中考数学二轮复习第09讲 二次函数（题型训练）（含解析）

这是一份中考数学二轮复习第09讲 二次函数（题型训练）（含解析），共60页。试卷主要包含了二次函数的相关概念，二次函数的图像与性质，二次函数图像与系数的关系，二次函数的对称性与最值，二次函数的解析式与图像平移，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，二次函数综合等内容，欢迎下载使用。

第09讲 二次函数
题型一 二次函数的相关概念
1．（2021·上海市洛川学校九年级期中）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解：A. ，是一次函数，不合题意；B. ，是二次函数，符合题意；C. ，没有说明a≠0，不一定是二次函数，不合题意；D. ，等号右边不是整式，不是二次函数，不合题意．故选：B
2．（2021·山东·济南市莱芜实验中学九年级期中）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．2或3
【答案】C
【分析】∵是关于x的二次函数，
∴且，
∴，且，
∴；
故选C．
3．（2021·山东省陵城区江山实验学校九年级月考）下列函数中不属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；B、是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．
4．（2021·北京海淀·九年级期中）如图，在中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ）

A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】解：由题意得：，，
∴，即
∵∠C=90°，
∴，即，
∴y与t，S与t满足的函数关系分别是一次函数和二次函数关系，
故选D．
5．（2021·河北赵县·九年级月考）对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（　　）
A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数 B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数
C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数 D．以上说法都不对
【答案】D
【分析】解：A、当b＝0，a≠0时，y＝ax2+c是二次函数，故A选项错误；B、当c＝0，a≠0时，y＝ax2+bx是二次函数，故B选项错误；C、当a＝0，b≠0时，y＝bx+c是一次函数，故C选项错误；D、以上说法都不对，故此选项正确；故选：D．
6．（2021·北京·首都师范大学附属中学九年级月考）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　）

A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是
【答案】C
【分析】先利用正方形的性质证明可得再利用勾股定理表示再利用等腰直角三角形的面积公式可得函数关系式，从而可得答案.
7．（2021·北京海淀·二模）如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】如图，过梯子中点O作地面于点D．
∴，
又∵，
∴，
∴，
根据题意O为中点，，．
∴，整理得：．
故y与x的函数关系为一次函数关系．


