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湖南省株洲市天元区建宁实验中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷
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这是一份湖南省株洲市天元区建宁实验中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共27页。
2022-2023学年湖南省株洲市天元区建宁实验中学八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）若一个n边形内角和为540°，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）
4．（4分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3）（ ）
A．（3，7） B．（7，2） C．（7，3） D．（2，7）
5．（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1）1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
6．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+3的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（4分）如图，函数与y＝﹣kx+1（k≠0）（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，则点B的对应点B′坐标为（ ）
A．（3，4） B．（7，4） C．（7，3） D．（3，7）
9．（4分）如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，AB＝DC，∠ABD＝100°（ ）
A．10° B．20° C．28° D．30°
10．（4分）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…在直线y＝x+1上，点B1，B2，B3，…在x轴上，已知点A1是直线y＝x+1与y轴的交点，则C2022的纵坐标是（ ）
A．22021﹣1 B．22021 C．22022﹣1 D．22022
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）方程（x﹣3）2＝25的根为 ．
12．（4分）如果点A（14，m）在函数y＝x+3的图象上 ．
13．（4分）如果关于x的方程（m+3）x|m+1|+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值是 ．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，则BD的长为 cm．
15．（4分）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线 m．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB≠AD，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 ．
17．（4分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），，点C落在点D处，BD交OA于点E ．
18．（4分）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，当点A在x轴上运动，BK取最小值时 ．
三．解答题（共8小题，78分）
19．（6分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值，其中a＝3．
21．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，BC＝，求四边形OCED的周长．
22．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
23．（10分）随着经济水平的提升，人们越来越重视体育健康，为了解中学生身体素质指标合格情况，某校对全校中学生进行了一次体检，李老师随机抽取了40名学生体检结果的身高数据进行处理（每组含最低值不含最高值，单位：cm）
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）样本中数据的中位数所在的范围是 ；
（3）为了全面了解学生的身体健康状况，还需对学生的体重进行分析，已知青少年身体质量指数＝，请计算一下你本人的身体质量指数，确定你的身体健康状况．
24．（10分）甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各40000件的任务．甲快递站前期先派送了5000件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送．甲快递站经过a小时后总共派送25000件．由于人员变化，派送速度变慢，甲、乙两家快递站的派送件数y（件）与派送时间x（小时）
（1）乙快递站每小时派送 件，a的值为 ；
（2）甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
25．（13分）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．
（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系
（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN＝45°，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点N，CD上，∠MAN＝60°，DM，MN之间数量关系．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3），与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值．
2022-2023学年湖南省株洲市天元区建宁实验中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
D、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2．（4分）若一个n边形内角和为540°，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据180°（n﹣2）＝540°，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，180°（n﹣2）＝540°，
