专题06+逻辑推理竞赛综合-【初中数学竞赛】50题真题专项训练（全国竞赛专用）

【初中数学竞赛】

专题06 逻辑推理竞赛综合-50题真题专项训练

（全国竞赛专用）

1．（2021·全国·九年级竞赛）有一个黑盒和8个分别标上1，2，…，8的白盒，8个白盒中共有8个球，允许进行如下操作：若标号为的白盒内恰有个球，则取出这个球，分别放入黑盒及标号为1，2，…，的白盒中各一个球．证明：存在唯一一种放法，使得8个球开始都在白盒中，经过有限次操作后，使球全部在黑盒中．

2．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知矩形ABCD的边AB=21，BC=19，r是给定的小于1的正实数．

(1)在矩形ABCD内任意放入114个直径为1的圆．证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；

(2)在矩形ABCD内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）．证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）．

3．（2021·全国·九年级竞赛）表（1）是一个英文字母显示盒，每一次操作可以使一行4个字母同时改变或者使某列4个字母同时改变，改变的规则是按照英文字母表的顺序，每个字母变成它们下一个字母（即变成，变成，…，变成，变成）．问能否经过有限次操作，使表（1）变成表（2）？如果能，请写出变化过程；如果不能，请说明理由．

（1）                           （2）

4．（2021·全国·九年级竞赛）正五边形的每个顶点对应一个整数，使得5个整数的和为正数，若其中相邻3个顶点上的整数依次为，，且，则要进行以下调整：整数，，分别换成，，．要是5个整数中至少还有一个是负数，这种变换还要继续下去．问：这样的变换进行有限次后是否必然终止？

5．（2021·全国·九年级竞赛）假设黑板上已写一个数2，然后甲、乙两人轮流写数，若刚才写的数为，则接着写的人可以写至中任意一个数，若甲先写，谁先写出2010则谁获胜．问谁有必胜策略？

6．（2021·全国·九年级竞赛）A，B，C三人做游戏，规则如下：三张牌每张上写一个正整数，这三个数是，且，三张牌混合后再分给三个人，使每人各得一张，再按牌上的数分得小球，接着将牌收回重发，但分得的小球仍留在各人手中，这个游戏（发牌、分球、收牌）至少要进行两次，最后一次结束后，A，B，C分别得20，10，9个球，还知道B在最后一次游戏中得r个球问：谁在第一次得q个球?

7．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人轮流做如下游戏：甲每次可将平面上某点标以红色，乙接着将平面内10个未染色的点标以绿色．甲先开始，如果到某步有3个红点成为一个等边三角形的三个顶点，那么甲获胜问：是否乙总可以做到不让甲获胜？

8．（2021·全国·九年级竞赛）这里有8个人在说话，他们说的话包括自己在内，请认真读他们说的话，然后回答下列问题：

张一：“我们中间至少有1个人说的是正确的．”

王二：“我们中间至少有2个人说的是正确的．”

赵三：“我们中间至少有3个人说的是正确的．”

李四：“我们中间至少有4个人说的是正确的．”

钱五：“我们中间至少有1个人说的是错误的．”

徐六：“我们中间至少有2个人说的是错误的．”

亚七：“我们中间至少有3个人说的是错误的．”

孙八：“我们中间至少有4个人说的是错误的．”

说错话的是谁?（有几个人就画上几个记号，如果没有就回答没有）

9．（2021·全国·九年级竞赛）某大学的四位学生张亮、胡佳、李坤和王勇分别来自北京、上海、湖南和黑龙江，他们学的专业分别是数学、物理、计算机和英语．除此以外，还知道：

（1）张亮学习的专业是数学和物理中一门，不是南方人；

（2）胡佳是南方人，学的专业既不是数学也不是物理；

（3）李坤和北京来的学生及学数学专业的学生三人同住在一栋宿舍；

（4）湖南来的学生学的专业不是计算机；

（5）王勇不是北京来的学生，年龄比黑龙江来的学生以及学计算机的学生这二人都小．

根据这些情况，你能否判断这四位学生各来自什么地方?各学习什么专业?

10．（2021·全国·九年级竞赛）世界杯足球赛第一轮比赛中，每个小组有4支球队，每两队之间各赛一场，胜者得3分，负者得零分，平局时两队各得1分，每个小组总分多的两个队出线，进入第二轮比赛．

（1）有人说：“得6分的队一定出线，得2分的队一定不出线．”请判断并说明对错；

（2）如果小组比赛中至少有一场平局，那么上述说法是否正确?