故选B．
8．（2021·安徽·宣城市第六中学九年级期中）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
【答案】A
【分析】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：A．
9．以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数；②，符合二次函数的定义，故②是二次函数； ③，符合二次函数的定义，故②是二次函数；④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．所以，是二次函数的有①②③，故选：C．
10．（2021·湖南炎陵·九年级期末）已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】解：根据题意可知，，
解得，，
∵二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得m＜-2，
综上，m=，
故选：A．
11．（2021·湖北嘉鱼·九年级期末）下列各点中，一定不在抛物线上的是（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
【答案】C
【分析】解：当x=1时，，此时解得m=1，
∴点（1，1）可以在抛物线上，故选项A不符合题意；
当x=2时，，
∴点（2，2）在抛物线上，故选项B不符合题意；
当x=1时，，此时解得m=0，此时抛物线解析式不成立，
∴点（1，2）一定不在抛物线上，故选项C符合题意；
当x=1时，，此时解得m=-1，
∴点（1，3）可以在抛物线上，故选项D不符合题意；
故选：C
12．（2021·浙江湖州·九年级月考）在抛物线上的一个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A，(0,−4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A错误B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B错误，C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C错误D，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D正确，故选：D
题型二 二次函数的图像与性质
13．（2021·北京·景山学校九年级期中）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【答案】A
【分析】解：，
此函数的顶点坐标为，
故选：A．
14．（2021·北京房山·九年级期中）已知二次函数，当时，y的最小值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】解：二次函数的顶点坐标为（2，-6），对称轴为直线x=2，
∵二次函数开口向上，当时，y的最小值为顶点纵坐标，即-6，
故选：D．
15．（2021·广东·珠海市九洲中学九年级期中）顶点(﹣5，﹣1)，且开口方向、形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解：∵抛物线的顶点为(﹣5，﹣1)，
∴抛物线解析式为；
∵开口方向、形状与函数y＝x2的图象相同，
∴，
抛物线解析式为：；
故选：D．
16．（2021·浙江·杭州市文晖中学九年级期中）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．顶点坐标是（﹣1，4）
C．图象与y轴交点的坐标是（0，4） D．函数有最大值4
【答案】D
【分析】解：A、∵a=-1，∴函数的开口向下，故此选项错误；B、∵这个函数的顶点是（1，4），故此选项错误；C、当x=0，y=3，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，3），故此选项错误；D、∵a=-1<0，∴当x=1时，函数有最大值4，故此选项正确，故选：D．
17．（2021·吉林磐石·九年级期中）抛物线y＝﹣x2＋3的顶点在（ ）
A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限
【答案】B
【分析】解：抛物线y＝﹣x2＋3的顶点为(0，3)，在y轴上，故选：B．
18．（2021·湖北江汉·九年级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点，若y3＜y2＜y1，则下列说法中正确的是（　　）
A．抛物线开口向下 B．对称轴可能为直线x＝3
C．y1＞y4 D．5a+b＞0
【答案】C
【分析】解：∵抛物线（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4），
∴，，，，
∵1＜2＜3， y3＜y2＜y1，
∴1＜x＜3时y随x的增大而减小，
当抛物线开口向下时，抛物线的对称轴x≤1，当x≥1时， y随x的增大而减小，
由y3＜y2，得，
选项B与D不正确，
∵1＜4，,此时C正确，
当抛物线开口向上时，抛物线的对称轴x≥3，当x≤3时， y随x的增大而减小,
∵x-1＞|4-x|，
∴，此时C正确，
此时选项A不正确，D不正确，
两种情况综合选项C正确，
故选项C ．
19．（2021·上海市洛川学校九年级期中）已知抛物线，是常数，且，下列选项中可能是它大致图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解：∵抛物线，a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a−2＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝2，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：D．
20．（2021·安徽·宣城市第六中学九年级期中）关于二次函数，下列结论中正确的是（ ）
A．图象与轴有两个交点 B．当时，有最大值
C．当时，随的增大而增大 D．函数图象开口朝下
【答案】A
【分析】因为△=64-0=64>0，所以图象与轴有两个交点，故A正确；
因为a=2>0，所以当时，有最小值，故B错误；
因为函数图象的对称轴是直线x=2，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故C错误；
因为a=2>0，所以函数图象开口朝上，故D错误；
故选：A
21．（2021·山东·日照港中学九年级月考）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：∵二次函数y=x2-2bx+b2+b-5（b为常数）的图象与x轴有交点，
∴△=（-2b）2-4（b2+b-5）≥0
解得：b≤5；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当x＜3.5时，y随x的增大而减小，
∴b≥3.5，
∴实数b的取值范围是3.5≤b≤5．
故选：C．
22．（2021·北京十四中九年级期中）点，在二次函数的图象上，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】C
【分析】解：将点代入，得，
将点代入，得，
∵，
∴，
故选：C．
23．（2021·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）已知二次函数y＝2mx2+（4﹣m）x，它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解：∵，
∴抛物线一定经过原点，
∴选项A排除；
∵ ，
∴对称轴为直线x=，
∵-==，
当m＞0时，抛物线开口向上，＜0，
∴对称轴在直线x=的左边，
B选项的图像符合；C选项的图像不符合；
当m＜0时，抛物线开口向下，＞0，
∴对称轴在直线x=的右边，
D选项的图像不符合；
故选B．
24．（2021·福建·厦门市第十一中学九年级期中）将二次函数化成的形式应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解：y=x2+6x-2=x2+6x+9-9-2=（x+3）2-11，
故选：C．
题型三 二次函数图像与系数的关系
25．（2021·山东嘉祥·九年级期中）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】解：∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即b＞0，
∵函数图像与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b24ac＞0，故②正确；
由图像可知，当时，，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴，
∴b=2a，
∵当x=2时，4a2b+c＜0，
∴4a+4a+c＜0，
即8a+c＜0，故④正确；
∴正确的选项有3个；
故选：C
26．（2021·山东惠民·九年级期中）如图是二次函数图象的一部分，该图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若与是抛物线上两点，则；④，其中正确的有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】解：由图象可知：开口向下，故，
抛物线与轴交点在轴上方，故，
对称轴，，
，
，故①错误；
由图象可知，当时，，
，故②正确；
∵对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
，
，故③错误；
对称轴为，
，
，
点关于对称轴直线的对称点是，
，
，即，故④正确，
综上所述：正确的有②④，共2个，
故选：B．
27．（2021·天津市第七中学九年级期中）已知抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴的一个交点为，且，有下列结论：①②③④．其中正确结论的个数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解：①由函数图象开口向上，
∴，
∵对称轴在轴左侧，
∴
∴，
∵函数图象与轴交于负半轴，
∴，
，故①错误；
②由图象可知：当时，，
对称轴为直线，
∴抛物线上与对应的点的纵坐标相等，
∴当时，，故②正确；
③，
，
，
，故③错误；
④把代入得，故④正确，
综上所述：正确的有②④，共2个，
故选：B．
28．（2021·山东·临沭县第五初级中学九年级月考）关于抛物线y＝x2﹣2x＋1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】解：∵，
∴顶点坐标（1，0），对称轴：直线x=1，故C项正确；
∵a=1＞0，
∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上，故A项正确；
当x＞1时，y随x的增大而增大，故D项错误；
∵，
∴与x轴有两个重合的交点，故B项正确；
故选：D．
29．（2021·广东惠阳高级中学初中部九年级期中）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2﹣a≥b﹣bx；④a＜﹣1．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（−1，0）右侧，且b＝−2a，
∴当x＝−1时，函数值小于0，即a−b＋c＜0，所以②正确；
2a＋b＋c＝2a−2a ＋c＝c，而抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，所以①正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，
∴ax2﹣a≤b﹣bx，所以③错误；
∵直线y＝−x＋c与y＝ax2＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a＋3b＋c＜−3＋c，
而b＝−2a，
∴9a−6a＜−3，解得a＜−1，所以④正确．
故答案为：B．
30．（2021·广东·珠海市九洲中学九年级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点P，若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，
∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
31．（2021·云南·云大附中九年级期中）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，B错误；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，C错误；D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．
32．（2021·山东南区·九年级期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】A、一次函数过一、二，四象限，，，但与在一三象限不符，故答案错误；B、一次函数过一、二、三象限，，，但与 在二四象限不符，故答案错误；
C、一次函数过一、二、四象限，，与在二四象限符合，二次函数也满足 故答案正确；D、一次函数过一、二、三象限，，，但与 开口向下不符，故答案错误；故选:C
33．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解：由一次函数和反比例函数图象可得，，可知抛物线开口向下，对称轴直线，在y轴右侧，抛物线与y轴交点在负半轴，故选：A．
34．（2021·山东·青岛实验学校九年级期末）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时
【答案】B
【分析】解：当时，，
整理得，
，
，解得或；
当时，，
整理得，
，
，解得．