解得n＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角和，熟练掌握n边形内角和为180°（n﹣2）是解题的关键．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣1，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．（4分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3）（ ）
A．（3，7） B．（7，2） C．（7，3） D．（2，7）
【分析】由A、B坐标可求得AB的长，根据平行四边形的一组对边平行且相等，即可得出结论．
【解答】解：∵A，B的坐标分别是（0，（5，
∴AB＝6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD＝5，
∴C点纵坐标与D点纵坐标相同为3，C点横坐标为：8+5＝7，
∴C点坐标为（6，3），
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质以及坐标与图形性质，掌握平行四边形的一组对边分别平行且相等是解题的关键．
5．（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1）1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】由图象可以直接写出当y1＞y2时所对应的x的取值范围．
【解答】解：直线y1＝x+1与双曲线y6＝相交于点A（1，﹣8），
由图象可知，当y1＞y2时，﹣4＜x＜0或x＞1；
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
6．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+3的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+6的值随x的增大而增大，
∴2m﹣1＞5，
解得：m＞，
∴P（﹣m，m）在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
7．（4分）如图，函数与y＝﹣kx+1（k≠0）（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：当k＞0时，函数、三象限、二、四象限，选项C不符合题意；
当k＜0时，函数、四象限、二、三象限，选项B不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（4分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，则点B的对应点B′坐标为（ ）
A．（3，4） B．（7，4） C．（7，3） D．（3，7）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，4），A点坐标为（3，0），则OA＝3，OB＝4，再根据旋转的性质得∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝3，O′B′＝OB＝4，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点B′坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣，则B点坐标为（0；
当y＝0时，﹣x+4＝2，则A点坐标为（3，
则OA＝3，OB＝5，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，
∴∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，O′B′＝OB＝4，
即AO′⊥x轴，O′B′∥x轴，
∴点B′坐标为（7，5）．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
9．（4分）如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，AB＝DC，∠ABD＝100°（ ）
A．10° B．20° C．28° D．30°
【分析】根据三角形中位线定理得到EG∥DC，EG＝DC，FG∥AB，FG＝AB，根据平行线的性质求出∠EGF＝124°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵点E、G分别是BC，
∴EG∥DC，EG＝，
∴∠BGE＝∠BDC＝44°，
∵点F、G分别是AD，
∴FG∥AB，FG＝，
∴∠BGF＝180°﹣∠ABD＝80°，
∴∠EGF＝80°+44°＝124°，
∵AB＝DC，
∴GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE＝×（180°﹣124°）＝28°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10．（4分）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…在直线y＝x+1上，点B1，B2，B3，…在x轴上，已知点A1是直线y＝x+1与y轴的交点，则C2022的纵坐标是（ ）
A．22021﹣1 B．22021 C．22022﹣1 D．22022
【分析】根据一次函数的图象上点的坐标特征和正方形的性质求出A1，A2，A3的坐标，求出C1，C2，C3的坐标，根据求出的结果得出规律，再根据规律得出答案即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝x+1＝4，
∴点A1的坐标是（0，3），
∵四边形A1B1C3A2是正方形，
∴点C1的纵坐标是2，
∵当x＝1时，y＝x+1＝5，
点A2的坐标是（1，7），
∵四边形A2B2C3A3是正方形，
∴点C2的纵坐标是5，
同理，点A3的坐标是（3，2），
点C3的纵坐标是4，
∴点∁n的纵坐标是6n﹣1，
∴点C2022的纵坐标是22021，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）方程（x﹣3）2＝25的根为 x1＝8，x2＝﹣2 ．
【分析】把x﹣3看成整体，然后直接开方求解．
【解答】解：（x﹣3）2＝25，
∴x﹣5＝±5，
即x1＝3，x2＝﹣2．
故答案为：x3＝8，x2＝﹣7．
【点评】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12．（4分）如果点A（14，m）在函数y＝x+3的图象上 5 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
【解答】解：∵点A（14，m）在函数y＝，
∴m＝×14+3＝8．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
13．（4分）如果关于x的方程（m+3）x|m+1|+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值是 1 ．
