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中考数学一轮复习考点复习专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】(含解析)
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这是一份中考数学一轮复习考点复习专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】(含解析),共23页。试卷主要包含了等式的基本性质.,不等式的基本性质,二元一次方程组的定义,二元一次方程组的解法等内容,欢迎下载使用。
专题05 方程与不等式概念与相关计算
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知识精讲
考点1:等式与不等式性质
1.等式的基本性质.
性质①:若a=b,则a±m=b±m;
性质②:若a=b,则am=bm; 若a=b,则(d≠0).
2.不等式的基本性质
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.
(2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
(3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
【例1】宁宁同学拿了一个天平,测量饼干与糖果的质量(每块饼干的质量都相同,每颗糖果的质量都相同)
做了一下试验.第一次:左盘放两块饼干,右盘放三颗糖果,结果天平平衡;第二次,左盘放一块饼干和
一颗糖果,右盘放10克砝码,结果天平平衡;第三次:左盘放一颗糖果,右盘放一块饼干,下列哪一种方
法可使天平再度平衡( )
A.左盘上加2克砝码 B.右盘上加2克砝码
C.左盘上加5克砝码 D.右盘上加5克砝码
【分析】根据第一个等式,可得1饼干与糖果的关系,根据第二个等式,可得1糖果的质量,1饼干的质量,再根据等式的性质,可得答案.
【详解】解:①2饼干=3糖果,1饼干=1.5糖果,
②1饼干+1糖果=10砝码,把1饼干=1.5糖果代入,得
1.5糖果+1糖果=10砝码,
1糖果=4砝码,
1饼干=1.5糖果=1.5×4=6砝码,
4砝码+2砝码=6砝码,
∴1糖果+2砝码=1饼干,
故选:A.
【例2】(2021·湖南常德市)若,下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案.
【详解】
解:A.在不等式两边同时减去5,不等式仍然成立,即,故选项A不符合题意;
B. 在不等式两边同时除以-5,不等号方向改变,即,故选项B不符合题意;
C.当c≤0时,不等得到,故选项C符合题意;
D. 在不等式两边同时加上c,不等式仍然成立,即,故选项D不符合题意;
故选:C.
方法技巧
1.运用等式的性质的注意事项
(1)等式两边都要参与运算,并且是作同一种运算.
(2)等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
(3)等式两边不能同时除以0,即0不能作除数或分母.
2.运用不等式的性质注意以下要点:
(1)“0”是很特殊的一个数,因此,解答不等式的问题时,应密切关注“0”存在与否,以防掉进“0”的陷阱.
(2)不等式的基本性质:
① 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
② 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
③ 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
针对训练
1.(2021·山东临沂市)已知,下列结论:①;②;③若,则;④若,则,其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据不等式的性质分别判断即可.
【详解】
解:∵a>b,则
①当a=0时,,故错误;
②当a<0,b<0时,,故错误;
③若,则,即,故错误;
④若,则,则,故正确;
故选A.
2.下列判断错误的是( )
A.如果a=b,那么ac﹣d=bc﹣d B.如果a=b,那么
C.如果x=3,那么x2=3x D.如果ax=bx,那么a=b
【分析】根据等式的性质一一判断即可.
【详解】解:A、如果a=b,那么ac﹣d=bc﹣d,正确,故选项不符合题意;
B、如果a=b,那么,正确,故选项不符合题意;
C、如果x=3,那么x2=3x,正确,故选项不符合题意;
D、当x=0时,不一定成立,故选项符合题意;
故选:D.
考点2:一次方程(组)概念与解法
1.一元一次方程的有关概念
(1)只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的整式方程,叫做一元一次方程.其一般形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0).
(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.方程的解又叫做方程的根.
2.一元一次方程解法的一般步骤:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤未知数的系数化为1.
3.二元一次方程组的定义:形如和都是
4.二元一次方程组的解法:
① 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
a. 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;
b. 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;
c. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
② 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;
b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
c. 解这个一元一次方程;
d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.
【例3】(2021·浙江温州市)解方程,以下去括号正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】去括号得法则:括号前面是正因数,去掉括号和正号,括号里的每一项都不变号;括号前面是负因数,去掉括号和负号,括号里的每一项都变号.
【详解】
解:
,
故选:D.
【例4】(2021·天津)方程组的解是( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可.
【详解】
,
②-①得:,即,
∴.
将代入①得:,
∴.
故原二元一次方程组的解为.