故选：B．
35．（2021·安徽淮南·九年级月考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．故选D．
36．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学九年级期中）如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间．下列结论中：①；②；③，则正确的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】解：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c＜0，故＞0，正确；
②当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）=0，正确；
③∵B点（3，0）关于对称轴x=1对称点为（-1，0）
∴当x=1，时，y=a+b+c=n，
∵顶点坐标（1，n），对称轴x=−=1，
∴b=-2a＜0，a=-，
∴B点（3，0）关于对称轴x=1对称点为（-1，0），
∴当x=-1时，y=a-b+c=0，得c=b，
∴n=2b，
∴2c-a=b，
∵b＜0，
∴b＞4b，即2c-a＞2n，错误．
故选：C．
题型四 二次函数的对称性与最值
37．（2021·广东·广州市南武中学九年级期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（ ）

A．（1，3） B．（0，1） C．（0，—3） D．（2，1）
【答案】D
【分析】解：观察图象发现图象与轴交于点和，
对称轴为，
顶点坐标为，
故选：D．
38．（2021·广东·珠海市九洲中学九年级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示，则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）
x
……
0

4
……
y
……
0.32
﹣2
0.32
……
A．0或4 B．1或5 C．或4﹣ D．或﹣2
【答案】C
【分析】解：由抛物线经过点得到，
所以二次函数解析式为，
因为抛物线经过点、，
所以抛物线的对称轴为直线，
而抛物线经过点，，
所以抛物线经过点，，
方程变形为，
所以方程的根理解为函数值为所对应的自变量的值，
所以方程的根为，．
故选：C．
39．（2021·陕西·安康高新区初级中学（汉滨初中高新校区）九年级期中）已知点、、均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解：把点、、横坐标分别代入解析式得，
，，，
∵，
∴，
故选：D．
40．（2021·山西·九年级期中）如果三点和在抛物线的图象上，那么之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解：∵a＝－1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵a＝－1，b＝5，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴当时，y随着x的增大而增大，点关于对称轴的对称点为，
，
，
故选：C．
41．（2021·四川·江油外国语学校九年级月考）已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）