【分析】根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有x的次数是2，即|m+1|＝2，系数不等于0，即m+3≠0，联合起来解即可．
【解答】解：由题意知，|m+1|＝2．
解得m＝4或﹣3且m≠﹣3，
∴m＝4．
故答案为：1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，则BD的长为 4 cm．
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，
∵AB＝cm，
∵BO＝＝2cm，
∴DO＝BO＝2cm，
∴BD＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线 200 m．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE＝DC，再求出DC的长即可．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴DE＝DC，
∵BC＝1000m，BD＝800m，
∴DC＝BC﹣BD＝200m，
∴DE＝DC＝200m，
即此时这个人到AB的最短距离为200m，
故答案为：200．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB≠AD，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 10cm ．
【分析】由平行四边形ABCD的周长为20cm，可求得AB+AD＝10cm，OB＝OD，又由EO⊥BD，可得OE是线段BD的垂直平分线，即可证得BE＝DE，继而可得△ABE的周长＝AB+AD．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为20cm，
∴OB＝OD，AB+AD＝10cm，
∵EO⊥BD，
∴BE＝DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝10cm．
故答案为：10cm．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．注意得到OE是线段BD的垂直平分线是关键．
17．（4分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），，点C落在点D处，BD交OA于点E （5，0） ．
【分析】由A（8，0），AB＝OA，得OA＝8，AB＝4，由BC∥OA，得∠OBC＝∠BOE，由折叠得∠OBC＝∠OBE，则∠BOE＝∠OBE，所以BE＝OE，根据勾股定理得42+（8﹣OE）2＝OE2，求得OE＝5，则E（5，0），于是得到问题的答案．
【解答】解：∵A（8，0）OA，
∴OA＝8，AB＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OBC＝∠BOE，
由折叠得∠OBC＝∠OBE，
∴∠BOE＝∠OBE，
∴BE＝OE，
∵∠EAB＝90°，
∴AB2+AE6＝BE2，
∴44+（8﹣OE）2＝OE6，
解得OE＝5，
∴点E的坐标为（5，3），
故答案为：（5，0）．
【点评】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明∠BOE＝∠OBE是解题的关键．
18．（4分）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，当点A在x轴上运动，BK取最小值时 （3，﹣1） ．
【分析】如图，作BH⊥x轴于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，作KM⊥EF于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，构建方程组确定交点M坐标即可解决问题．
【解答】解：如图，作BH⊥x轴于H．
∵C（0，4），7），
∴OC＝4，OK＝2，
∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，
∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，
∴∠ACO＝∠BAH，
∴△ACO≌△BAH（AAS），
∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝5，
∴B（m+4，m），
令x＝m+4，y＝m，
∴y＝x﹣3，
∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，
作KM⊥EF于M，则直线KM的解析式为y＝﹣x+7，
由，解得，
∴M（3，﹣5），
根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，此时B（3，
故答案为：（3，﹣4）
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．
三．解答题（共8小题，78分）
19．（6分）计算：．
【分析】先算乘方，再化简绝对值，最后加减．
【解答】解：．
＝﹣1﹣2+6﹣1
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、乘方及绝对值的意义是解决本题的关键．
20．（8分）先化简，再求值，其中a＝3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝3时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，BC＝，求四边形OCED的周长．
【分析】（1）根据已知条件得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质得出OC＝OD，即可得证；
（2）证明△OCD是等边三角形，勾股定理求得CD的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC，BD互相平分，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD7，
设CD＝x，则BD＝2x，
∴，
解得x＝±2（负值舍去），
∴四边形OCED的周长等于5．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；
（2）根据黄金方程的定义得到b＝﹣a﹣3，则原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，再由a是此黄金方程的一个根，得到2a2﹣a﹣3＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）一元二次方程2x2+8x+3＝0是黄金方程，理由如下：
由题意得，a＝8，c＝3，
∴a﹣b+c＝2+2﹣5＝0，
∴一元二次方程6x2+5x+3＝0是黄金方程；
（2）∵3x7﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，
∴3+b﹣（﹣a）＝5，
∴b＝﹣a﹣3，
∴原方程为3x8﹣ax﹣a﹣3＝0，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴4a2﹣a2﹣a﹣8＝0，即2a7﹣a﹣3＝0，