故选B.
方法技巧
1.解一元一次方程的基本步骤.
①去分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤系数化为1.
2.解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法
针对训练
1.(2021·广东)二元一次方程组的解为___.
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解.
【详解】
解:,
由①式得: ,代入②式,
得: ,
解得 ,
再将代入①式,
,
解得 ,
∴ ,
故填:.
2.(2021·重庆)方程的解是__________.
【分析】按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可.
【详解】
解:,
去括号得,,
移项得,,
系数化为1得,,
故答案为:.
考点3:分式方程概念与解法
1.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.
(2)常用方法:①去分母;②换元法.
(3)去分母法的步骤:①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
(4)换元法的步骤:①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
(5)解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.
【例5】(2021·广东)方程的解为( )
A. B. C. D.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解即得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【详解】
解:
去分母得:,
移项合并得:,
化系数为“1”得:,
检验,当时,,
∴是原分式方程的解.
故选:D.
【例6】(2021·江苏泰州市)解方程:+1=.
【分析】先将分式方程化简为整式方程,再求解检验即可.
【详解】
解:(1)原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3),
(2)等式两边同时乘以(x-2)得2x+x-2=-5,
移项合并同类项得3x=-3,
系数化为1得x=-1
检验:当x=-1时,x-2,
∴x=-1是原分式方程的解.
方法技巧
解分式方程的有关要点
(1)解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程,再求解.
(2)解分式方程时,方程两边同乘最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根.
(3)分式方程的检验方法:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
针对训练
1.(2021·湖北黄石市)分式方程的解是______.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【详解】
解:
去分母得:,
去括号化简得:,
解得:,
经检验是分式方程的根,
故填:.
2.(2021·江苏南通市)解方程.
【分析】根据解分式方程的步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可.
【详解】
,
去分母得:,
解得:,
经检验,是原方程的解.
则原方程的解为:.
考点4:一元二次方程概念与解法
1.一元二次方程
(1)概念:只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次,且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程.
(2)一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2叫做二次项,bx叫做一次项,c叫做常数项,a是二次项的系数,b是一次项的系数,注意a≠0.
2.一元二次方程的解法
(1)基本思路:降次.
(2)方法:
① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是;
② 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解;
③ 公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为;
④ 因式分解法:将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解.
【例7】(2021·浙江丽水市)用配方法解方程时,配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】
先把常数项移到方程的右边,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可.
【详解】
解:,
,
,
,
故选:D.
【例8】(2021·湖北十堰市)对于任意实数a、b,定义一种运算:,若,则x的值为________.
【分析】根据新定义的运算得到,整理并求解一元二次方程即可.
【详解】
解:根据新定义内容可得:,
整理可得,
解得,,
故答案为:或2.
方法技巧
解答本考点的有关题目,关键在于掌握解一元二次方程的基本思路和步骤。注意以下要点:
(1)解一元二次方程的基本思路是降次,解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种;
(2)求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法,重点在于掌握求根公式和因式分解的方法.
针对训练
1.(2021·山东枣庄市·中考真题)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于的方程的两个根,则的值为______.
【分析】
分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况,再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得.
【详解】
解:由题意,分以下两种情况:
(1)当4为等腰三角形的腰长时,则4是关于的方程的一个根,
因此有,
解得,
则方程为,解得另一个根为,
此时等腰三角形的三边长分别为,满足三角形的三边关系定理;
(2)当4为等腰三角形的底边长时,则关于的方程有两个相等的实数根,
因此,根的判别式,
解得,
则方程为,解得方程的根为,
此时等腰三角形的三边长分别为,满足三角形的三边关系定理;
综上,的值为8或9,
故答案为:8或9.
考点5:一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式:ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac.
(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当b2-4ac
相关试卷
这是一份中考数学二轮复习专题05方程与不等式概念与相关计算A含解析答案,共21页。试卷主要包含了若,下列不等式不一定成立的是,已知,下列结论,下列判断错误的是,解方程,以下去括号正确的是,方程组的解是,方程的解为,若方程没有实数根,则的值可以是等内容,欢迎下载使用。
这是一份中考数学一轮复习考点复习专题06 方程与不等式的实际运用【考点精讲】(含解析),共24页。
这是一份初中数学中考复习 专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】(解析版),共23页。试卷主要包含了等式的基本性质.,不等式的基本性质,二元一次方程组的定义,二元一次方程组的解法等内容,欢迎下载使用。
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