A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【答案】C
【分析】解：设点为抛物线的顶点，
抛物线的开口向下，
点为抛物线的最高点，
直线上值随值的增大而减小，且，直线在抛物线上方，
．
在上时，抛物线值随值的增大而减小，，
，
．
故选：C．
42．（2021·湖北武昌·九年级月考）若点（2，5），（4，5）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则它的对称轴是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【答案】D
【分析】解：∵点(2，5)，(4，5)在抛物线y=ax2+bx+c上，且纵坐标相等，
∴它的对称轴是：直线x=，
故选D．
43．（2021·福建福州·九年级期末）二次函数y＝x2＋2bx＋4c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2－x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值为m，则m与b，c的数量关系是（ ）
A．m＝1＋2b＋4c B．m＝4＋4b＋4c
C．m＝9＋6b＋4c D．m＝－b2＋4c
【答案】C
【分析】解：∵，，
∴，
∴，
函数的图像与轴两个交点的横坐标分别为，，
∴二次函数对称轴，
∵二次函数a=1＞0，
∴二次函数开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，x=3取最小值，
则，
故选C．
44．（2021·福建省泉州实验中学九年级期中）若二次函数的图象经过、、、则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】D
【分析】∵、，
∴抛物线的对称轴为x==1，
∵且，
∴点A距对称轴较远，
∴，
∴A不符合题意；
∵且，
∴点A距对称轴较远，
∴，
∴B不符合题意；
∵

∴点A距对称轴较远，
又∵
∴，
∴C不符合题意；
∵、，
∴抛物线的对称轴为x==1，CD⊥直线x，
∵，
∴点A，点B是关于对轴的对称点，
∴AB⊥直线x，
∴AB∥CD，
∴D符合题意；
故选D．
45．（2021·浙江平阳·九年级期中）二次函数，当时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值-2 B．有最大值2，有最小值-2
C．有最大值1，有最小值-1 D．有最大值2，有最小值1
【答案】B
【分析】解：二次函数的顶点坐标为（1，2），且开口向下，
∴当x=1时，y有最大值2，
∵当x=﹣1时，y=﹣4+2=﹣2，
当x=2时，y=﹣1+2=1，
∴当时，该函数有最大值2，最小值﹣2，
故选：B．
46．（2021·湖北十堰·九年级期中）若二次函数有最大值-3，则等于（　　）
A． B．或-4 C． D．
【答案】C
【分析】∵二次函数有最大值，
∴m＜0且，
解得：m＝﹣4．
故选：C．
47．（2021·辽宁台安·九年级月考）函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：∵

，
即：函数可化为：
∴当时，函数的最大值是，
故选：C．
48．（2021·江苏·南闸实验学校九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边BC上一个动点，连接AE，取AE的中点G，点G绕点E顺时针旋转90°得到点F，连接DF、DE，EFD面积的最小值是（ ）

A．15 B．16 C．14 D．12
【答案】A
【分析】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，
则，
四边形是矩形，
，，，
，，
四边形是梯形，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
为的中点，
，
，
设，
则，，
∴，



