黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级
第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列实数中是无理数的是（　　）
A． B．3.1415 C．0.5 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．m4•m2＝m8 B．（m2）3＝m6
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．3m﹣2m＝2
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是（　　）
A． B．3 C． D．
5．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　）

A．25° B．40° C．50° D．65°
6．某种商品经过两次降价，由原来每件25元调至16元，设平均每次下降的百分率为x%，那么x的值为（　　）
A．20% B．20 C．25 D．25%
7．方程的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣4 D．x＝3
8．扇形的半径为20cm，扇形的面积100πcm2，则该扇形的圆心角为（　　）
A．120° B．100° C．90° D．60°
9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使得DC边落在对角线AC上，点D落在点D′处，折痕为CE，若AB＝6，AD＝8，则线段ED的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，则下列结论正确的是（　　）

A．＝ B． C．＝ D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．把186000用科学记数法表示为 　 　．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．计算：＝　 　．
14．把多项式4a2﹣16分解因式的结果是 　 　．
15．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是　 　．
16．不等式组的解集是　 　．
17．若正方形ABCD的外接圆半径为R，则这个正方形ABCD的面积为 　 　．
18．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是　 　米．

19．等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在直线AC上，2CE＝AC，AD＝6，BE＝5，则△ABC的面积是　 　．
20．如图，菱形ABCD，AB＝5，E在BC上，BE＝4，过点E作EG⊥AD于G，交BD于F，连接DE，若∠A＝4∠DEG，则EF的长为 　 　．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中a＝2sin60°+tan45°．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出钝角等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为10．
（2）在方格纸中画出等腰直角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10．
（3）在（1）（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF长．

23．为了解中考体育科目训练情况，某教育局从九年级学生中随机抽取了a名进行了中考体育科目测试（测试结果分四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）求在a名学生中，测试结果为C级的学生人数，并补全条形统计图；
（3）九年级共有9200名学生，他们全部参加了这次体育科目测试，请估计不及格的人数．

24．如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．
（1）求证BM＝DN；
（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．

25．某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．
（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？
（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？
26．已知，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点G，连接AO．
（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；
（2）如图2，过点O作ON⊥BC于N，过点作BH⊥AC于H，交AD于点E，交⊙O于点F，求证：AE＝2ON；
（3）如图3，在（2）的条件下，直线OE交AB于点P，交AC于点Q，若HC：EF＝：2，BP＝11，CQ＝2，求线段AD的长．


27．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，C为x轴正半轴上一点，AC＝BC．
（1）如图1，求直线AC的解析式；
（2）如图2，过点C作CE⊥AB于E，交y轴于点D，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点O运动，设点P的运动时间为t，△PDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）如图3，在（2）的条件下，在BP上取一点Q，使AQ＝AD，当∠AQB+∠PBC+∠OAC＝180°时，求线段PE的长．




参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列实数中是无理数的是（　　）
A． B．3.1415 C．0.5 D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A、＝2，2是有理数，故此选项不符合题意；
B、3.1415是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、0.5是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．m4•m2＝m8 B．（m2）3＝m6
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．3m﹣2m＝2
【分析】直接利用同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项逐一计算得出答案比较得出结论即可．
解：A、m4•m2＝m6，计算错误；
B、（m2）3＝m6，计算正确；
C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，计算错误；
D、3m﹣2m＝m，计算错误．
故选：B．
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是（　　）
A． B．3 C． D．
【分析】先根据BC＝2，sinA＝求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．
解：∵sinA＝＝，BC＝2，
∴AB＝3．
∴AC＝＝＝．
故选：A．
5．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　）

A．25° B．40° C．50° D．65°
【分析】首先连接OC，由∠A＝25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．
解：连接OC，
∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∵∠A＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D＝90°﹣∠BOC＝40°．
故选：B．

