高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时综合训练题

1.4.2 用空间向量解决角度问题（第2课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、概念填空

1．（2022·全国·高二专题练习）夹角

（1）求异面直线所成的角

若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=______ .

（2）求直线和平面所成的角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______.

（3）求二面角

如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=_______

（4）求平面与平面的夹角

平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________.

二、填空题

2．（2022·全国·高二课时练习）已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为______．

3．（2022·全国·高二课时练习）如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成角的大小为___________.

4．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成角的大小为___________.

5．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为__________.

6．（2021·海南·三亚华侨学校高二阶段练习）如图，正方体中，，分别是，的中点，则_________，

7．（2022·全国·高二）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.

8．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为______．

9．（2021·福建·高二阶段练习）平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为___________.

三、单选题

10．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

11．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（       ）

A．30° B．150° C．60° D．120°

12．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

13．（2021·全国·高二课时练习）在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）.

A． B． C． D．

14．（2021·陕西汉中·高二期末（理））正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

15．（2021·全国·高二单元测试）把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（       ）.

A． B． C． D．

四、多选题

16．（2022·广东·高二期末）给出下列命题，其中不正确的有（       ）

A．若，则是钝角

B．若，则与一定共线

C．若，则与为同一线段

D．非零向量､､满足与，与，与都是共面向量，则､､必共面

五、解答题

17．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有单位正方体，点E是的中点，求直线与直线CE所成角的余弦值．

18．（2022·全国·高二课时练习）已知是正方体，求直线与直线所成角的大小.

19．（2022·全国·高二专题练习）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．

【能力提升】

一、单选题

1．（2023·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（     ）

A．

B．BD⊥平面ACC₁

C．向量 与的夹角是60°

D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为

二、多选题

2．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）在长方体中，，则下列命题为真命题的是（       ）

A．若直线与直线所成的角为，则

B．若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则

C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则

D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则

3．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥． 设二面角为，直线和直线所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是（       ）

A．PC与平面BCD所成的最大角为45°

B．存在某个位置，使得PB⊥CD

C．当时，的最大值为

D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为

4．（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）在正方体中，点满足，其中，，则（       ）

A．当时，平面

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，的面积为定值

D．当时，直线与所成角的范围为

三、解答题

5．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求二面角的正弦值．

6．（2022·北京延庆·高二期末）在四棱锥中，，，，，，平面，．

(1)若是的中点，求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)求与平面所成角的正弦值．

7．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点.

(1)若是棱的中点，求二面角的大小；

(2)请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论.

8．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）如图，在四面体中，为等边三角形，点分别为棱的中点，且.

(1)证明：；

(2)若二面角的大小为，求二面角的余弦值.

9．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，又为中点

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

10．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，，

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

11．（2022·广东广州·高二期末）在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．

(1)求证：平面；

(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．

12．（2022·广东湛江·高二期末）如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.

(1)证明：；

(2)若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.