11．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同．问丁胜了几场？

12．（2021·全国·九年级竞赛）能否找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个之积与2002的和是完全平方数？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．

13．（2021·全国·九年级竞赛）13位小运动员，他们身穿运动服的号码分别是号，问这13名运动员能否站成一个圆圈，使任意相邻两名运动员的号码数之差的绝对值不小于3且不大于5．如果能，试举一例；如果不能，说明理由．

14．（2021·全国·九年级竞赛）证明：在平面直角坐标系中，不存在以整点为顶点的正三角形．

15．（2021·全国·九年级竞赛）100名运动员参加赛跑，已知其中任意12人中总有2人是彼此熟悉的，求证：运动的号码不论如何编排（未必是从1到100），总可以找到两个彼此熟悉的运动员，他们的号码的最高数位的数字相同．

16．（2021·全国·九年级竞赛）在一次马拉松长跑比赛上，有100位选手参加，大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手，选手们被要求在比赛结束时，将自己的号码布上的数与到达终点时的名次相加，并将这个和数交上去．问：这样交上去的100个数的末2位数字是否可能都不同？请回答可能或不可能，并清楚地说明理由（注  没有同时到达终点的选手）．

17．（2021·全国·九年级竞赛）（1）是否存在正整数使？

（2）设是给定的正整数，是否存在正整数使？

18．（2021·全国·九年级竞赛）设甲有一条长为的线段，乙有一条长为的线段，甲先将自己的线段分成3段．然后乙也将自己的线段分成3段，如果可用分得的6条线段组成两个三角形，则乙胜；否则甲胜．问甲、乙两人谁能根据比值的大小保证自己获胜？他该如何进行？

19．（2021·全国·九年级竞赛）在六张纸片的正面分别写上整数，打乱次序后，将纸片翻过来，在它的反面也随意分别写上这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数之差的绝对值．请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的．

20．（2021·全国·九年级竞赛）已知平面内任意四点，其中任意三点不共线．试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一个内角不大于？请证明你的结论．

21．（2021·全国·九年级竞赛）在中任选20个不同的数，其中至少有4个不同的数使得．

22．（2021·全国·九年级竞赛）一群小朋友购买售价是3元和5元的两种商品，每人购买的商品最少是1件，他们也可以购买相同的商品，但每人购买的总金额不超过15元．若小朋友中至少有三人购买的两种商品的数量完全相同，问这群小朋友最少有多少人？

23．（2021·全国·九年级竞赛）将数字任意填在八边形的顶点处，每个顶点上恰填一个数字，记上所填3个数字之和为．

（1）试给出一种填法，使每个都大于或等于12；

（2）请证明任何填法都不可能使每个都大于或等于13．

24．（2021·全国·九年级竞赛）证明：10个互不相同的两位数中，一定可选出两组数，使这两组没有公共的数，而且两组中各数的和相等．

25．（2021·全国·九年级竞赛）一个书架有五层，从下到上依次为第一层，第二层，…，第五层．今把15册图书分放在书架的各层上，有些层可不放．证明：无论怎样放法，书架每层上的图书册数以及相邻两层上图书册数之和，这些数中至少有两个是相等的．

26．（2021·全国·九年级竞赛）某学生为了准备参加数学竞赛，连续做了5周习题，他每天至少做一道习题，每周至多做10道习题．证明：他一定在连续若干天内恰做了19道习题．

27．（2021·全国·九年级竞赛）从正整数中任取n个数．

（1）求证：当时，无论怎样选取n个数，总存在其中4个数的和等于4017；

（2）当（n是正整数），上述结论是否成立？请说明理由．

28．（2021·全国·九年级竞赛）平面内任给5个点，其中任意3点不共线证明：这5点中必有4点构成一个凸四边形的四个顶点．

29．（2021·全国·九年级竞赛）桌上放着2010根火柴，甲、乙两人轮流从中取走火柴，每次可取走1根或2根火柴，甲先取．谁先取到最后一根火柴谁获胜．问谁有获胜策略？他应该怎样操作？

30．（2021·全国·九年级竞赛）（1）将从1到2010的正整数任意分为10组，使得每个数恰属于一组．证明：存在两个正整数属于同一组且；

（2）试将从1到2009的正整数适当地分成10组，使每个数恰属于一组且不存在两个正整数属于同一组且满足．

31．（2021·全国·九年级竞赛）20个球队比赛若干场后发现每两个队至多比赛了一场，并且任意3个队中必有两个队比赛了一场．证明：这时至少比赛了90场，并请安排一种比赛方法使得20个队之间恰比赛了90场并且每两个队至多比赛一场，而每3个队中必有两个队比赛了一场．

32．（2021·全国·九年级竞赛）一个盒子内装有200根火柴，甲、乙两人轮流从盒子内取火柴，每次至少取1根火柴，至多取20根火柴，且拿到最后一根火柴的人获胜问是先取火柴的甲还是后取火柴的乙有必胜策略？

33．（2021·全国·九年级竞赛）在的方格纸带的最左端的小方格内放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动这枚棋子，每移动一次只允许棋子向右移1格，10格或11格，谁把棋子移到最右端方格内，则谁赢．问是先走的甲还是后走的乙有必胜策略？

34．（2021·全国·九年级竞赛）将正2010边形的顶点相间染红、蓝两色，甲、乙两人轮流画两端点同色的对角线，但不能与自己前面画的对角线相交，也不能画已经画过的对角线．甲先画，谁不能画了就算谁输．问甲必胜还是乙必胜？