6．某种商品经过两次降价，由原来每件25元调至16元，设平均每次下降的百分率为x%，那么x的值为（　　）
A．20% B．20 C．25 D．25%
【分析】根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：依题意，得：25（1﹣x%）2＝16，
解得：x1＝20，x2＝180（舍去，不合题意）．
故选：B．
7．方程的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣4 D．x＝3
【分析】按照解分式方程的步骤解答即可．
解：方程两边同乘（x﹣1）（x+3），
得：5（x+3）＝x﹣1，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，（x﹣1）（x+3）≠0，∴x＝﹣4是原方程的解，
故选：C．
8．扇形的半径为20cm，扇形的面积100πcm2，则该扇形的圆心角为（　　）
A．120° B．100° C．90° D．60°
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
解：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S＝＝100即＝100
解得n＝90°．
故选：C．
9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使得DC边落在对角线AC上，点D落在点D′处，折痕为CE，若AB＝6，AD＝8，则线段ED的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由矩形的性质得AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°，则AC＝10，再由折叠的性质得CD′＝CD＝6，ED＝ED′，∠CD′E＝∠D＝90°，设ED＝x，则ED′＝x，AD′＝AC﹣CD′＝4，AE＝8﹣x，然后在在Rt△AED′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°，
∴AC＝＝＝10，
由折叠的性质得：△DEC≌△D′EC，
∴CD′＝CD＝6，ED＝ED′，∠CD′E＝∠D＝90°，
∴∠AD′E＝90°，
设ED＝x，则ED′＝x，AD′＝AC﹣CD′＝4，AE＝8﹣x，
在Rt△AED′中，由勾股定理得：（AD′）2+（ED′）2＝AE2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
故选：A．
10．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，则下列结论正确的是（　　）

A．＝ B． C．＝ D．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴△CFG∽△ADG，
∴，，
故A不正确；
∵AD＝BC，
∴，
故B正确；
∵△BEF∽△CDF，
∴＝，
故C，D不正确；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．把186000用科学记数法表示为 　1.86×105　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：186000＝1.86×105．
故答案为：1.86×105．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠3　．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
解：由题意，得
3﹣x≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
13．计算：＝　．　．
【分析】先化简二次根式，然后合并同类二次根式．
解：原式＝2﹣
＝，
故答案为：．
14．把多项式4a2﹣16分解因式的结果是 　4（a+2）（a﹣2）．　．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．
解：原式＝4（a2﹣4）
＝4（a+2）（a﹣2），
故答案为：4（a+2）（a﹣2）．
15．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是　m＞2　．
【分析】根据反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．
解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，
∴m﹣2＞0，
解得：m＞2．
故答案为：m＞2．
16．不等式组的解集是　﹣1＜x≤1　．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解：，
由①得，x≤1，
由②得，x＞﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．
故答案为：﹣1＜x≤1．
17．若正方形ABCD的外接圆半径为R，则这个正方形ABCD的面积为 　2R2　．
【分析】连接OA，OB，根据正方形的性质得到AB＝R，由正方形的面积公式即可得到结论．
解：如图，连接OA，OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝R，
∴AB＝R，
∴正方形ABCD的面积＝2R2，
故答案为：2R2．

18．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是　8　米．

【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到＝代入数值求的CD＝8．
解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴＝即＝
解得：CD＝8米．
19．等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在直线AC上，2CE＝AC，AD＝6，BE＝5，则△ABC的面积是　16或　．
【分析】分两种情形分别求解即可．
解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，
∴AD是底边BC的中线，
∵2CE＝AC，
∴G为△ABC的重心，
∵AD＝6，BE＝5，
∴DG＝AD＝2，BG＝BE＝3，
∴在直角△BDG中，由勾股定理得到：BD＝＝，BC＝2BD＝，
∴S△ABC＝BC×AD＝16．
如图2，作EG⊥BC于G．
∵EG∥AD，
∴＝＝＝2，
∴EG＝3，设CG＝a，则BD＝CD＝2a，
∴在直角△BEG中，由勾股定理得到：BG＝＝4，
∴5a＝4，
∴a＝，
∴BC＝
∴S△ABC＝BC×AD＝××6＝．
故答案为：16或．


