中考数学一轮复习考点复习专题32 圆的有关概念和性质【考点精讲】（含解析）

考点1：垂径定理

1．定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 

2．推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 

3．推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 

注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.

【例1】（2021·广西玉林市）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（    ）

A．两人说的都对              B．小铭说的对，小燕说的反例不存在

C．两人说的都不对            D．小铭说的不对，小熹说的反例存在

【答案】D

【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．

【详解】

解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：

小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；

故选D．

【例2】（2021·青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（    ）．

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分

【答案】A

【分析】

首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．

【详解】

解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，

∴AC=AB=×16=8（厘米），

在Rt△AOC中，（厘米），

∴CD=OC+OD=16（厘米），

∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，

∴16÷16=1（厘米/分）．

∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．

故选：A．

1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．根据垂径定理构造直角三角形，一般为过圆心作已知弦的弦心距，常用于求线段的长度.

1．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝6cm，EB＝2cm，∠BED＝30°，求CD的长．

【分析】先过点O作OM⊥CD，连结OC，根据垂径定理得出CD＝2CM，再根据AE＝6cm，EB＝2cm，求出AB，再求出OC、OB、OE，再根据∠CEA＝30°，求出OMOE2＝1cm，根据CM，求出CM，最后根据CD＝2CM即可得出答案．

【解答】解：过点O作OM⊥CD，连结OC，则CD＝2CM，

∵AE＝6cm，EB＝2cm，

∴AB＝8（cm），

∴OC＝OB＝4（cm），

∴OE＝4﹣2＝2（cm），

∵∠CEA＝∠BED＝30°，

∴OMOE2＝1（cm），

∴CM（cm），

∴CD＝2（cm）．

2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．

（1）求证AC＝BD；

（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　　．

【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；

（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．

【解答】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，

∵OH⊥CD，

∴CH＝DH，AH＝BH，

∴AH﹣CH＝BH﹣DH，

∴AC＝BD；

（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，

在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，

在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，

∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x，

∴CD＝2CH．

故答案为：．

3．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝　 　m．

【分析】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．

【解答】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，

∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，

∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，

设圆拱的半径为r，

在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，

∴r2＝（r﹣8）2+122，

解得r＝13，

∴OC＝13m，

∴OH＝13﹣1＝12m，

在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，

∴132＝122+MH2，

解得MH2＝25，

∴MH＝5m，

∴MN＝10m，

故答案为10．

考点2：弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理

1．弧、弦、圆心角的关系

定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 

推论:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等. 

2．圆心角:顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.

圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.

3．圆周角定理

定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 

推论:

①同弧或等弧所对的圆周角相等. 

②半圆(或直径)所对的圆周角是直径，90°的圆周角所对的弦是圆的直径. 

③圆内接四边形的对角互补. 

【例3】（2021·甘肃武威市）如图，点在上，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．

【详解】

解： 点在上，，

故选：

【例4】（2021·山东聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（    ）

A．95° B．100° C．105° D．110°

【答案】C

【分析】

连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．

【详解】

解：如图，连接OB，OC，

∵OA＝OB＝1，AB＝，

∴OA2＋OB2＝AB2，

∴∠AOB＝90°，

又∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO＝45°，

∵∠CAB＝30°，

∴∠COB＝2∠CAB＝60°，

又∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB＝60°，

∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，

故选：C．

【例5】（2021·重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（    ）

A．70° B．90° C．40° D．60°

【答案】A

【分析】

直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，

故选：A．

1．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中一对相等，那么其余两对也相等．

2．作半径构造圆心角或连线构造直径所对的圆周角，以运用圆心角和圆周角的有关性质与定理来求角的大小或线段的长度等.

3．常需作辅助线构造圆心角或圆周角，并结合弧、弦、圆心角的关系和圆周角的定理及推论来求角的大小或线段的长度.

4．运用圆周角定理的注意事项

（1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.

（2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.

（3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

1．（2019•浙江模拟）如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为　　．

【分析】由AC＝BD知，得，根据OD⊥AC知，从而得，即可知∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，利用AF＝AOsin∠AOF可得答案；

【解答】解：∵OD⊥AC，

∴，∠AFO＝90°，

又∵AC＝BD，

∴，即，

∴，

∴，

∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，

∵AB＝3，

∴AO＝BO，

∴AF＝AOsin∠AOF，

则AC＝2AF；

2．（2020•眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝35°，∠ABD＝∠ACD＝45°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．

【解答】解：∵BC＝CD，

∴，

∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，

∴∠BAC＝∠DAC＝35°，

∵∠ABD＝∠ACD＝45°，

∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．

故选：C．

3．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝　 　°．

【分析】如图，连接AD．证明∠1+∠2＝90°即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠1＝∠ADE，

∴∠1+∠2＝90°，

∵∠1＝55°，

∴∠2＝35°，

故答案为35．