河北省邢台市开元中学2021-2022学年九年级上学期第三次月考数学试题（Word版含答案）

这是一份河北省邢台市开元中学2021-2022学年九年级上学期第三次月考数学试题（Word版含答案），共28页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，抛物线的对称轴是，下列事件为不可能事件的是等内容，欢迎下载使用。

开元中学初中部2021-2022学年度初三数学
第三次月考试题
考试范围：九下；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
一、单选题(共42分)
1．(本题3分)在抛物线上的一个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．(本题3分)下列函数中，是的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．(本题3分)将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y=2(x+4)2+1，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移个单位，再向上平移个单位
B．先向左平移个单位，再向下平移个单位
C．先向右平移个单位，再向上平移个单位
D．先向右平移个单位，再向下平移个单位
4．(本题3分)抛物线的对称轴是（ ）
A．x= B．x=3 C．x=-3 D．x=6
5．(本题3分)已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．(本题3分)Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
7．(本题3分)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　 ）

A． B． C． D．
8．(本题3分)在如图所示的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则点是（ ）

A．的外心 B．的内心
C．的外心 D．的内心
9．(本题3分)下列事件为不可能事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，射中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3
C．找到一个三角形，其内角和是360°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯
10．(本题3分)有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为8的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．(本题2分)如图，该几何体由5个大小相同的正方体组成，从正面看到该几何体的形状图是（ ）

A． B． C． D．
12．(本题2分)如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为．直线经过点和点．以下结论：
①；
②；
③抛物线与轴的另一个交点是；
④方程有两个不相等的实数根；
⑤；
⑥不等式的解集为．
其中结论正确的是（ ）

A．①④⑥ B．②⑤⑥
C．②③⑤ D．①⑤⑥
13．(本题2分)如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A-C-D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A-B-C-D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
14．(本题2分)如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）

A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
15．(本题2分)如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转180°得，交x轴于点；将绕点心旋转180°得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．若在第11段抛物线上，则m值为（ ）

A．2 B．1.5 C． D．

16．(本题2分)如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，则k的最大值是（　　）

A． B．2﹣6 C．6+4 D．6﹣4
第II卷（非选择题）
二、填空题(共10分)
17．(本题3分)如图，AB是⊙Ｏ的直径，BC与⊙Ｏ相切于点B，AC交⊙Ｏ于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD=______度．

18．(本题3分)在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，则估计袋子中的球共有__________个．
19．(本题4分)在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．
（2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__．

三、解答题(共68分)
20．(本题8分)已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）．求抛物线的解析式．
21．(本题8分)已知二次函数y=−x2−2x−2，
（1）画出该函数的图象，要求：列表、描点、连线；
（2）并结合图象直接写出当y<0时，自变量x的取值范围；

22．(本题8分)如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若FC＝，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

23．(本题10分)已知：如图，P是△ABC的内心，过P点作△ABC的外接圆的弦AE，交BC于D点．求证：BE＝PE．

24．(本题10分)某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
组别
成绩x（分）
人数（人）
A

10
B

m
C

16
D

4


请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中m=________；统计图中n=_______；B组的圆心角是_______度．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生，从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求：至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．
25．(本题12分)如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的长；
（2）若CD是⊙O的切线．求证：D是AP的中点．

26．(本题12分)某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系满足：m=﹣2t+96．且未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=﹣t+40（21≤t＜40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题
（1）请分别写出未来40天内，前20天和后20天的日销售利润w（元）与时间t的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．