∴（a+5）（2a﹣3）＝7，
解得a＝﹣1或．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
23．（10分）随着经济水平的提升，人们越来越重视体育健康，为了解中学生身体素质指标合格情况，某校对全校中学生进行了一次体检，李老师随机抽取了40名学生体检结果的身高数据进行处理（每组含最低值不含最高值，单位：cm）
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ 10 ，b＝ 54 ；
（2）样本中数据的中位数所在的范围是 160～170 ；
（3）为了全面了解学生的身体健康状况，还需对学生的体重进行分析，已知青少年身体质量指数＝，请计算一下你本人的身体质量指数，确定你的身体健康状况．
【分析】（1）用样本容量40分别减去其他三组的频数可得a的值；用360°乘140～150的频率可得b的值；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据青少年身体质量指数＝，可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，a＝40﹣6﹣12﹣12＝10；
b°＝360°×＝54°．
故答案为：10；54；
（2）样本中数据的中位数所在的范围是160～170．
故答案为：160～170；
（3）假如我的体重为55km，身高为4.6m，
则身体质量指数＝≈21.5，
因为21.4在20﹣25之间，所以我的身体健康状况良好．
【点评】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．
24．（10分）甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各40000件的任务．甲快递站前期先派送了5000件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送．甲快递站经过a小时后总共派送25000件．由于人员变化，派送速度变慢，甲、乙两家快递站的派送件数y（件）与派送时间x（小时）
（1）乙快递站每小时派送 5000 件，a的值为 4 ；
（2）甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
【分析】（1）由图象可以求出乙快递站每小时派送的件数；再根据a小时前甲、乙两家快递站派送的速度相同求出a的值；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）先根据（2）解析式求出当x＝8时y＝35000，再用40000﹣35000即可．
【解答】解：（1）由图象可知，乙快递站每小时派送；
∵a小时前甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送，
∴a＝＝4，
故答案为：5000，2；
（2）设y＝kx+b，将（4，（10
，
解得：，
∴y关于x的函数解析式为y＝2500x+15000（7≤x≤10）；
（3）把x＝8代入y＝2500x+15000得y＝2500×8+15000＝35000，
∴40000﹣35000＝5000（件），
答：乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递有5000件．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
25．（13分）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．
（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系
（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN＝45°，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点N，CD上，∠MAN＝60°，DM，MN之间数量关系．
【分析】（1）首先利用SAS证明△EAN≌△MAN，得EN＝MN，从而得出答案；
（2）在BC上取BE＝MD．连接AE，首先由△ABE≌△ADM（SAS），得AE＝AM，∠BAE＝∠MAD，再利用SAS证明△EAN≌△MAN，得EN＝MN，即可证明结论；
（3）将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，由旋转的性质得点E、D、C共线，由（1）同理可得△EAM≌△NAM（SAS），得EM＝MN，从而解决问题．
【解答】解：（1）MN＝DM+BN．证明如下：
由旋转，可知：
AE＝AM，BE＝DM．∠ABE＝∠D＝90°，
∴点E、B、C共线，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝45°＝∠MAN．
在△EAN和△MAN中，
∴△EAN≌△MAN（SAS）．
∴EN＝MN，
∵EN＝BE+BN，
∴MN＝DM+BN；
（2）MN＝BN﹣DM．证明如下：
在BC上取BE＝MD．连接AE，
∵AB＝AD，∠B＝∠ADM，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠MAD，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝45°＝∠MAN．
在△EAN和△MAN中，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴EN＝MN，
∵EN＝BN﹣BE，
∴MN＝BN﹣DM；
（3）将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AE，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴点E、D、C共线，
由（1）同理可得△EAM≌△NAM（SAS），
∴EM＝MN，
∴MN＝DM+BN．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3），与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值．
【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题．
（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB﹣PC＝BC最大，利用勾股定理即可求得最大值．
【解答】解：（1）把A（3，5）代入y4＝（m≠0），
∴反比例函数的解析式为y2＝．
把点B（a，﹣4）代入，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（4，5），﹣3）代入y6＝kx+b，可得．
∴．
∴一次函数的解析式为y1＝x+2．
（2）一次函数的解析式为y4＝x+2，令x＝0．
∴一次函数与y轴的交点为P（7，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，