，
当时，面积取得最小值，最小值为15，
故选：A．

题型五 二次函数的解析式与图像平移
49．（2021·广东海珠·九年级期中）已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：设该抛物线解析式是：y＝a（x-1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，-5）代入，得
a（0-1）2﹣2=-5，
解得a=-3．
故该抛物线解析式是．
故答案选：C
50．（2021·安徽·合肥蜀山行知学校九年级期中）已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2 +2021 B．y＝2（x﹣1）2 +2021
C．y＝﹣2（x+1）2+2021 D．y＝2（x+1）2+2021
【答案】C
【分析】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2021与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+2021．
故选：C．
51．（2021·福建·龙岩市第五中学九年级月考）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0
C．若h＝4，则a>0 D．若h＝5，则a＞0
【答案】B
【分析】解：当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6；代入函数式得：，∴a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝5，整理得：a（7﹣2h）＝1，A、若h＝2，则，选项说法错误，不符合题意；B、若h＝3，则a＝1>0，选项说法正确，符合题意；C、若h＝4，则，选项说法错误，不符合题意；D、若h＝5，则，选项说法错误，不符合题意；故选B．
52．（2021·浙江·杭州市公益中学九年级开学考试）已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
53．（2021·四川巴中·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点和点，
点与点是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线，
设二次函数解析式为，
代入点，得，
，
解得，
二次函数的解析式为：，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程为，
即为，
，，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故选：B．
54．（2021·湖南绥宁·九年级期末）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（　　）
A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2
【答案】A
【分析】解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3．
故选：A．
55．（2021·湖南长沙·模拟预测）如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线（）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①； ②抛物线与x轴的另一个交点是（，0）；③方程有两个相等的实数根；④当时，有；⑤若，且；则．则命题正确的个数为（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】解：∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴，
把B点坐标代入得，
解得，
抛物线，
直线（）与抛物线交于A，B两点，
∴，
解得，
直线，
①∵对称轴为，则
故①正确；
②∵对称轴为直线，与轴的一个交点是，设另一交点为（m，0），
∴1-m=4-1，
∴m=-2，
与轴的另一个交点是，故②正确；
③∵把抛物线向下平移3个单位，得到，
∴顶点坐标变为，即抛物线与只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故③正确；
④当时，二次函数图像在一次函数图像的上方
∴，故④正确；
⑤若，即
即，
则关于函数的对称轴对称，
故，即，故⑤错误，
∴命题正确有①②③④四个．
故选：B．
56．（2021·天津津南·九年级期中）把抛物线向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向上平移2个单位长度后得到的点的坐标为，故新抛物线的解析式为，
故选：C．
57．（2021·山东惠民·九年级期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故选D．
58．（2021·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝3（x﹣2）2﹣5 B．y＝3（x﹣2）2+5
C．y＝3（x+2）2﹣5 D．3（x+2）2+5
【答案】B
【分析】将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式为：
，故选B
59．（2021·广东·广州市第九十七中学九年级期中）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】A
【分析】解：将抛物线向左平移2个单位长度，
得到，
再向下平移3个单位长度，
得到，
故选：A．
60．（2021·辽宁连山·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点，，．且点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为点，则平移后抛物线的表达式为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：当x＝0时，y＝b，故A点坐标为（0，b），
过点C作CD⊥AO交AO于D，

则OD＝CD＝，
∴C点坐标为（，）
∵二次函数的图象经过正方形ABOC的顶点C，
∴ ，
解得b＝4或b=0（舍去）
∴C点坐标为（2，2），
∴平移后抛物线的表达式为，
故选：A．
题型六 二次函数与一元二次方程
61．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期中）如果二次函数中，有，那么二次函数图像一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解：∵有，
∴，
∴，
时，
，
，
∴抛物线过点（-1，0）．
故选择B．
62．（2021·山东费县·九年级期中）抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】解：对于抛物线，
当时，，即与轴的交点为，有1个，
当时，，解得，即与轴的交点为，有1个，
综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为2个，
故选：C．
63．（2021·北京市大兴区第三中学九年级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3，其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据题意，时，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1
∴，即
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）
∴，即
∴
∴
∴
∴
∴4ac＜b2成立，
∴①正确；
∵
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，
∴②正确；
∵
∴③不正确；
∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，且
∴当y＞0时，x的取值范围是
∴④不正确；
∴结论正确的个数是2个
故选：C．
64．（2021·安徽·蒙城县第六中学九年级期中）若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为（ ）
A．x1＝﹣7，x2＝3 B．x1＝﹣6，x2＝4 C．x1＝6，x2＝﹣4 D．x1＝7，x2＝﹣3
【答案】D
【分析】解：∵，∴
由题意可得：抛物线的对称轴为，
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10
∴交点坐标分别为，
根据二次函数与一元二次方程的关系可得：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为，
故选D
65．（2021·天津市南开田家炳中学九年级月考）已知抛物线，它与x轴的两个交点间的距离为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】解：当y=0时，x2-x=0，解得x1=0，x2=2，则抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（2，0），
所以抛物线与x轴的两个交点间的距离为2．
故选：C．
66．（2021·安徽合肥·九年级月考）已知抛物线y=x2-x-1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2021的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】解：∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m2-m+2021=1+2021=2022．
故选：D．
67．（2021·河北·育华中学九年级月考）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（　　）

