中考数学一轮复习考点复习专题34 与圆有关的位置关系【专题巩固】（含解析）

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专题34  与圆有关的位置关系考点1：点、直线和圆的位置关系1．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．【答案】【分析】由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解．【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示：连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示，∵四边形是正方形，且边长为4，∴，∴△OFC是等腰直角三角形，，∵的半径为1，∴，∴，∴，∴，即点A到上的点的距离的最大值为；故答案为．考点2：切线的性质与判定2．（2021·福建中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ） A． B． C． D．【答案】D【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可．【详解】解：连接OC， CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴== 故选：D．3．（2021·山西中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得．【详解】如下图，连接，∵切于点，∴，在中，∵，∴，∴，又∵，∴．故选：B．4．（2021·北京中考真题）如图，是的切线，是切点．若，则______________．【答案】130°【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：∵是的切线，∴，∴由四边形内角和可得：，∵，∴；故答案为130°．5．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连接，则_____．【答案】【分析】根据圆的切线的性质，得，根据圆的性质，得，再通过勾股定理计算，即可得到答案．【详解】∵是的切线，为切点∴ ∴ ∵的半径为1∴ ∴故答案为：．6．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）【答案】【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC、OD，∵分别与相切于点C，D，∴，∵，， ∴，∴的长=（cm），故答案为：．．7．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是的切线；（2）若的半径为5，，求．【答案】（1）见解析；（2）20【分析】（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线；（2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面积公式可得结果．【详解】解：（1）证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠1=∠3，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OE∥AC，∴∠OEB=∠C=90°，则BC为圆O的切线；（2）过E作EG⊥AB于点G，在△ACE和△AGE中，，∴△ACE≌△AGE（AAS），∴AC=AG=8，∵圆O的半径为5，∴AD=OA+OD=10，∴OG=3，∴EG==4，∴△ADE的面积==20．8．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）要证明DE是的切线，只要证明即可．连接OD，根据条件证明，则可推导出．（2）根据条件，在中，求出OE的长，然后证明，从而根据相似比求解即可．【详解】（1）证明：如下图，连接OD，∵,， ∴,，∴，∴，∴，又∵，∴， ∴，∴DE是的切线．（2）解：∵AC=6，∴，在中，，∴，，∴，又∵，∴， ∴ ,即， ∴．9．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为8，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；（2）由证得，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是的半径∴EF是圆的切线，（2）∵CD⊥AB∴是直角三角形∵∴ 设，则 由勾股定理得， 由（1）得，是直角三角形∴ ∴，即∵ ∴解得，  考点3：三角形的内心和外心10．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（    ） A． B．AD一定经过的重心C． D．AD一定经过的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴，故C正确；在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；故选C．11．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算求解．【详解】解：过点作于，则，由圆周角定理得：，，，，故选：．12．（2021·西藏·中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（    ）A．40° B．55° C．70° D．110°【答案】B【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°，∵OA⊥BC，∴∠COA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，故选：B．