令y＝0，则x＝﹣4，
∴C（﹣2，0）．
过B点向x轴作垂线，
由勾股定理可得：
BC＝＝3．
故所求PB﹣PC的最大值为3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键
2022-2023学年湖南省株洲市天元区建宁实验中学八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）若一个n边形内角和为540°，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）
4．（4分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3）（ ）
A．（3，7） B．（7，2） C．（7，3） D．（2，7）
5．（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1）1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
6．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+3的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（4分）如图，函数与y＝﹣kx+1（k≠0）（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，则点B的对应点B′坐标为（ ）
A．（3，4） B．（7，4） C．（7，3） D．（3，7）
9．（4分）如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，AB＝DC，∠ABD＝100°（ ）
A．10° B．20° C．28° D．30°
10．（4分）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…在直线y＝x+1上，点B1，B2，B3，…在x轴上，已知点A1是直线y＝x+1与y轴的交点，则C2022的纵坐标是（ ）
A．22021﹣1 B．22021 C．22022﹣1 D．22022
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）方程（x﹣3）2＝25的根为 ．
12．（4分）如果点A（14，m）在函数y＝x+3的图象上 ．
13．（4分）如果关于x的方程（m+3）x|m+1|+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值是 ．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，则BD的长为 cm．
15．（4分）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线 m．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB≠AD，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 ．
17．（4分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），，点C落在点D处，BD交OA于点E ．
18．（4分）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，当点A在x轴上运动，BK取最小值时 ．
三．解答题（共8小题，78分）
19．（6分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值，其中a＝3．
21．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，BC＝，求四边形OCED的周长．
22．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
23．（10分）随着经济水平的提升，人们越来越重视体育健康，为了解中学生身体素质指标合格情况，某校对全校中学生进行了一次体检，李老师随机抽取了40名学生体检结果的身高数据进行处理（每组含最低值不含最高值，单位：cm）
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）样本中数据的中位数所在的范围是 ；
（3）为了全面了解学生的身体健康状况，还需对学生的体重进行分析，已知青少年身体质量指数＝，请计算一下你本人的身体质量指数，确定你的身体健康状况．
24．（10分）甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各40000件的任务．甲快递站前期先派送了5000件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送．甲快递站经过a小时后总共派送25000件．由于人员变化，派送速度变慢，甲、乙两家快递站的派送件数y（件）与派送时间x（小时）
（1）乙快递站每小时派送 件，a的值为 ；
（2）甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
25．（13分）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．
（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系
（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN＝45°，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点N，CD上，∠MAN＝60°，DM，MN之间数量关系．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3），与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值．
2022-2023学年湖南省株洲市天元区建宁实验中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
D、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2．（4分）若一个n边形内角和为540°，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据180°（n﹣2）＝540°，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，180°（n﹣2）＝540°，
解得n＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角和，熟练掌握n边形内角和为180°（n﹣2）是解题的关键．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣1，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．（4分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3）（ ）