20．如图，菱形ABCD，AB＝5，E在BC上，BE＝4，过点E作EG⊥AD于G，交BD于F，连接DE，若∠A＝4∠DEG，则EF的长为 　3　．

【分析】过点D作DM⊥BD，交BC的延长线于点M，设∠DEG＝α，则∠A＝4α，然后利用菱形的性质得到∠ABD＝∠CBD＝∠BDC＝90°﹣2α，然后得到∠M、∠CDM，∠DEM、∠EDM，从而得到△EDM、△DCM的形状，进而得到CM、DM的长，最后通过勾股定理与相似三角形的性质得到EF的长．
解：如图，过点D作DM⊥BD，交BC的延长线于点M，
设∠DEG＝α，则∠A＝4α，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣4α，∠ABD＝∠CBD＝∠BDC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDC＝90°﹣2α，
∴∠M＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，∠CDM＝90°﹣∠BDC＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∴∠M＝∠CDM，
∴CD＝CM＝5，
∵EG⊥AD，
∴∠BEG＝90°，
∴∠DEM＝180°﹣∠BEG﹣∠DEG＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∴∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣∠M＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，
∴∠DEM＝∠EDM，
∴DM＝EM＝EC+CM＝1+5＝6，
∴BM＝BC+CM＝5+5＝10，
∴BD＝＝8，
∵∠BEF＝∠BDM＝90°，∠FBE＝∠MDB，
∴△FBE∽△MBD，
∴，即，
∴EF＝3．
故答案为：3．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中a＝2sin60°+tan45°．
【分析】先根据分式的减法法则算减法，再根据分式的除法法则和乘法法则进行计算，求出a的值后代入，即可求出答案．
解：
＝÷
＝÷
＝•
＝，
a＝2sin60°+tan45°＝2×+1＝+1，
当a＝+1时，原式＝＝＝．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出钝角等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为10．
（2）在方格纸中画出等腰直角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10．
（3）在（1）（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF长．

【分析】（1）作出腰为5顶角是钝角的等腰三角形即可．
（2）作出腰为2的等腰直角三角形即可．
（3）利用勾股定理求解即可．
解：（1）如图，△ABE即为所求作．
（2）如图，△CDF即为所求作．
（3）EF＝＝．

23．为了解中考体育科目训练情况，某教育局从九年级学生中随机抽取了a名进行了中考体育科目测试（测试结果分四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）求在a名学生中，测试结果为C级的学生人数，并补全条形统计图；
（3）九年级共有9200名学生，他们全部参加了这次体育科目测试，请估计不及格的人数．

【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得答案；
（2）根据抽测人数乘以C及所占的比例，可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案．
解：（1）a＝12÷30%＝40；
（2）C级的人数为40×35%＝14（名），
；
（3）9200×＝1840（名）．
答：不及格的人数是1840名．
24．如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．
（1）求证BM＝DN；
（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．

【分析】（1）根据正方形的性质得∠DCB＝90°，CD＝CB，再根据旋转的性质得CF＝CD，∠ECG＝∠DCF＝90°，则可判断△CDF为等腰直角三角形，所以∠CDF＝∠CFD＝45°，然后证明△BCM≌△DCN，则BM＝DN；
（2）根据正方形的性质可判断△ABD和△BCD为等腰直角三角形，根据旋转的性质可判断△CDF和△ECG为等腰直角三角形，然后判断△BDF为腰直角三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCB＝90°，CD＝CB，
∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，
∴CF＝CD，∠ECG＝∠DCF＝90°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∵∠BCM+∠DCE＝90°，∠DCN+∠DCE＝90°，
∴∠BCM＝∠DCN，
∵∠CBM＝∠ABC＝45°，
∴∠CBM＝∠CDN，
在△BCM和△DCN中
，
∴△BCM≌△DCN，
∴BM＝DN；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD和△BCD为等腰直角三角形；
由（1）得△CDF为等腰三角形；
∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，
∴CE＝CG，∠ECG＝90°，
∴△ECG为等腰直角三角形；
∵△CBD和△CFD为等腰直角三角形；
∴△BDF为等腰直角三角形．
25．某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．
（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？
（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？
【分析】（1）首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语“购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”，列方程组求出未知数的值，即可得解．
（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，根据总费用不超过1100元，列出不等式解答即可．
解：（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得

解得：
答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元；

（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，由题意得
16x+10（80﹣x）≤1100
解得：x≤50
答：工会最多可以购买50支钢笔．
26．已知，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点G，连接AO．
（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；
（2）如图2，过点O作ON⊥BC于N，过点作BH⊥AC于H，交AD于点E，交⊙O于点F，求证：AE＝2ON；
（3）如图3，在（2）的条件下，直线OE交AB于点P，交AC于点Q，若HC：EF＝：2，BP＝11，CQ＝2，求线段AD的长．


