中考数学一轮复习考点复习专题08 一次函数【考点精讲】（含解析）

这是一份中考数学一轮复习考点复习专题08 一次函数【考点精讲】（含解析），共21页。试卷主要包含了一次函数与正比例函数的定义，一次函数与正比例函数的关系，一次函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。

专题08 一次函数

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考点1：一次函数图象与性质
1．一次函数与正比例函数的定义
如果y=kx+b(k≠0),那么y叫x的一次函数,当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数。正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质。
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线.它可以由直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为，与y轴的交点为(0,b).
3．一次函数的图象与性质
函数
系数取值
大致
图象
经过的象限
函数性质
y=kx

(k≠0)
k>0

一、三
y随x增大而增大
k<0

二、四
y随x增大而减小
y=kx+b

(k≠0)
k>0
b>0

一、二、三
y随x增大而增大
k>0
b<0

一、三、四
k<0
b>0

一、二、四
y随x增大而减小
k<0
b<0

二、三、四

【例1】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ）
A．y随x增大而增大 B．
C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【分析】将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】
解：∵一次函数过点，
∴，解得，
∴一次函数为，y随x增大而减小，故A和B错误；
当时，，故C正确；
该一次函数与x轴交于点，与y轴交于点，
∴与坐标轴围成的三角形面积为，故D错误；
故选：C．
【例2】（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数
的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】求得解析式即可判断．
【详解】∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），
方法技巧
故选：A．


解答本考点的有关题目，关键在于掌握一次函数的图象与系数的关系. 注意以下要点：
（1）当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
（2）当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
（3）当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
（4）当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小. 针对训练



1．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可．
【详解】
解：在一次函数y=2x+1中，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵2<，
∴．
∴m 故选：C
2．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】
解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；
C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；
故选：D
3．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答．
【详解】由题意知，k＝2＞0，b＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
故选：B．
考点2：一次函数解析式的确定
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
（1）由题意设出函数的关系式;
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;
（3）解关于待定系数的方程或方程组,求出待定系数的值;
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.

【例3】（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【分析】根据题意及图象可设该函数解析式为，然后把代入求解即可．
【详解】
解：由题意及图象可设该函数解析式为，则把代入得：
，解得：，
∴该函数解析式为；
故选C．
针对训练


1．（2021·内蒙古呼和浩特市）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】
过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．
【详解】
解：正方形中，过点作轴于点，






设直线所在的直线解析式为，
代入，得


，
故选：A．

2．（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
（1）求直线1的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．
【详解】（1）∵直线l′：y＝bx+k中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴，解得，
∴直线1′的解析式为y＝3x+1；
∴直线1的解析式为y＝x+3；
（2）如图，解得，
∴两直线的交点为（1，4），
∵直线1′：y＝3x+1与y轴的交点为（0，1），
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：；
（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x；
把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；
当a﹣30时，a，
当（a﹣3+0）时，a＝7，
当（0）＝a﹣3时，a，
∴直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．
3．如图，直线l1的解析式为yx+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
【详解】解：（1）设l2的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，解得，
则函数的解析式是：y＝﹣x+4；

（2）在yx+1中令y＝0，
即yx+1＝0，解得：x＝﹣2，
则D的坐标是（﹣2，0）．
解方程组，解得，
则C的坐标是（2，2）．
则S△ADCAD×yC6×2＝6；

（3）存在，理由：
设C（2，2）关于y轴的对称点C′（2，﹣2），
连接BC′交x轴于点E，则点E为所求点，

△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′为最小，
设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则，解得：，
则直线的解析式是yx，
令y＝0，则yx0，解得：x．
则E的坐标是（，0）．
考点3：一次函数与方程、不等式的关系

【例4】（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ）

A． B． C． D．或
【分析】根据图像以及两交点，点的坐标得出即可．
【详解】
解：∵直线和与x轴分别相交于点，点，
∴观察图像可知解集为，
故选：A．
【例5】（2021·广西贺州市·中考真题）直线（）过点，，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】
关于的方程的解为函数的图象与x轴的交点的横坐标，由于直线过点A(2,0)，即当x=2时，函数的函数值为0，从而可得结论．
【详解】
直线（）过点，表明当x=2时，函数的函数值为0，即方程的解为x=2．
故选：C．针对训练



1．（2021·福建中考真题）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
【分析】
先平移该一次函数图像，得到一次函数的图像，再由图像即可以判断出 的解集．
【详解】
解：如图所示，将直线向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点，
由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0，
因此，当x>0时，，
故选：C．

2．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可．
【详解】
解：由题意可知，
当时，
直线的图像位于直线图像的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选：C．
3．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【分析】直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．
【详解】
∵直线不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=，
∵m＜0，
∴-4m＞0,
∴1-4m＞1＞0,
∴△＞0,
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故选D．

考点4：一次函数的实际应用

【例6】（图像类）（2021·重庆中考真题）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【分析】
根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．
【详解】
解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，
∴，
设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得，
∴，
A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s时，甲无人机离地面80m，
乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m．
故选：B．
【例7】（方案设计、选取类）（2021·江苏连云港市）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】
（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【详解】
解：（1）设种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．
由题意得：，解之得，，
答：种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元．
（2）设购进种消毒液瓶，则购进种瓶，购买费用为元．
则，
∴随着的增大而减小，最大时，有最小值．
又，∴．
由于是整数，最大值为67，
即当时，最省钱，最少费用为元．
此时，．
针对训练
最省钱的购买方案是购进种消毒液67瓶，购进种23瓶．


1．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知A、B两地相距，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

（1）图中m的值是__________；轿车的速度是________；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距？
【答案】（1）5；120；（2）；（3）或．
【分析】
（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为2h，即可得出从A到B的时间，进而可得m的值，根据速度=距离÷时间即可得轿车速度；
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，分1≤x<2.5；2.5≤x<3.5；3.5≤x<5三个时间段，分别利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车相遇前和相遇后相距12km两种情况，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为3-1=2h，
∴轿车从A到B的时间为2h，
∴m=3+2=5，
∵A、B两地相距，
∴轿车速度=240÷2=120km/h，
故答案为：5；120
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，
①设
∵图象过点和点
∴
解得：，
∴
②∵货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，
∴，
③设，
∵图象过点和点
∴
解得：，
∴，
∴．
（3）设轿车出发xh与货车相距，则货车出发（x+1）h，
①当两车相遇前相距12km时：，
解得：,
②当两车相遇后相距12km时：=12，
解得：x=1，
答：轿车出发或与货车相距．
2．（2020•乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4

（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【分析】（1）设租用一辆轿车的租金为x元，根据“单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元”列方程解答即可；
（2）分三种情况讨论：①只租用商务车；②只租用轿车；③混和租用两种车．分别求出每种情况所需租金，再比较大小即可解答．
【解析】（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；

（2）①若只租用商务车，
∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）；
②若只租用轿车，
∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．
由题意，得 ，
由6m+4n＝34，得 4n＝﹣6m+34，
∴W＝300m+60（﹣6m+34）＝﹣60m+2040，
∵﹣6m+34＝4n≥0，
∴，
∴1≤m≤5，且m为整数，
∵W随m的增大而减小，
∴当m＝5时，W有最小值1740，此时n＝1．
综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
3．（2021·云南中考真题）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．

（1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据图像中l1和l2经过的点，利用待定系数法求解即可；
（2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可．
【详解】
解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200），
设的解析式为，则，
解得：，
∴l1的解析式为，
设的解析式为，
由l2经过点（0，800），（40，1200），
则，解得：，
∴l2的解析式为；
（2）方案一：，即，
解得：；
方案二：，即，即，无解，
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．