参考答案
1．D
【分析】
将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上．
【详解】
A，(0,−4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A错误
B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B错误
C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C错误
D，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D正确
故选：D
【点睛】
此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．
2．B
【分析】
根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．
【详解】
A. 是一次函数，不合题意；
B． 是二次函数，合题意；
C． 不是二次函数，不合题意；
D． 不是函数，不合题意；
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．
3．A
【分析】
先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．
【详解】
解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2(x+4)2+1的顶点坐标为（-4，1），
而点（0，0）先向左平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（-4，1），
所以抛物线y=2x2先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2(x+4)2+1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．B
【分析】
由二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-，代入公式即可得答案．
【详解】
解：在中，a=，b=3，
∴对称轴是直线，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数对称轴方程，解题的关键是掌握二次函数对称轴公式．
5．D
【分析】
根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
【详解】
∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．
6．B
【分析】
根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，把BC与圆的半径比较即可．
【详解】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90゜，AB=5，cosA=
∴
∴AC=4
由勾股定理得：
∵r=3
∴⊙B与AC的位置关系是相切
故选：B．

【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，三角函数的定义，勾股定理的运用．当圆心到直线的距离d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d 7．C
【分析】
由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB＝60°，故△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG＝OA•sin60°，再根据S阴影＝S△OAB−S扇形OMN，进而可得出结论．
【详解】
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，
∴S阴影＝S△OAB−S扇形OMN＝×2×−＝．
故选：C．

【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
8．A
【分析】
根据网格利用勾股定理得出，进而判断即可．
【详解】
解：由勾股定理可知：
，
所以点O是的外心，
故选：A．
【点睛】
此题考查三角形的外接圆与外心问题，关键是根据勾股定理得出．
9．C
【分析】
必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可得答案．
【详解】
A．某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意，
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
C．找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，符合题意，
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握定义是解题关键．
10．C
【分析】
列表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为8的情况有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：列表如下：

由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为8的情况有5种，
∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为8的概率为，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．A
【分析】
利用从正面看到的图叫做主视图，根据图中正方体摆放的位置判定则可．
【详解】
解：从正面看，主视图有3列，正方体的数量分别是2、1、1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．
12．B
【分析】
①由对称轴判断；②根据图象确定a、b、c的符号；③根据对称轴以及A点坐标，通过对称性得出结果；④结合一元二次函数图象与一元二次方程关系即可确定方程的解；⑤当时得出的值，时得出值的值，根据函数图象即可确定其大小关系；⑥由图象得出，抛物线在直线的下面，即时x的取值范围即可．
【详解】
解：①因为抛物线的顶点坐标B（-1，-3），所以对称轴为：直线，则，，故①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为，抛物线与x轴的交点A的坐标为（-4,0），
∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2,0），
故③不正确；
④∵当时，根据图象可得，为函数的顶点纵坐标，
∴有两个相等的实数根，故④不正确；
⑤当时，；
当时，，
∴根据图象可得：为二次函数最低点纵坐标，不是二次函数最低点纵坐标，
∴故⑤正确；
⑥由图象得：的解集为；故⑥正确；
则其中正确的有：②⑤⑥．
故选：B．
【点睛】
题目主要考查一元二次函数图象的基本性质及一元二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程基本性质是解题关键．
13．A
【分析】
先证明△ABC、△ACD都是等边三角形，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，根据图形得到函数解析式，由二次函数、一次函数的图象与性质逐项排除即可得到正确解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．
如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2x cm，AP＝x cm，

作PE⊥AB于E，
∴PE＝sin∠PAE×AP＝x（cm），
∴y＝AQ•PE＝×2x×x＝ ，
故D选项不正确；
如图2，当1＜x≤2时，AP＝x cm，CQ＝（4−2x）cm，

作QF⊥AC于点F，
∴QF＝sin∠ACB•CQ＝ (4−2x)（cm），
∴y＝•AP•QF＝x× (4−2x)＝−＋x，
故B选项不正确；
如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x−4）cm，CP＝（x−2）cm，

∴PQ＝CQ−CP＝2x−4−x＋2＝（x−2）cm，
作AG⊥DC于点G，
∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），
∴y＝•AG•PQ＝× ( x−2)＝x−．
故C选项不正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数的图象与性质，利用三角函数解直角三角形等知识，综合性比较强．根据题意分类讨论列出各种情况下函数的解析式是解题的关键．
14．B
【分析】
连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，根据矩形的性质求出，再求出正六边形面积即可．
【详解】
解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，
∵多边形是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
，，
，
故选：B．

