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    中考数学一轮复习考点复习专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】(含解析)

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    中考数学一轮复习考点复习专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】(含解析)

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    这是一份中考数学一轮复习考点复习专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】(含解析),共23页。试卷主要包含了等式的基本性质.,不等式的基本性质,二元一次方程组的定义,二元一次方程组的解法等内容,欢迎下载使用。
    专题05 方程与不等式概念与相关计算


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    知识精讲


    考点1:等式与不等式性质
    1.等式的基本性质.
    性质①:若a=b,则a±m=b±m;
    性质②:若a=b,则am=bm; 若a=b,则(d≠0).
    2.不等式的基本性质
    (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.
    (2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
    (3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

    【例1】宁宁同学拿了一个天平,测量饼干与糖果的质量(每块饼干的质量都相同,每颗糖果的质量都相同)
    做了一下试验.第一次:左盘放两块饼干,右盘放三颗糖果,结果天平平衡;第二次,左盘放一块饼干和
    一颗糖果,右盘放10克砝码,结果天平平衡;第三次:左盘放一颗糖果,右盘放一块饼干,下列哪一种方
    法可使天平再度平衡(  )
    A.左盘上加2克砝码 B.右盘上加2克砝码
    C.左盘上加5克砝码 D.右盘上加5克砝码
    【分析】根据第一个等式,可得1饼干与糖果的关系,根据第二个等式,可得1糖果的质量,1饼干的质量,再根据等式的性质,可得答案.
    【详解】解:①2饼干=3糖果,1饼干=1.5糖果,
    ②1饼干+1糖果=10砝码,把1饼干=1.5糖果代入,得
    1.5糖果+1糖果=10砝码,
    1糖果=4砝码,
    1饼干=1.5糖果=1.5×4=6砝码,
    4砝码+2砝码=6砝码,
    ∴1糖果+2砝码=1饼干,
    故选:A.
    【例2】(2021·湖南常德市)若,下列不等式不一定成立的是( )
    A. B. C. D.
    【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案.
    【详解】
    解:A.在不等式两边同时减去5,不等式仍然成立,即,故选项A不符合题意;
    B. 在不等式两边同时除以-5,不等号方向改变,即,故选项B不符合题意;
    C.当c≤0时,不等得到,故选项C符合题意;
    D. 在不等式两边同时加上c,不等式仍然成立,即,故选项D不符合题意;
    故选:C.
    方法技巧


    1.运用等式的性质的注意事项
    (1)等式两边都要参与运算,并且是作同一种运算.
    (2)等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
    (3)等式两边不能同时除以0,即0不能作除数或分母.
    2.运用不等式的性质注意以下要点:
    (1)“0”是很特殊的一个数,因此,解答不等式的问题时,应密切关注“0”存在与否,以防掉进“0”的陷阱.
    (2)不等式的基本性质:
    ① 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
    ② 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
    ③ 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    针对训练


    1.(2021·山东临沂市)已知,下列结论:①;②;③若,则;④若,则,其中正确的个数是( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【分析】根据不等式的性质分别判断即可.
    【详解】
    解:∵a>b,则
    ①当a=0时,,故错误;
    ②当a<0,b<0时,,故错误;
    ③若,则,即,故错误;
    ④若,则,则,故正确;
    故选A.
    2.下列判断错误的是(  )
    A.如果a=b,那么ac﹣d=bc﹣d B.如果a=b,那么
    C.如果x=3,那么x2=3x D.如果ax=bx,那么a=b
    【分析】根据等式的性质一一判断即可.
    【详解】解:A、如果a=b,那么ac﹣d=bc﹣d,正确,故选项不符合题意;
    B、如果a=b,那么,正确,故选项不符合题意;
    C、如果x=3,那么x2=3x,正确,故选项不符合题意;
    D、当x=0时,不一定成立,故选项符合题意;
    故选:D.

    考点2:一次方程(组)概念与解法
    1.一元一次方程的有关概念
    (1)只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的整式方程,叫做一元一次方程.其一般形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0).
    (2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.方程的解又叫做方程的根.
    2.一元一次方程解法的一般步骤:
    ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤未知数的系数化为1.
    3.二元一次方程组的定义:形如和都是
    4.二元一次方程组的解法:
    ① 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
    a. 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;
    b. 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;
    c. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
    d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
    ② 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
    a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;
    b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
    c. 解这个一元一次方程;
    d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.