A．（3，7） B．（7，2） C．（7，3） D．（2，7）
【分析】由A、B坐标可求得AB的长，根据平行四边形的一组对边平行且相等，即可得出结论．
【解答】解：∵A，B的坐标分别是（0，（5，
∴AB＝6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD＝5，
∴C点纵坐标与D点纵坐标相同为3，C点横坐标为：8+5＝7，
∴C点坐标为（6，3），
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质以及坐标与图形性质，掌握平行四边形的一组对边分别平行且相等是解题的关键．
5．（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1）1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】由图象可以直接写出当y1＞y2时所对应的x的取值范围．
【解答】解：直线y1＝x+1与双曲线y6＝相交于点A（1，﹣8），
由图象可知，当y1＞y2时，﹣4＜x＜0或x＞1；
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
6．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+3的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+6的值随x的增大而增大，
∴2m﹣1＞5，
解得：m＞，
∴P（﹣m，m）在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
7．（4分）如图，函数与y＝﹣kx+1（k≠0）（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：当k＞0时，函数、三象限、二、四象限，选项C不符合题意；
当k＜0时，函数、四象限、二、三象限，选项B不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（4分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，则点B的对应点B′坐标为（ ）
A．（3，4） B．（7，4） C．（7，3） D．（3，7）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，4），A点坐标为（3，0），则OA＝3，OB＝4，再根据旋转的性质得∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝3，O′B′＝OB＝4，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点B′坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣，则B点坐标为（0；
当y＝0时，﹣x+4＝2，则A点坐标为（3，
则OA＝3，OB＝5，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，
∴∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，O′B′＝OB＝4，
即AO′⊥x轴，O′B′∥x轴，
∴点B′坐标为（7，5）．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
9．（4分）如图，在四边形ABCD中，G是对角线BD的中点，AB＝DC，∠ABD＝100°（ ）
A．10° B．20° C．28° D．30°
【分析】根据三角形中位线定理得到EG∥DC，EG＝DC，FG∥AB，FG＝AB，根据平行线的性质求出∠EGF＝124°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵点E、G分别是BC，
∴EG∥DC，EG＝，
∴∠BGE＝∠BDC＝44°，
∵点F、G分别是AD，
∴FG∥AB，FG＝，
∴∠BGF＝180°﹣∠ABD＝80°，
∴∠EGF＝80°+44°＝124°，
∵AB＝DC，
∴GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE＝×（180°﹣124°）＝28°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10．（4分）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…在直线y＝x+1上，点B1，B2，B3，…在x轴上，已知点A1是直线y＝x+1与y轴的交点，则C2022的纵坐标是（ ）
A．22021﹣1 B．22021 C．22022﹣1 D．22022
【分析】根据一次函数的图象上点的坐标特征和正方形的性质求出A1，A2，A3的坐标，求出C1，C2，C3的坐标，根据求出的结果得出规律，再根据规律得出答案即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝x+1＝4，
∴点A1的坐标是（0，3），
∵四边形A1B1C3A2是正方形，
∴点C1的纵坐标是2，
∵当x＝1时，y＝x+1＝5，
点A2的坐标是（1，7），
∵四边形A2B2C3A3是正方形，
∴点C2的纵坐标是5，
同理，点A3的坐标是（3，2），
点C3的纵坐标是4，
∴点∁n的纵坐标是6n﹣1，
∴点C2022的纵坐标是22021，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）方程（x﹣3）2＝25的根为 x1＝8，x2＝﹣2 ．
【分析】把x﹣3看成整体，然后直接开方求解．
【解答】解：（x﹣3）2＝25，
∴x﹣5＝±5，
即x1＝3，x2＝﹣2．
故答案为：x3＝8，x2＝﹣7．
【点评】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12．（4分）如果点A（14，m）在函数y＝x+3的图象上 5 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
【解答】解：∵点A（14，m）在函数y＝，
∴m＝×14+3＝8．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
13．（4分）如果关于x的方程（m+3）x|m+1|+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值是 1 ．
【分析】根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有x的次数是2，即|m+1|＝2，系数不等于0，即m+3≠0，联合起来解即可．
【解答】解：由题意知，|m+1|＝2．
解得m＝4或﹣3且m≠﹣3，
∴m＝4．
故答案为：1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，则BD的长为 4 cm．