A．13 B．7 C．5 D．8
【答案】D
【分析】解：当点A为抛物线顶点时，此时点C的横坐标取最小值，
∵点C的横坐标最小值为﹣3，
∴点C坐标为（-3，0），
设抛物线解析式为，
∵点C（-3，0）在抛物线上，
∴，
∴，
抛物线在平移过程中形状不变，
当抛物线平移到点B时，即点B为抛物线的顶点，
此时抛物线解析式为，
令y=0，，
解得，
∴或，
点D的横坐标的最大值为8．
故选：D．

68．（2021·广东·珠海市九洲中学九年级期中）抛物线y＝x2+4x﹣m2+2（m是常数）与坐标轴交点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．2或3
【答案】D
【分析】解：y＝x2+4x﹣m2+2
∵△＝42−4×（﹣m2+2）＝4m2+8＞0，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
∵x＝0时，y＝x2+4x﹣m2+2＝﹣m2+2，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣m2+2），
当﹣m2+2=0时，即时，抛物线与坐标轴交于原点，此时抛物线y＝x2+4x﹣m2+2（m是常数）与坐标轴交点的个数为2个，
∴抛物线y＝x2+4x﹣m2+2的图象与坐标轴的交点个数为3或2个．
故选：D．
69．（2021·湖北武昌·九年级月考）抛物线y＝x2﹣2x＋1与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】解：当时，，则与轴的交点坐标为，
当时，，
，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线与轴有1个点．
综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是2个．
故选C．
70．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）将抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A．(0，0) B．(0，4) C．(0，15) D．(0，16)
【答案】A
【分析】解：y＝x2+2mx+m2﹣1＝（x+m）2﹣1，
∵将抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，
∴y＝（x+m+8）2﹣1，
则x＝﹣m﹣8＝1，
故y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
当x=0时，y=0
则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（0，0）．
故选：A．
71．（2021·天津·南开翔宇学校九年级开学考试）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：
①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x=1＞0，a、b异号，故b＜0，与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，即﹣2＜c＜﹣1，所以abc＞0，故①正确；抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=1，因此与x轴的另一个交点为（3，0），当x=4时，y=16a+4b+c＞0，所以②不正确；由对称轴为x=1，与y轴交点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即＜﹣1，也就是4ac﹣b2＜﹣4a，又a＞0，所以4ac﹣b2＜8a是正确的，故③是正确的；由题意可得，方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣1，x2=3，又x1•x2=，即c=﹣3a，而﹣2＜c＜﹣1，也就是﹣2＜﹣3a＜﹣1，因此＜a＜，故④正确；抛物线过（﹣1，0）点，所以a﹣b+c=0，即a=b﹣c，又a＞0，即b﹣c＞0，得b＞c，所以⑤不正确，
综上所述，正确的结论有三个：①③④，故选：C．
72．（2021·广东·佛山市华英学校九年级月考）根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（　　）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
【答案】C
【分析】解：∵一元二次方程的解即为对应二次函数图象与轴交点的横坐标，∴当二次函数函数值发生正负变化时，说明图象与轴有交点，∴正负变化的范围即为方程解的范围．当，，，关于的方程的一个解的范围是故选C
题型七 二次函数与不等式
73．（2021·广东·广州市第九十七中学九年级期中）如图，直线与抛物线交于点A（-2，4），B（1，1），若，则的取值范围是（ ）

A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】解： ∵
∴一次函数图象在抛物线图象的下面
又∵
∴满足题意的的取值范围是或
故选：C
74．（2021·吉林·长春市第八十七中学九年级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），当y＞0时，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣3 B．x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】D
【分析】解：由题意可知，抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
要求当y＞0时， x的取值范围，实则求抛物线图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围，
由图象可知，当或，满足题意，
故选：D．
75．二次函数y＝a x 2＋bx＋c的图象如图所示，且方程a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A．k＜2 B．k≤2 C．k＜3 D．1＜k ＜3
【答案】A
【分析】由图象可知二次函数y＝a x 2＋bx＋c的顶点坐标为（2，2），
∴＝2，即b2－4ac＝－8a，
∵a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
∴方程a x 2＋bx＋c－k＝0的判别式⊿＞0，
即b2－4a（c－k ）＝b2－8a＋4ak＝－4a（2－k ）＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2－k＞0，
∴k＜2．故选A．
76．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级月考）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】解：∵，
∴，
当时：，
由图得：，
当时，，
有图得：(舍去)，
∴，
故选：A．
77．（2021·山东济南·二模）已知函数，当时，函数值随增大而减小，且对任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：函数的对称轴为x＝a，而时，函数值随x增大而减小，故a≥3；
∵和，
∴x＝a时，函数的最小值＝7﹣，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+2中产生，
则x＝1，x＝a+2哪个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，
∵a≥3，
∴a﹣1≥2，而a+2﹣a＝2，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最大值为：8﹣2a，
∵对任意的和，，相应的函数值，总满足，
∴8﹣2a﹣（7﹣）≤9，
∴﹣2a﹣8≤0，
令