    【例3】(2021·浙江温州市)解方程,以下去括号正确的是( )
    A. B. C. D.
    【分析】去括号得法则:括号前面是正因数,去掉括号和正号,括号里的每一项都不变号;括号前面是负因数,去掉括号和负号,括号里的每一项都变号.
    【详解】
    解:

    故选:D.
    【例4】(2021·天津)方程组的解是( )
    A. B. C. D.
    【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可.
    【详解】

    ②-①得:,即,
    ∴.
    将代入①得:,
    ∴.
    故原二元一次方程组的解为.
    故选B.
    方法技巧


    1.解一元一次方程的基本步骤.
    ①去分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤系数化为1.
    2.解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法
    针对训练


    1.(2021·广东)二元一次方程组的解为___.
    【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解.
    【详解】
    解:,
    由①式得: ,代入②式,
    得: ,
    解得 ,
    再将代入①式,

    解得 ,
    ∴ ,
    故填:.
    2.(2021·重庆)方程的解是__________.
    【分析】按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可.
    【详解】
    解:,
    去括号得,,
    移项得,,
    系数化为1得,,
    故答案为:.

    考点3:分式方程概念与解法
    1.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
    2.分式方程的解法
    (1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.
    (2)常用方法:①去分母;②换元法.
    (3)去分母法的步骤:①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
    (4)换元法的步骤:①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
    (5)解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.

    【例5】(2021·广东)方程的解为( )
    A. B. C. D.
    【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解即得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
    【详解】
    解:
    去分母得:,
    移项合并得:,
    化系数为“1”得:,
    检验,当时,,
    ∴是原分式方程的解.
    故选:D.
    【例6】(2021·江苏泰州市)解方程:+1=.
    【分析】先将分式方程化简为整式方程,再求解检验即可.
    【详解】
    解:(1)原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3),
    (2)等式两边同时乘以(x-2)得2x+x-2=-5,
    移项合并同类项得3x=-3,
    系数化为1得x=-1
    检验:当x=-1时,x-2,
    ∴x=-1是原分式方程的解.
    方法技巧


    解分式方程的有关要点
    (1)解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程,再求解.
    (2)解分式方程时,方程两边同乘最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根.
    (3)分式方程的检验方法:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
    针对训练


    1.(2021·湖北黄石市)分式方程的解是______.
    【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
    【详解】
    解:
    去分母得:,
    去括号化简得:,
    解得:,
    经检验是分式方程的根,
    故填:.
    2.(2021·江苏南通市)解方程.
    【分析】根据解分式方程的步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可.
    【详解】

    去分母得:,
    解得:,
    经检验,是原方程的解.
    则原方程的解为:.
    考点4:一元二次方程概念与解法
    1.一元二次方程
    (1)概念:只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次,且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程.
    (2)一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2叫做二次项,bx叫做一次项,c叫做常数项,a是二次项的系数,b是一次项的系数,注意a≠0.
    2.一元二次方程的解法
    (1)基本思路:降次.
    (2)方法:
    ① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是; 
    ② 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解; 
    ③ 公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为; 
    ④ 因式分解法:将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解.

    【例7】(2021·浙江丽水市)用配方法解方程时,配方结果正确的是( )
    A. B. C. D.
    【分析】
    先把常数项移到方程的右边,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可.
    【详解】
    解:,



    故选:D.
    【例8】(2021·湖北十堰市)对于任意实数a、b,定义一种运算:,若,则x的值为________.
    【分析】根据新定义的运算得到,整理并求解一元二次方程即可.
    【详解】
    解:根据新定义内容可得:,
    整理可得,
    解得,,
    故答案为:或2.
    方法技巧


    解答本考点的有关题目,关键在于掌握解一元二次方程的基本思路和步骤。注意以下要点:
    (1)解一元二次方程的基本思路是降次,解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种;
    (2)求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法,重点在于掌握求根公式和因式分解的方法.
    针对训练


    1.(2021·山东枣庄市·中考真题)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于的方程的两个根,则的值为______.
    【分析】
    分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况,再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得.
    【详解】
    解:由题意,分以下两种情况:
    (1)当4为等腰三角形的腰长时,则4是关于的方程的一个根,
    因此有,
    解得,
    则方程为,解得另一个根为,
    此时等腰三角形的三边长分别为,满足三角形的三边关系定理;
    (2)当4为等腰三角形的底边长时,则关于的方程有两个相等的实数根,
    因此,根的判别式,
    解得,
    则方程为,解得方程的根为,
    此时等腰三角形的三边长分别为,满足三角形的三边关系定理;
    综上,的值为8或9,
    故答案为:8或9.
    考点5:一元二次方程根的判别式
    一元二次方程根的判别式:ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac.
    (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 
    (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 
    (3)当b2-4ac

    相关试卷

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    中考数学一轮复习考点复习专题06 方程与不等式的实际运用【考点精讲】(含解析):

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