数学1.4 空间向量的应用第3课时同步练习题

1.4.2用空间向量解决距离、夹角的应用（第3课时）

（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·湖北·高二阶段练习）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线与平面所成角为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·安徽·高二期末）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）在长方体中，，，则异面直线与所成角的大小可能为（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，则（       ）

A．点到平面的距离为1

B．点到平面的距离为

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题

5．（2022·四川·成都七中高二期中（理））如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；

6．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．

7．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为___________.

8．（2022·江苏淮安·高二期中）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角大小为________.

9．（2022·全国·高二课时练习）（1）若空间直线与所成的角为，它们的一个方向向量分别为与，向量与的夹角为，则与的关系是：______，即______；

（2）若直线与平面所成的角为，向量是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，与的 为，则与的关系是：______，即______.

（3）二面角的大小与两平面法向量的夹角之间的关系为______.

四、解答题

10．（2022·重庆南开中学高二期末）四棱锥，底面为矩形，面，且，点在线段上，且面.

(1)求线段的长；

(2)对于（1）中的，求直线与面所成角的正弦值.

11．（2022·福建泉州·高二期末）在四棱锥中，，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值.

12．（2022·安徽省宣城中学高二期末）如图，在圆锥中，已知的直径，点是的中点，点为中点.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值.

13．（2022·福建莆田·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，点M为棱PC的中点．

(1)证明：；

(2)求平面ABM与平面ABCD所成角的余弦值．

14．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）如图，三棱柱中，，，平面.

(1)求证：；

(2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

15．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)求面与面所成二面角的大小.

16．（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）如图，已知四棱锥平面，

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

17．（2021·河北唐山·高二期中）如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；

(2)求点A到平面BDF的距离．

18．（2021·北京二中高二期末）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，.

(1)求证：平面.

(2)求平面与平面夹角的余弦值

(3)线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

19．（2022·广东·高二期末）四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．

(1)求证：；

(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．

20．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．

(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；

(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B­MD­E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．

21．（2022·四川乐山·高二期末（理））如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，平面平面.

(1)判断与的位置关系并给予证明；

(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.

22．（2022·江苏省镇江中学高二期末）已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是边长为4的菱形.∠BCD=60°，四边形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.

(1)求证：AC⊥BE：

(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值.

【能力提升】

一、单选题

1．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是(      )

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A．  B． C． D．

4．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·浙江丽水·高二期末）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ）

A． B．

C． D．

6．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．（2022·全国·高二单元测试）在正方体中，动点M在线段上，E，F分别为，AD的中点．若异面直线EF与BM所成角为，则的值可能是（       ）

A． B． C． D．

8．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是正方体的棱和的中点，则（       ）

A．与是异面直线

B．与所成角的大小为

C．与平面所成角的正弦值为

D．二面角的余弦值为

9．（2022·湖北武汉·高二期末）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，DA＝DC＝，将四边形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（            ）

A．两条异面直线AB与CD所成角的范围是

B．P为线段CD上一点（包括端点），当CD⊥AB时，

C．三棱锥D−ABC的体积最大值为

D．当二面角D−AC−B的大小为时，三棱锥D−ABC的外接球表面积为

三、解答题

10．（2022·甘肃临夏·高二期末（理））如图，直三棱柱中，E是侧棱的中点，，，．

(1)求证：平面平面；

(2)若，求平面与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

11．（2022·全国·高二单元测试）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为．

(1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD．

(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

12．（2022·全国·高二单元测试）如图1，已知在等边三角形ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点，点M为EF的中点，点N为BC边上一点，且，连接AM，MN，BF，将△AEF沿EF折起到的位置，使平面平面EFCB，如图2．

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

13．（2022·全国·高二单元测试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．

(1)求证：平面SCD；

(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值；

(3)设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求的最大值．

14．（2022·全国·高二课时练习）从①平面平面，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，分别是棱，的中点，且______．

(1)求证：；

(2)若，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在几何体EFG-DABC中，四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．

(1)求证：BMEF．

(2)当DM的长为多少时，使得直线MB与平面BEF所成的角为45？

16．（2022·浙江省杭州学军中学高二开学考试）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．

(1)求四棱锥的体积的最大值；

(2)若棱的中点为，求的长；

(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．

17．（2022·广东佛山·高二期末）如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为．

(1)若，，求三棱锥的体积；

(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．

18．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.

(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；

(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.