结合函数图像可得：的解集是﹣2≤a≤4，而a≥3，
∴
故选：C．
78．（2021·山东·胶州市初级实验中学模拟预测）函数与的图象如图所示，下面结论：①，②，③，④当时，，其中正确的是（ ）

A．②③④ B．③④ C．①②③④ D．①
【答案】B
【分析】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2-4c＜0；故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；故③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b-1）x+c＜0．故④正确．
故选：B．
79．（2021·福建·厦门市槟榔中学九年级期中）已知二次函数y＝x2+bx+1当的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是（　　）
A．b≥0 B．b≥﹣2 C．b≥﹣ D．b≥﹣3
【答案】C
【分析】解：由题意得，二次函数图象的开口向上，当的范围内，都有y≥0，
则当x=0时，y=1，
当x=时，y=

故选：C．
80．（2021·浙江杭州·九年级期中）若二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表
x
…
0
1
2
3
…
y
…

2
3
2
…
点点在该函数图象上，当与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
∵a=-1＜0，
∴函数图象开口向下，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴y1＜y2．故选A．
81．（2021·江苏建湖·二模）如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x＋9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图像上，则n＞m；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】解：①由图象顶点（2，9）可得y=a（x-2）2+9，
将（8，0）代入y=a（x-2）2+9得0=36a+9，
解得a=，
∴y=（x-2）2+9=y=x2+x+8，
故①错误．
②∵5.5-2＞2-（-1），
点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，
∴m＜n，
故②正确．
③∵图象对称轴为直线x=2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），
∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2-8=-4，
故③正确．
④由图象可得当x=0时，y=8，x=5.5时，y=m，x=2时，y=9，
∴0＜x＜5.5时，m≤y≤9．
故④错误．故选：C．
82．（2021·陕西·安康高新区初级中学（汉滨初中高新校区）九年级期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（－1，0），其图象如图所示，下列结论：①，②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，x的取值范围是；⑥（，m为实数），其中结论正确的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故③正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故④错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当y＞0时，﹣1＜x＜3，故⑤正确；
抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当而x＝1时，，y＝a+b+c最大，
∴时，，即，故⑥正确；
故选：A．
83．（2021·浙江·杭州市余杭区维翰学校九年级月考）已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，若y1＜y2．则自变量x的取值范围是（　　）

A．﹣2＜x＜ B．x＞2或x＜﹣ C．x＜﹣2或x＞ D．﹣＜x＜2
【答案】A
【分析】解：观察图像可知，y1＜y2时，
即函数y2＝kx+b在函数y1＝ax2+bx+c上方时x的取值范围，
∴﹣2＜x＜时，y1＜y2，
故选：A．
84．（2021·重庆云阳·九年级月考）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】解：①由抛物线对称轴为直线，从而，则，故①正确；
②抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故②错误；
③方程的解，即是与直线的交点的横坐标，
从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，
故方程有两个相等的实数根，故③正确；
④由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（−2，0），故④错误；
⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤正确；
故正确的有①③⑤，共计3个
故选C
题型八 二次函数综合
85．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期中）已知抛物线交轴于和，交轴于．


（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线的顶点，P为抛物线上的一点（不与D重合），当时，求P的坐标；
【答案】（1）抛物线解析式为；（2）点P的坐标为（，-4）或（，-4）．
【分析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3交轴于和，
∴a+b+3=0①，9a-3b+3=0②，
由①②解得a=-1,b=-2，
抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点D（-1，4），
∵AB=1-（-3）=4，S△ABD=AB，
设点P的纵坐标的绝对值为h，
∴S△ABP=AB·h=2h，
∵，
∴，
∴，
∵P为抛物线上的一点（不与D重合），
∴y=-x2-2x+3=-4，
∴x2+2x=7，
配方得(x+1)2=8，
直接开平方得x，
∴x，
x1，x2，
∴点P的坐标为（，-4）或（，-4）．
86．（2021·广东·广州市南武中学九年级期中）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．

