中考数学二轮复习第07讲 一元二次方程（易错点梳理+微练习）（含解析）

第07讲  一元二次方程易错点梳理

易错点01  忽略一元二次方程中这一条件

在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02  利用因式分解法解一元二次方程时出错

（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；

（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；

（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03  利用公式法解方程时未将方程化为一般形式

在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定，然后再代入公式。

易错点04  根的判别式运用错误

运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定。

易错点05  列方程解应用题时找错等量关系

列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。

考向01  一元二次方程的有关概念

例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（    ）

A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2

【答案】B

【思路分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；

【解析】解：将x=-2代入原方程得到：，解关于k的一元二次方程得：k=0或4，故选：B．

【点拨】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．

例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）

A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0

【答案】B

【思路分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.

【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，

所以此时方程为： 即：

小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，

所以此时方程为： 即：

从而正确的方程是： 故选：

【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.

考向02  一元二次方程的解法

例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将两边开平方，得，则则另一个一元一次方程是．故选D．

例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程，配方后可形为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【思路分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可

【解析】解：

x2-8x=2，

x2-8x+16=18，

（x-4）2=18．

故选：A．

【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

考向03  一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数由m的值确定

【答案】A

【思路分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．

【解析】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，

∴，

∴方程有两个不相等实数根．

故选A.

【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．

例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【答案】B

【思路分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．

【解析】解：∵m是一元二次方程的实数根，

∴，

∴，

∴，

∵m、n是一元二次方程的两个实数根，

∴，

∴，

故选：B．

【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．

考向04  列一元二次方程解应用题

例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．

（1）求该商品每次降价的百分率；

（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

【答案】（1）10%；（2）6件

【思路分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；

（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．

【解析】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，

60（1-x）2=48.6，

解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），

答：该商品每次降价的百分率是10%；

（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，

由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，

解得a≥，

∵a为整数，

∴a的最小值是6，

答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．

【点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．

例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

【答案】5

【思路分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．

【解析】解：设这个最小数为．

根据题意，得．

解得，（不符合题意，舍去）．

答：这个最小数为5．

【点拨】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．

一、单选题

1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程，下列说法：

①若，则；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若是方程的一个根，则一定有成立；

④若是一元二次方程的根，则．

其中正确的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，

由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b2-4ac≥0，故①正确；

②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，

∴Δ=0-4ac＞0，

∴-4ac＞0

则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，

∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；

③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，

则ac2+bc+c=0，

∴c（ac+b+1）=0，

若c=0，等式仍然成立，

但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；

④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，

则由求根公式可得：x0=，

∴2ax0+b=±，

∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．

故正确的有①②④，

故选：C．

2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ）

A．0 B．±3 C．3 D．－3

【答案】D

【分析】解：∵，

∴，

由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，

解得：m＝－3，故选：D．

3．（2021·广西玉林·一模）关于x的一元二次方程：的解与方程的解相同，则（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】解方程,

分解因式，得

将代入，得．故选D.

4．（2021·河南涧西·三模）定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解：∵

∴

∵方程的一个根是，设另一个根为，则有：

解得， ，故选：C

5．（2021·广东·惠州一中一模）若，为方程的两根，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】D

【分析】解：，为方程的两根，．故选D．

6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）

A．2x2﹣4x+3＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x＝0 D．3x2＝5x﹣2

【答案】A

【分析】解：A、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣4＜0，则方程没有的实数根，所以A选项符合题意；B、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：A．

7．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为（    ）

A．3 B．2 C．2或 D．2或3

【答案】D

【分析】解：由题意得，当抛物线与y轴有1个交点，与x轴只有1个交点时，则

解得

当图象过原点并和x轴有2个交点时，则
0= a−2

故选：D．

8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线经过第一、三、四象限，则关于的方程实数解的个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都有可能

