第17练 任意角和弧度制及三角函数的概念（精练：基础+重难点）-高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第17练 任意角和弧度制及三角函数的概念（精练）

【A组 在基础中考查功底】

一、单选题

1．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．用弧度制表示终边在轴上的角的集合，正确的是（    ）

A．Z}

B．Z}

C．Z}

D．Z}

3．已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ）

A． B．

C． D．

5．已知是第一象限角，那么（    ）

A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角

C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角

6．已知第二象限角的终边与单位圆交于，则（    ）

A． B． C． D．

7．若，则角的终边在（    ）

A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限

8．已知角的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（    ）

A． B． C． D．

9．已知角α的终边上一点，且，则m等于（   ）

A． B．3 C．-3 D．

10．若是第四象限角，则点在（    ）

A．第二或第四象限 B．第一或第三象限

C．第三或第四象限 D．第一或第二象限

二、多选题

11．下列说法正确的是（      ）

A． B．第一象限的角是锐角

C．1弧度的角比1°的角大 D．锐角是第一象限的角

12．下列说法正确的是（    ）

A．终边在y轴上的角的集合为

B．若是第二象限角，则是第一或第三象限角

C．三角形的内角必是第一或第二象限角

D．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为4.

13．已知点在角的终边上，且，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．0

14．下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．已知角为第二象限角，且，则

C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为

D．终边经过点的角的集合是

三、填空题

15．若点是角终边上的一点，且，则的值是______.

16．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为___________.

17．已知的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点是终边上一点，则等于__________.

18．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为，则该扇环的面积为______.

四、解答题

19．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．

(1)若，，求扇形的弧长l；

(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．

20．油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为，顶点到下边沿上任一点的长度为.

(1)若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？

(2)若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油，则刷一个这样的油纸伞需要多少千克桐油？（参考数据：）

【B组 在综合中考查能力】

一、单选题

1．如果角的终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

2．若，，则的终边在（    ）

A．第一、三象限

B．第二、四象限

C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上

D．第二、四象限或在x轴上

3．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）

A．

B．若，扇形的半径，则

C．若扇面为“美观扇面”，则

D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为

4．如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）

A．1 B．

C． D．4

5．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考故难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点和在以坐标原点为圆心，半径为l的上逆时针匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad／s，起点为射线与的交点，则当与重合时，的坐标可以为（    ）

A． B．

C． D．

7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（    ）

A．圆锥的母线长为9 B．圆锥的表面积为

C．圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为 D．圆锥的体积为

三、填空题

8．已知扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是_________.

9．已知角的终边在直线上，则的值为________.

10．由的值组成的集合为________．

11．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______.

四、解答题

12．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．

(1)若，求扇形的弧长．

(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．

13．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.

(1)求的值；

(2)求的值.

【C组 在创新中考查思维】

一、单选题

1．在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（    ）

A． B． C． D．

2．已知是棱长为1的正方体，点P为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是（    ）

A．若，则点P的轨迹长度为

B．若，则点P的轨迹长度为

C．若，则点P的迹长度为

D．若，则点P的轨迹长度为

3．已知角的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为

A．1 B． C． D．2

4．已知，则角所在的区间可能是

A． B． C． D．

二、多选题

5．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（    ）

A．勒洛四面体最大的截面是正三角形

B．勒洛四面体的体积大于正四面体的体积

C．勒洛四面体被平面截得的截面面积是

D．勒洛四面体四个曲面所有交线长的和为

三、填空题

6．如图，圆O的半径为1m，A为圆O上一点，动点M， N同时从A点出发，M沿着OA方向向右以1m/s的速度做匀速直线运动，N沿着圆周按逆时针以1m/s的线速度做匀速圆周运动，运动时间为t时，的面积为，线段ON扫过的扇形AON（阴影部分）的面积为，则下列说法中正确的有______.（填入所有你认为正确的选项的序号）

①当时，为钝角；

②当时，M、N之间距离最大；

③在这段时间，存在一个时刻使得MN与圆O相切；

④在这段时间，恰有三个时刻使得.

7．已知是第三象限的角，比较、、的大小关系是________.（用“”号连接）

四、解答题

8．宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）.

（1）求关于的函数关系式；

（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值.