北京市一六一中学2021—2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】

这是一份北京市一六一中学2021—2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】，共10页。

北京一六一中学2021—2022学年度第一学期期中考试
初 三 数 学 试 卷
2021年11月
班级______________姓名______________学号______________
考
生
须
知
1．本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟。
2．试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，用2B铅笔作答，在答题纸上，用黑色字迹签字笔作答。
4．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是
A. (2，1) B. (-2，1) C. (-2，-1) D. (1，2)

3. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若，则的度数是
A．18° B．36°
C．30° D．72°

4．如图，一块含30°角的直角三角板绕点顺时针旋转到△，当，，在一条直线上时，三角板的旋转角度为
A．30° B．60°
C．120° D．150°


5．关于方程的根的情况，下列说法正确的是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断


6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，
E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为
A．10 B．12
C．14 D． 16

7．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD. 则下
面结论不一定成立的是
A. ∠ACB=90° B. ∠BDC=∠BAC
C. AC平分∠BAD D. ∠BCD+∠BAD=180°


8．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为
②若点在这个二次函数图象上，则
③该二次函数图象与轴的另一个交点为
④当时,
所有正确结论的序号是
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③

二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．点（-1，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．
10. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，则点在⊙O ______．(填“内”、“上”或“外”)


11. 有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：顶点到x轴的距离为2.
请你写出一个符合上述两个条件的抛物线的解析式：　

12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC = 60°．如果⊙O的半径为2，
那么弦BC的长为 ．

13. 已知⊙O的半径为6，弦AB的长也为6，则弦AB的所对的圆周角度数为_________°．

14．抛物线与轴交于两点，分别是是，，则的值为_____．

15. 已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y1
…
0
1
2
3
4
…
y2
…
0
-1
0
3
8
…





则关于x的方程的解是 ．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0), B (3,0)，
C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上
的动点，则线段CD长的最小值为__________.

三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分）
17. 解关于的方程：.

18.已知是方程的一个根，求代数式的值.

19．下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：P为⊙O外一点．
求作：经过点P的⊙O的切线．


作法：如图，
①连接OP，作线段OP的垂直平分线
交OP于点A；
②以点A为圆心，OA的长为半径作圆，
交⊙O于B，C两点；
③作直线PB，PC．
所以直线PB，PC就是所求作的切线．
根据小飞设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）．

证明：连接,,
∵为⊙的直径，
∴ （依据： ）．
∴,．
∴,为⊙的切线（依据： ）．











20. 已知二次函数.
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．









21. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB=∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．



22. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，
且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC.
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长.


23．已知关于的方程．
（1）求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求的最小整数值．


24. 为了在校运会中取得更好的成绩，小明积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线
是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球
运行的水平距离为米时，达到最大高度
米的处．小明此次投掷的成绩是多少米？



25. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，
连接DE.
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长.










26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线
（1）当时，
①求抛物线的对称轴，并用含的式子表示顶点的纵坐标；
②若点，都在抛物线上，且，则的取值范围是;
（2）已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点. 当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围.









27. 如图，已知是矩形的一条对角线，点在的延长线上，且.
连接，与相交于点，与相交于点.
（1）依题意补全图形；
（2）若，解答下列问题：
① 判断与的位置关系，并说明理由；
② 连接,用等式表示线段，，之间的
数量关系，并证明.





28. 定义：在平面直角坐标系中，点为图形上一点，点为图形上一点.
若存在，则称图形与图形关于原点“平衡”.
（1）如图，已知⊙是以为圆心，2为半径的圆，点，，
.
① 在点，，中，与⊙关于原点“平衡”的点是__________；
② 点为直线上一点，若点与⊙关于原点“平衡”，
求点的横坐标的取值范围；








（2）如图，已知图形是以原点为中心，边长为2的正方形．⊙的圆心在轴上，
半径为2.若⊙与图形关于原点“平衡”，请直接写出圆心的横坐标的取值
范围．













北京一六一中学2021—2022学年度初三年级期中考试
数学试卷参考答案及评分标准
2021年11月
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
A
C
C
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
题号
9
10
11
12
答案