【答案】C

【分析】解：直线经过第一、三、四象限，

∴a＜0，

∴△，

方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（    ）

A．0.2% B．－2.2% C．20% D．220%

【答案】C

【分析】解：设第一季度的销售收入月增长率为x，

由题意得2（1+x）2＝2.88，

解得：x1＝20%，x2＝-2.2（不合实际舍去）．

答：第一季度的销售收入月增长率为20%．故选C．

10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设每人每轮平均感染人，由题意得，

x（x+1）+x+1=81，

即．

故答案为：．

11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（    ）

A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元

【答案】A

【分析】解：设售价定为元时，每天赚取利润8000元，

由已知得：，

整理得：，

解得：或

∵尽量减少库存，

∴，

故选：A．

12．（2021·河北桥东·二模）若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（    ）

A．不存在这样的值 B．有两个相等的的值

C．有两个不相等的的值 D．无法确定

【答案】C

【分析】解：由题意，得，

整理得，

∵，

∴方程有两个不相等的实数根，

即，，故选C．

二、填空题

13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知是一元二次方程的解，则的值是___________．

【答案】-2

【分析】解：把x=1代入方程x2+x+c=0，可得1+1+c=0，

解得c=-2．

故答案是：-2．

14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a为一元二次方程的一个实数根，则______．

【答案】6065

【分析】解：∵a为一元二次方程的一个实数根，

∴，

∴，

∴

故答案为：6065．

15．（2021·内蒙古包头·三模）已知是方程的解，求_____________．

【答案】2

【分析】解：

=

=

=

=

∵是方程的解，

∴，

∴，

解得：a=2或a=-3，

∵a≠2，

∴当a=-3时，原式=-（-3）-1=2，

故答案为：2．

16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x2＝x的解为 ___．

【答案】或

【分析】，

，

，

或；

故答案是：或．

17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．

【答案】或1

【分析】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，

∴，

又由题意得：，

∴

解得：

∴，

∴，，

∴由求根公式得：，

则原方程所有的解为： 或1，

故答案为：或1．

18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x的一元二次方程的根都是整数，则整数m的最大值是________．

【答案】2

【分析】把原方程利用因式分解法分解因式可得：，

∴或，

解得：或，

∵方程两个实数根都是整数且整数，

∴为．

∴最大值为2.

故答案为：2．

三、解答题

19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．

（1）．   

（2）．

【答案】（1）x1=3，x2=（2）x1=，x2=1．

【分析】（1）．  

∴x-3=0或2x-7=0

解得x1=3，x2=

（2）

∴2x-3=0或x-1=0

解得x1=，x2=1．

20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x(x﹣3)+x=3

【答案】x1=3，x2=﹣

【分析】解：移项，得2x（x-3）+（x-3）=0，

提公因式，得（x-3）（2x+1）=0，

解得x1=3，x2=-．

21．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：

【答案】或

【分析】∵

∴

∴

∴或．

22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x2﹣2x，请按照下列要求分别求值：

（1）当x＝1时，代数式的值．

（2）当5x2﹣2x＝0时，求x的值．

【答案】（1）3；（2）0或．

【分析】解：（1）当x＝1时，5x2﹣2x＝5﹣2＝3；

（2）5x2﹣2x＝0，

分解因式得：x（5x﹣2）＝0，

可得x＝0或5x﹣2＝0，

解得：x＝0或x＝．

23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）取，用配方法解这个一元二次方程．

【答案】（１）且；（２），．

【分析】解：（1）∵有实数根，

∴；

∴，

解得：，

∵，

∴，

∴的取值范围为且；

（2）把代入，得，

移项得：，

系数化为1得：，

配方得：，

解得：，

∴，．

24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．

（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？

（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了%，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了%，黄冠梨的进价减少了%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求的值．

【答案】（1）8元；(2)50

【分析】解：（1）设黄花梨的进价每千克x元，黄冠梨每千克的进价为（x+2）元，

所以5000x+2000（x+2）≤60000，

解得：x≤8，

答：黄花梨每千克进价最多为8元；

（2）由（1）得： ，

解得：=50，（舍去）

答：得值为50.

25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为（元），日销售量为（个）．

（1）求与之间的函数关系式．

（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？

（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）；（2）销售单价应定为元；（3）销售单价定为元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是元

【分析】解：（1）根据题意，得：

，

即，

∴y与x之间的函数关系式为；

（2），

，

解，得，（不合题意，舍去），

答：销售单价应定为元；

（3）设日销售利润为元，根据题意，得

，

∵＜0，

∴抛物线开口向下，有最大值，

由已知，

∴≤≤，

∴时，随的增大而增大，

∴时，有最大值，，

答：销售单价定为元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是元．