【分析】（1）作直径AE，连接BE，可得∠E＝∠C，∠ABE＝∠AGC＝90°；
（2）作直径CM，连接BM，AM，得出BM＝2ON，再证AE＝BM，进而证明四边形AMBE是平行四边形；
（3）先推出∠BAC＝60°，再证明△AOP≌△AEQ，进而证明△APQ是等边三角形，设AP＝AQ＝PQ，然后解斜三角形ABC和△AOP，进而根据不变量BC列出方程，解得x的值，进而求解出△ABC的角和边，再根据三角形相似求解各条线段的长．
【解答】（1）证：如图1，

作直径AE，连接BE，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAO＝90°﹣∠E，
∵＝，
∴∠E＝∠C，
∴∠BAO＝90°﹣∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠AGC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠BAO＝∠CAD；
（2）证：如图2，

∵ON⊥BC，
∴BC＝2CN，
作直径CM，连接BM，AM，
∴MB⊥BC，
∵ON⊥BC，
∴ON∥BM，
∴△CON∽△CMB，
∴＝＝2，
∴BM＝2ON，
∵＝，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BAM＝∠BCM＝90°﹣∠BMC，
∵＝，
∴∠BCM＝∠BAC，
∴∠BAM＝90°﹣∠BAC，
∵∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝90°﹣∠BAC，
∴∠BAM＝∠ABH，
∴BE∥AM，
∴四边形AMBE是平行四边形，
∴AE＝BM，
∴AE＝2ON；
（3）解：如图3，

连接AF，CF，连接CE并延长交AB于I，连接OB、OC和BD，作OJ⊥AB于J，
∵AG⊥BC，BH⊥AC，
∴CI⊥AB，
又∵∠AEH＝∠BEG，
∴∠GBE＝∠EAH，
∵＝，
∴∠FAC＝∠GBE，
∴∠FAC＝∠EAH，
∵∠AHF＝∠AHE＝90°，
AH＝AH，
∴△AHE≌△AHF（ASA），
∴EH＝FH，
∴FH＝，
同理可得：EG＝DG＝，
∴tan∠BFC＝＝＝，
∴∠BFC＝60°，
∵＝，
∴∠BAC＝∠BFC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，ON⊥BC，
∴∠BON＝＝60°，
∴OA＝OB＝2ON，
∵AE＝2ON，
∴AO＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∴∠AOP＝∠AEQ，
∵∠BAO＝∠CAD，
∵△AOP≌△AEQ（ASA），
∴AP＝AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠APQ＝60°，
∵∠AEH＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠AEH＝∠ABH＝30°，
∴PE＝PB＝11，
设AP＝AQ＝PQ＝x
∴OP＝EQ＝PQ﹣PE＝x﹣11，
AC＝AQ+CQ＝x+2，
在Rt△AIC中，∠BAC＝60°，AC＝x+2，
∴AI＝AC＝（x+2），
CI＝（x+2），
∴BI＝AB﹣AI
＝（x+11）﹣（x+2）
＝+10，
在Rt△BIC中，
BC2＝BI2+CI2，
＝（）2+[（x+2）]2，
在Rt△POJ中，∠APH＝60°，OP＝x﹣11，
∴PJ＝（x﹣11），OJ＝（x﹣11），
∴AJ＝AP﹣PJ
＝x﹣（x﹣11）
＝，
在Rt△AOJ中，
OA2＝OJ2+AJ2
＝[（x﹣11）]2+（）2，
∴OB2＝[（x﹣11）]2+（）2，
∵BN＝OB，
∴BC＝2BN＝OB，
∴BC2＝3OB2＝3•[（x﹣11）]2+（）2，
∴3•[（x﹣11）]2+（）2＝（）2+[（x+2）]2，
化简，得，
x2﹣23x+130＝0，
∴x1＝13，x2＝10（舍去），
∴AB＝x+11＝24，
AC＝x+2＝15，
∴BH＝AB＝12，
AH＝12，
∴CH＝AC﹣AH＝3，
∴BC＝＝21，
∵∠CAD＝∠CBH，
∠AGC＝∠BHC＝90°，
∴△ACG∽△BCH，△BGE∽△AGC，
∴＝＝，＝
∴＝＝＝，
∴AG＝，CG＝，
∴BG＝BC﹣CG，
＝21﹣
＝，
∴＝，
∴DG＝EG＝，
∴AD＝AG+DG
＝+
＝．
27．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，C为x轴正半轴上一点，AC＝BC．
（1）如图1，求直线AC的解析式；
（2）如图2，过点C作CE⊥AB于E，交y轴于点D，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点O运动，设点P的运动时间为t，△PDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）如图3，在（2）的条件下，在BP上取一点Q，使AQ＝AD，当∠AQB+∠PBC+∠OAC＝180°时，求线段PE的长．