【答案】（1）；（2）6
【分析】解：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式，
把点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为；
令，则，
或，
，；
，
．
87．（2021·吉林·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，过原点的抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，以为边的菱形的顶点在轴的正半轴上．把菱形沿向上翻折得到菱形．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把抛物线向右平移使抛物线经过点，求平移的距离．

【答案】（1）；（2）或．
【分析】解：（1）设抛物线所对应的函数关系式为，
把代入，
得，
∴抛物线所对应的函数关系式为．
（2）∵点，
，
∵菱形是由菱形沿向上翻折得到，
，
∴点的坐标为，
由题意得，
解得，，
∴平移的距离为或．
88．（2021·甘肃·平凉市第十中学九年级期中）如图，已知顶点是M的抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）点P是x轴上方抛物线上的一点，若的面积等于3，求点P的坐标．
（3）是否在y轴存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）（，）或（，）；（3）（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）
【分析】解：（1）设函数解析式为，
∴﹣3a=﹣3，解得：a=1，
∴该抛物线对应的函数解析式为；
（2）设点P坐标为（x、y）且y＞0，
∵，，
∴AB=4，
∵的面积等于3，
∴，解得：，
将代入中，得：，
即，解得：，
∴满足条件的点P坐标为（，）或（，）；
（3）存在点Q，使得为直角三角形．
由得顶点坐标M（1，﹣4），
设点Q坐标为（0，m），
则MQ2=（1﹣0）2+（﹣4﹣m）2=1+（4+m）2，
BQ2=（3﹣0）2+（0﹣m）2=9+m2，
BM2=（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2=4+16=20，
当∠QBM=90°时，则有MQ2= BQ2+ BM2，即1+（4+m）2=9+m2+20，
解得：m=；
当∠QMB=90°时，则有BQ2=BM2+MQ2，即9+m2=20+1+（4+m）2，
解得：m=；
当∠BQM=90°时，则有BM2=BQ2+MQ2，即20=9+m2+1+（4+m）2，
∴m2+4m+3=0，
解得：m1=﹣1，m2=﹣3，
综上，满足条件的点Q坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
89．（2021·吉林·长春市第八十七中学九年级月考）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣ax+2a﹣2（a为常数）与y轴交于点A．
（1）当函数图象经过点（1，0）时；
①求此函数的表达式并写出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；
②此时函数有最 　 　值为 　 　．
（2）已知点M（1，2）、N（3，2），连结M、N，若函数y＝x2﹣ax+2a﹣2（a为常数）的图像与线段MN只有一个交点，直接写出a的取值范围；
【答案】（1）①,；②小，；（2）或或
【分析】解：（1）①函数图象经过点（1，0），将点（1，0）代入函数得 ，
解得：，

∴函数解析式为 ，
∵函数图像对称轴为 ，
∴当时，y随x的增大而增大，
②当时， ，此时函数有最小值为，
（2）①当函数图象顶点与线段MN相交，

则 ,
解得： ,
②当函数图象与线段MN有一个交点，有两种情况，如图

∵抛物线 开口向上，
∴当时， ，当时，，
即 ，解得：，

当时，，当时， ，
即 ，解得：，
综上：当或或时，函数图象与线段MN有一个交点
90．（2021·河南·息县教育体育局基础教育教学研究室九年级月考）已知二次函数的图象与直线交于点和点．

（1）求的表达式和m的值；
（2）当时，则自变量x的取值范围为__________；
（3）将直线AB沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式．
【答案】（1）的表达式为＝−2x−3，m的值为5；（2）x＜−1或x＞4；（3）y＝x−．
【分析】解：（1）把A（−1，0）代入得，解得：b＝−2，
把B（4，m）代入 得，解得：m＝5．
所以＝−2x−3．
答：的表达式为＝−2x−3，m的值为5．
（2）如图：

根据图象可知：当时，自变量x的取值范围是x＜−1或x＞4．
答：自变量x的取值范围是x＜−1或x＞4．
（3）设直线AB平移后的表达式为y＝x＋k，
得：−2x−3＝x＋k，
令Δ＝0，
，
解得k＝−．
答：平移后的直线表达式为y＝x−．