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，
∵AB＝cm，
∵BO＝＝2cm，
∴DO＝BO＝2cm，
∴BD＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线 200 m．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE＝DC，再求出DC的长即可．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴DE＝DC，
∵BC＝1000m，BD＝800m，
∴DC＝BC﹣BD＝200m，
∴DE＝DC＝200m，
即此时这个人到AB的最短距离为200m，
故答案为：200．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB≠AD，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 10cm ．
【分析】由平行四边形ABCD的周长为20cm，可求得AB+AD＝10cm，OB＝OD，又由EO⊥BD，可得OE是线段BD的垂直平分线，即可证得BE＝DE，继而可得△ABE的周长＝AB+AD．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为20cm，
∴OB＝OD，AB+AD＝10cm，
∵EO⊥BD，
∴BE＝DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝10cm．
故答案为：10cm．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．注意得到OE是线段BD的垂直平分线是关键．
17．（4分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），，点C落在点D处，BD交OA于点E （5，0） ．
【分析】由A（8，0），AB＝OA，得OA＝8，AB＝4，由BC∥OA，得∠OBC＝∠BOE，由折叠得∠OBC＝∠OBE，则∠BOE＝∠OBE，所以BE＝OE，根据勾股定理得42+（8﹣OE）2＝OE2，求得OE＝5，则E（5，0），于是得到问题的答案．
【解答】解：∵A（8，0）OA，
∴OA＝8，AB＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OBC＝∠BOE，
由折叠得∠OBC＝∠OBE，
∴∠BOE＝∠OBE，
∴BE＝OE，
∵∠EAB＝90°，
∴AB2+AE6＝BE2，
∴44+（8﹣OE）2＝OE6，
解得OE＝5，
∴点E的坐标为（5，3），
故答案为：（5，0）．
【点评】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明∠BOE＝∠OBE是解题的关键．
18．（4分）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，当点A在x轴上运动，BK取最小值时 （3，﹣1） ．
【分析】如图，作BH⊥x轴于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，作KM⊥EF于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，构建方程组确定交点M坐标即可解决问题．
【解答】解：如图，作BH⊥x轴于H．
∵C（0，4），7），
∴OC＝4，OK＝2，
∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，
∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，
∴∠ACO＝∠BAH，
∴△ACO≌△BAH（AAS），
∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝5，
∴B（m+4，m），
令x＝m+4，y＝m，
∴y＝x﹣3，
∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，
作KM⊥EF于M，则直线KM的解析式为y＝﹣x+7，
由，解得，
∴M（3，﹣5），
根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，此时B（3，
故答案为：（3，﹣4）
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．
三．解答题（共8小题，78分）
19．（6分）计算：．
【分析】先算乘方，再化简绝对值，最后加减．
【解答】解：．
＝﹣1﹣2+6﹣1
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、乘方及绝对值的意义是解决本题的关键．
20．（8分）先化简，再求值，其中a＝3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝3时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，BC＝，求四边形OCED的周长．
【分析】（1）根据已知条件得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质得出OC＝OD，即可得证；
（2）证明△OCD是等边三角形，勾股定理求得CD的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC，BD互相平分，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD7，
设CD＝x，则BD＝2x，
∴，
解得x＝±2（负值舍去），
∴四边形OCED的周长等于5．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；
（2）根据黄金方程的定义得到b＝﹣a﹣3，则原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，再由a是此黄金方程的一个根，得到2a2﹣a﹣3＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）一元二次方程2x2+8x+3＝0是黄金方程，理由如下：
由题意得，a＝8，c＝3，
∴a﹣b+c＝2+2﹣5＝0，
∴一元二次方程6x2+5x+3＝0是黄金方程；
（2）∵3x7﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，
∴3+b﹣（﹣a）＝5，
∴b＝﹣a﹣3，
∴原方程为3x8﹣ax﹣a﹣3＝0，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴4a2﹣a2﹣a﹣8＝0，即2a7﹣a﹣3＝0，
∴（a+5）（2a﹣3）＝7，
解得a＝﹣1或．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