【分析】（1）由直线交x轴于点B，交y轴于点A，可得A（0，8），B（﹣6，0），所以OA＝8，OB＝6；设AC＝m，则OC＝m﹣6，由勾股定理可得，（m﹣6）2+82＝m2，解得m＝，所以OC＝﹣6＝，即C（，0），设直线AC的表达式为：y＝kx+b，代入点A和点C的坐标即可；
（2）由点E是AB的中点，可得E（﹣3，4），由CE⊥AB，即点C的坐标可知，直线CE的表达式为：y＝﹣x+，所以D（0，），由点P的运动可知，AP＝t，需要分两种情况：①当点P在线段AD上，即0≤t＜时；②当点P在线段OD上，即＜t≤8时，分别求出S即可；
（3）如图，连接BD，作∠OBD′＝∠OAC，射线OD′交y轴负半轴于点D′，以点D′为圆心，BD′长为半径作圆，交BP的延长线于点M．可证明∠PBD′＝∠AQM＝∠BMD′，可证明△BOD′∽△AOC，所以BO：AO＝OD′：OC，即6：8＝OD′：，解得OD′＝，所以OD′＝OD，所以BD＝BD′＝AD′＝AQ＝MD′＝，所以△AQP≌△D′MP（AAS），所以AP＝D′P，即点P是AD′的中点，所以PE是△ABD′的中位线，所以PE＝BD′＝．
解：（1）∵直线交x轴于点B，交y轴于点A，
∴A（0，8），B（﹣6，0），
∴OA＝8，OB＝6，
设AC＝m，则OC＝m﹣6，
在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，
由勾股定理可得，（m﹣6）2+82＝m2，
∴m＝，
∴OC＝﹣6＝，即C（，0），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+8．
（2）∵AC＝BC，CE⊥AB，
∴点E是AB的中点，
∴E（﹣3，4）．
过点E作EF⊥y轴于点F，
∴EF＝3．
∵CE⊥AB，
∴直线CE的表达式为：y＝﹣x+，
∴D（0，），
∴OD＝，AD＝8﹣＝．
由点P的运动可知，AP＝t，
①当点P在线段AD上，即0≤t＜时，

此时PD＝﹣t，S＝PD•EF＝×（﹣t）×3＝﹣t+；
②当点P在线段OD上，即＜t≤8时，

此时PD＝t﹣，S＝PD•EF＝×（t﹣）×3＝t﹣；
综上，S＝．
（3）如图，连接BD，作∠OBD′＝∠OAC，射线OD′交y轴负半轴于点D′，以点D′为圆心，BD′长为半径作圆，交BP的延长线于点M．

∴BD′＝MD′，
∴∠PBD′＝∠BMD′，
∵∠AQB+∠PBC+∠OAC＝180°，∠AQB+∠AQM＝180°，
∴∠PBD′＝∠AQM＝∠BMD′，
∵AC＝BC，CE⊥AB，
∴点E是AB的中点，即CE垂直平分AB，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD＝，
∵∠OBD′＝∠OAC，∠BOD′＝∠AOC＝90°，
∴△BOD′∽△AOC，
∴BO：AO＝OD′：OC，即6：8＝OD′：，
∴OD′＝，
∴OD′＝OD，
∴OB垂直平分DD′，
∴BD＝BD′＝AD′＝AQ＝MD′＝，
∵∠APQ＝∠D′PM，
∴△AQP≌△D′MP（AAS），
∴AP＝D′P，即点P是AD′的中点，
∴PE是△ABD′的中位线，
∴PE＝BD′＝．