
故或．
39．（2021·全国·九年级竞赛）a为整数，若存在整数b和c使，求整数a的值．
【答案】a的值为9，，
【详解】依题意知方程有两整数根．
而，
则有

解得
由此可以看出每一个a对应两个整数，因此所求的整数a的值为9，，．
40．（2021·全国·九年级竞赛）b都是大于1的整数，a，b为何值，方程有两个整数根．
【答案】当时，方程有两个整数根
【详解】，所以方程的两根是．
（ⅰ）若，则．
所以被b整除，得b整除5．
故
（ⅱ）若，因是奇数，
所以是奇数，，
即，则．
可知．
又因为是奇数，所以是奇数．
下面分两种情况讨论：
①如果，则．
所以a整除，可得a整除3．
所以．
②如果，则．
因为a整除，所以整除．
当时，不能整除；
当时，整除；
当时，，则不能整除．
综上，当时，方程有两个整数根．
41．（2021·全国·九年级竞赛）m，n为正整数，关于x的方程有正整数解．求m，n的值．
【答案】
【详解】设方程的两个根为，则

由m，n，，均为正整数，不妨设．
于是，，
即．
则或或
解得或或
所以．
42．（2021·全国·九年级竞赛）所有的整数a，使得关于x的一元二次方程的两根皆为整数．
【答案】6
【详解】设方程的两根为，于是，整数，
即方程①为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式必为完全平方数．
设，
即，
故．
又，
则或或或
分别解得．
因a为整数，且当时，无意义，所以，只有，此时，方程①变为，它有两个整数根7和．
因此，所求的整数为．
43．（2021·全国·九年级竞赛）a，b都是正整数．试问：关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
【答案】当且仅当时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为
【详解】不妨设，且方程的两个整数根为，则有
．
所以，．
故．
因为a，b都是正整数，所以，均是正整数．
于是，．
故            ①
或            ②
（1）对于方程组①，由于a，b都是正整数，且，可得．此时，一元二次方程为，它的两个根为．
（2）对于方程组②，可得．此时，一元二次方程为，它无整数解．
综上所述，当且仅当时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为．
44．（2021·全国·九年级竞赛）有三个都不为0且互不相同的数码，用它们组成各个可能的三位数（不重复使用数码），其和为2886，如果把这三个数码从小到大排成一个三位数，又从大到小排列成一个三位数，这两个数的差是495，这三个数码是什么？
【答案】，．
【详解】根据题意，用不同的字母表示三个数码可以列出一些方程．
设这三个数码从小到大顺次为x，y，z，用它们排成的三位数有：
，                  ①
，                  ②
，                  ③
，                  ④
，                  ⑤
．                  ⑥
根据题意，将6个数相加，得，
即．                  ⑦
又由⑥减去①得，
即．                  ⑧
将⑧代入⑦得．
若，不合题意．
若，也导出矛盾．
若，则y非正数．
故只能，从而．
45．（2021·全国·九年级竞赛）设a，b，c都是奇数，证明方程没有有理根．
【答案】见解析．
【详解】由题意，为完全平方数．由于为奇数，所以可设，或．
由于b，d都为奇数，所以，但为奇数，即．
因此，不是平方数，从而原方程没有有理根．
46．（2021·全国·九年级竞赛）一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999，求这个四位数，并说明理由．
【答案】1976
【详解】设这个数为，依题意，得，
即．
（ⅰ）显然．否则，．
两边减去1001，得．
（ⅱ）因为的最大值为，
故，
即，
则．
（ⅲ）由于，则．
所以或．
当时，，则；
当时，，则（舍去）．
故这个四位数是1976．
47．（2021·全国·九年级竞赛）有一个四位数，它的个位上的数字比十位上的数字少3，并且它的数字倒排所成的新四位数与原四位数之和为8987．求这个四位数，并写出推理过程．
【答案】1996
【详解】设这个四位数千位上是a，百位上是b，十位上是c，那么个位上是．
这个四位数是，
新四位数是．
根据题意，得，
，
．
因为，1090被10整除，而10与91互质，所以被10整除．
又因为，所以，得．
因此可得，则，继而．
故这个四位数是1996．
48．（2021·全国·九年级竞赛）两位数能整除十位数字为零的三位数，求．
【答案】符合条件的两位数一共有12个：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90
【详解】设（n为自然数），则
，
所以．
由于，因此可得．
分析n取值从1到10，符合条件的两位数一共有12个：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90．
49．（2021·全国·九年级竞赛）如果一个自然数正好等于其各个数位上的数字之和的13倍，试求出这样的自然数，并说明理由．
【答案】117，156，195
【详解】首先排除这个数是一位数，假设这个数是两位数，则，
即．
此方程无满足条件的解．
假设这个数是三位数，则
，
即，
得．
因为，所以，得．
从而．
这里b只能是奇数1，3，5，7，9．
经检验，；；符合条件．
于是或156或195．
当这个数是四位数或四位以上数时，它的数字和的13倍小于这个数．
所以满足条件的自然数有117，156，195．
50．（2021·全国·九年级竞赛）一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区，他们出发后以每天的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？
【答案】
【详解】设考察队到生态区用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则

方程②的特解为，方程②的一切整数解为（t为整数），则．又，仅当才符合题意，这时．