上
如：


题号
13
14
15
16
答案
30º或150º
2


三、解答题（本题共68分，其中17-22每小题5分，23-26
每小题6分，27-28每小题7分）
17.
解：---------------------------------1分
-----------------------------2分
-----------------------------4分
，---------------------------------5分
18. 解： ∵是方程的一个根
∴ -----------------------------1分
∴ -----------------------------2分

-----------------------------4分



-----------------------------5分
(1)补全的图形如图所示：






⋯⋯⋯⋯⋯2分
19．






(2) ………………3分
直径所对的圆周角是直角； ……4分
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ⋯⋯5分










20. 解：
（1） ∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1).------------------------2分
（2） 如图：
4分
（3） . 5分
21.（1）证明：
∵ AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE
∴，° …………………1分

∵是等边三角形
∴，° ………………………2分

∴
∴
∴ ………………………3分
（2）∵∠ADC=105°
∴=105°………………………4分
∵，°
∴是等边三角形
∴°
∴°. ………………………5分

22. （1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
=．………………………1分
∴∠A=∠2． ………………………2分
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．………………………3分
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为 ⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90º ， CE＝ED＝3． …………4分
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：

∴⊙O的半径是. ……………………………………5分

23.解：（1）由题意，得 △=，
∴无论m取任何实数时，方程总有两个实数根．………………………2分
（2）∵ ，
∴ ，．………………………………………………………3分
∵该方程的两个根均为正数，
∴ ，
∴ ．……………………………………………………………………4分
∵ m取最小整数；
∴．…………………………………………………………………………5分

24. 建立平面直角坐标系，如图1所示．
则点的坐标为，顶点为．
设抛物线的表达式为， ………………………… 2分
∵点在抛物线上，
∴．
图1
解得．
∴抛物线的表达式为．
………………………… 4分
令，则，
解得，（不合实际，舍去）．
即．
答：小明此次投掷的成绩是米． ………………………… 6分


25.（1）DE与⊙O相切 ………………………………1分
连接OD、CD、OE
∵ BC为⊙O的直径
∴∠CDA＝∠CDB＝90°
∵E是AC中点
∴ED＝EC
∵OC＝OD，OE＝OE
∴ΔOCE≌ΔODE
∴∠ODE＝∠OCE ＝90°………………………………2分
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切 ………………………………3分
（2）∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6
∴AC=8，CE=4, OC=3 ………………………………4分
∵DE、CE与⊙O相切
∴DE=CE，∠CEO=∠DEO
∴OE⊥CD ………………………………5分
∴ OE=5
∵
∴
∴ ………………………………6分
26. 解：（1）①∵，
∴抛物线为．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线． …………………………………………1分
∵当时，，
∴顶点的纵坐标为． …………………………………………………2分
②或． …………………………………………………………4分
（2）∵点P（，2）向右平移4个单位得到点Q，
∴点Q的坐标为（3，2）．
∵，
∴抛物线为．
当抛物线经过点Q（3，2）时，，解得．
当抛物线经过点P（，2）时，，解得．
当抛物线的顶点在线段PQ上时，，解得．
结合图象可知，m的取值范围是或或． ……………6分



27.（1）补全的图形如图所示：



…………..……….1分


（2）① 解：. …………..……….2分
理由如下：由矩形性质知，
∴.
在△与△中，

∴△≌△. ……..……….3分
∴.
∵.
∴.
∴ …..……….4分
② 线段，，之间的数量关系：.
如图，在线段上取点，使得，连接.
在△与△中，

∴△≌△.
∴，. ………….………..……….6分
∴.
∴△为等腰直角三角形.
∴.
∴. ….………..……….7分



28．（1）①点，； ………….………..……….2分








② 解：若点可以与⊙关于原点“平衡”，则.
∴点横坐标的取值范围是或； …….5分






（2）圆心的横坐标的取值范围或.…….7分