23．（10分）随着经济水平的提升，人们越来越重视体育健康，为了解中学生身体素质指标合格情况，某校对全校中学生进行了一次体检，李老师随机抽取了40名学生体检结果的身高数据进行处理（每组含最低值不含最高值，单位：cm）
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ 10 ，b＝ 54 ；
（2）样本中数据的中位数所在的范围是 160～170 ；
（3）为了全面了解学生的身体健康状况，还需对学生的体重进行分析，已知青少年身体质量指数＝，请计算一下你本人的身体质量指数，确定你的身体健康状况．
【分析】（1）用样本容量40分别减去其他三组的频数可得a的值；用360°乘140～150的频率可得b的值；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据青少年身体质量指数＝，可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，a＝40﹣6﹣12﹣12＝10；
b°＝360°×＝54°．
故答案为：10；54；
（2）样本中数据的中位数所在的范围是160～170．
故答案为：160～170；
（3）假如我的体重为55km，身高为4.6m，
则身体质量指数＝≈21.5，
因为21.4在20﹣25之间，所以我的身体健康状况良好．
【点评】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．
24．（10分）甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各40000件的任务．甲快递站前期先派送了5000件后，甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送．甲快递站经过a小时后总共派送25000件．由于人员变化，派送速度变慢，甲、乙两家快递站的派送件数y（件）与派送时间x（小时）
（1）乙快递站每小时派送 5000 件，a的值为 4 ；
（2）甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数．
【分析】（1）由图象可以求出乙快递站每小时派送的件数；再根据a小时前甲、乙两家快递站派送的速度相同求出a的值；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）先根据（2）解析式求出当x＝8时y＝35000，再用40000﹣35000即可．
【解答】解：（1）由图象可知，乙快递站每小时派送；
∵a小时前甲、乙两家快递站同时以相同的速度派送，
∴a＝＝4，
故答案为：5000，2；
（2）设y＝kx+b，将（4，（10
，
解得：，
∴y关于x的函数解析式为y＝2500x+15000（7≤x≤10）；
（3）把x＝8代入y＝2500x+15000得y＝2500×8+15000＝35000，
∴40000﹣35000＝5000（件），
答：乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递有5000件．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
25．（13分）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．
（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系
（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN＝45°，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点N，CD上，∠MAN＝60°，DM，MN之间数量关系．
【分析】（1）首先利用SAS证明△EAN≌△MAN，得EN＝MN，从而得出答案；
（2）在BC上取BE＝MD．连接AE，首先由△ABE≌△ADM（SAS），得AE＝AM，∠BAE＝∠MAD，再利用SAS证明△EAN≌△MAN，得EN＝MN，即可证明结论；
（3）将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，由旋转的性质得点E、D、C共线，由（1）同理可得△EAM≌△NAM（SAS），得EM＝MN，从而解决问题．
【解答】解：（1）MN＝DM+BN．证明如下：
由旋转，可知：
AE＝AM，BE＝DM．∠ABE＝∠D＝90°，
∴点E、B、C共线，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝45°＝∠MAN．
在△EAN和△MAN中，
∴△EAN≌△MAN（SAS）．
∴EN＝MN，
∵EN＝BE+BN，
∴MN＝DM+BN；
（2）MN＝BN﹣DM．证明如下：
在BC上取BE＝MD．连接AE，
∵AB＝AD，∠B＝∠ADM，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠MAD，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝45°＝∠MAN．
在△EAN和△MAN中，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴EN＝MN，
∵EN＝BN﹣BE，
∴MN＝BN﹣DM；
（3）将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AE，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴点E、D、C共线，
由（1）同理可得△EAM≌△NAM（SAS），
∴EM＝MN，
∴MN＝DM+BN．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3），与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值．
【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题．
（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB﹣PC＝BC最大，利用勾股定理即可求得最大值．
【解答】解：（1）把A（3，5）代入y4＝（m≠0），
∴反比例函数的解析式为y2＝．
把点B（a，﹣4）代入，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（4，5），﹣3）代入y6＝kx+b，可得．
∴．
∴一次函数的解析式为y1＝x+2．
（2）一次函数的解析式为y4＝x+2，令x＝0．
∴一次函数与y轴的交点为P（7，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，
令y＝0，则x＝﹣4，
∴C（﹣2，0）．
过B点向x轴作垂线，
由勾股定理可得：
BC＝＝3．
故所求PB﹣PC的最大值为3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键
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