35．（2021·全国·九年级竞赛）甲、两人进行如下游戏，甲先开始两人轮流从1，2，3，…，100，101中每次任意勾去9个数，经过11次勾掉后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数．试证不论乙怎么做，甲可保证自己至少得55分．

36．（2021·全国·九年级竞赛）已知30个数1，2，3，…，30．甲、乙两人轮流将“”号或“”号放在这些数的前面（放的顺序不限），30步后计算代数和的绝对值．甲要使尽量小．而乙则要使尽量大，乙能保证的最大值是多少？

37．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人在一个的方格纸上玩填数游戏：甲先填且两人轮流在空格中填数，甲每次选择一个空格写上数字1，乙每次选择一个空格写上数字0，填完后计算每个正方形内9个数之和，并将这些和数中的最大数记为．甲尽量使增大，乙尽量使减小，问甲可使获得的最大值是多少？

38．（2021·全国·九年级竞赛）将4粒围棋子均匀放在一个圆周上，若相邻两粒棋子同色，则在它们之间放一粒黑子，若相邻两粒棋子不同色，则在它们之间放一粒白子，然后把原来的4粒棋子拿走．证明：经过若干次这样操作以后，所有棋子都为黑子，并且这样的操作至多进行4次．

39．（2021·全国·九年级竞赛）黑板上写有个实数，允许从中擦去两个数，例如和，而写上另一个数，这种操作进行次，最后黑板上只剩下一个数．已知开始时黑板上写的个数都是1，求证：最后剩下的那个数不小于．

40．（2021·全国·九年级竞赛）在凸边形的顶点处放置一些火柴，每次操作允许将某个顶点处的两根火柴移动，分别放到它两侧相邻的顶点处各1根．求证：如果若干次移动后，各顶点处的火柴数恢复到和原来的一样，那么操作次数为的倍数．

41．（2021·全国·九年级竞赛）6只盘子排成一行，每次操作任取两只盘子将它们移动到相邻（或左或右）的位置上，盘子可以重叠，问能否经过有限次操作使6只盘子叠在一起？

42．（2021·全国·九年级竞赛）已知黑板上写着两个数：1和2，现允许按如下规则写出新的数：当黑板上有和时，可以写上数．试问：能否在黑板上写出数13121和12131？

43．（2021·全国·九年级竞赛）将4个数1，9，8，8写成一行并进行如下操作：对每一对相邻的数，用右边的数减去左边的数，然后将所得之差写在这两个数之间，算是完成了一次操作，然后再对这个由7个数排成的数进行同样的操作．如此继续下去，共操作100次，求最后得到的一行数的和．

44．（2021·全国·九年级竞赛）现有一个正方体和2种颜色：红色和绿色．甲、乙两人做如下游戏：甲先选取正方体的3条棱，并将它们涂上红色，乙从尚未涂色的棱中选取3条棱，并将它们涂上红色，最后乙将剩下的3条涂上绿色．谁能首先把一面的四条棱涂成相同的颜色，谁就获胜．问甲有必胜策略吗？

45．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人轮流在的方格棋盘上放置棋子，甲执白先放，乙执黑后放．每颗棋子都放于空格之中，但若一空格的4个邻格（即有公共边的方格）已被同色棋子占领，则禁止在其中再放此种颜色的棋子．若轮到某人着棋时无处下子，则此人告负，问当双方都采取正确策略时，谁能获胜？

46．（2021·全国·九年级竞赛）甲乙两人轮流在一张的方格表上进行游戏，每次每人可涂黑一个以网格线为边的的正方形，但该正方形中不能有已被涂黑的部分，即每个小方格只能被涂黑一次．甲先开始且两人轮流进行，谁涂黑了最后一个小方格，谁就获胜．问在两人都正确操作的情况下，谁有必胜策略？说明理由．

47．（2021·全国·九年级竞赛）在的矩形方格纸的左下角的方格中放有一枚棋子，甲、乙两人进行如下游戏：甲先且两人轮流移动棋子，每次可将棋子向上或向右移动若干格，最后无法移动棋子者为负方．问谁有必胜策略？说明理由．

48．（2021·全国·九年级竞赛）在方格表中每一方格内任意写上或中一个数，然后允许进行如下操作：每格中的数用所有与它相邻的方格（有公共边的方格）中的数之积代替．问能否经过有限步操作使小格中的数都变成？

49．（2021·全国·九年级竞赛）有三堆石子数分别是19，8，9，现进行如下操作：从三堆中的任意二堆中分别取出1个石头，然后把这两个石头都放入第三堆中．试问：能否经过这样有限次操作使得

（1）三堆的石子数分别为2，12，22？

（2）三堆的石子数均为12？

50．（2022·福建·九年级统考竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组若．求的最小值．

必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设，为两组实数，是的任一排列，则．