【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．
15．A
【分析】
求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方，然后求出到抛物线C13平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C11的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
【详解】
解：令y=0，则-x（x-3）=0，
解得x1=0，x2=3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C11在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移6×5=30个单位得到，
∴抛物线C11的解析式为y=-（x-30）（x-30-3）=-（x-30）（x-33），
∵P（32，m）在第11段抛物线C11上，
∴m=-（32-30）（32-33）=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
16． D
【分析】
本题首先要确定直线可能所处的位置（如下图所示），一种情况是直线m与抛物线相切，另一种情况是直线n过B点，进而求出k的值．
【详解】
解：如图

抛物线y=-x2+4x-3与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：（1，0）、（3，0），
由抛物线从C1：y=-x2+4x-3平移得到抛物线C2，则容易得到其的方程为：y=-（x-4）2+1，（3≤x≤5）．
直线y=kx-k过点A（1，0），
当直线m与C2只有一个交点和在x轴的位置时，直线y=kx-k与C1、C2共有3个不同的交点，
而直线为m时，k值最大，
联立C2与直线的表达式可得：kx-k=y=-（x-4）2+1
Δ=0，即k2-12k+4=0，解得：k=6±4（舍去6+4）．
17．80
【分析】
根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°.
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．8
【分析】
根据口袋中有2个白球和若干个红球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】
解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，
∴从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.25，
设袋子中的红球有x个， 根据题意，得： =0.25，
解得x=6， 经检验：x=6是分式方程的解，
6+2=8.
∴估计袋子中球共有8个，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出白球在总数中所占比例与试验比例应该相等是解决问题的关键．
19．或2
【分析】
(1)把（0，0）代入抛物线解析式即可；
(2) 把点与点分别代入解析式，求出t的值,再根据抛物线开口确定t的范围．
【详解】
解：(1) 把（0，0）代入抛物线得，
，解得，，；
故答案为：或2
(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线；
把点代入解析式得，，解得，，；当时，抛物线与线段刚好有两个交点和，当时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是；
把点代入解析式得，，解得，，；当时，抛物线与线段刚好有两个交点和，当时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是；
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．
20．y＝（x﹣1）2﹣4．
【分析】
由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把（2，﹣3）代入求出a的值即可．
【详解】
解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．（1）见解析；（2）全体实数．
【分析】
（1）根据列表、描点、连线画出函数的图象；
（2）从函数图象上找到y＜0，即抛物线在x轴下方的部分，从而确定其对应的x的取值范围．
【详解】
解：（1）列表：
x

-3
-2
-1
0
1

y

-5
-2
-1
-2
-5

描点：
连线：
所画图象如图所示：

（2）由函数图象知y＜0时自变量x的取值范围是全体实数．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合直观形象得出答案是解题的关键．
22．（1）AC与⊙O的相切，理由见解析（2）
【分析】
（1）根据圆的半径相等以及，等边对等角可得，，根据对顶角相等可得，结合已知OD⊥BC，进而根据等量代换可得，即可证明AC与⊙O的相切；
（2）过作于，设，在中，根据勾股定理求得，进而证明，求得扇形的圆心角为，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得的面积，根据扇形面积减去的面积，即可求得阴影部分面积．
【详解】
（1）AC与⊙O的相切，理由如下，
，
，
，
，
又，
，
OD⊥BC，
，
，
，
是半径，
是的切线，
AC与⊙O的相切；
（2）过作于，如图，

设，
，
在中
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
扇形，
阴影部分扇形．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定，求扇形面积，掌握切线的判定和扇形面积公式是解题的关键．
23．见解析
【分析】
连接BP，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及圆周角定理和内心的性质，即可证得：∠BPE=∠PBE，然后根据等角对等边即可证得：BE=PE．
【详解】
如图，连接BP，
∵P是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠2=∠5，
∴∠1=∠5，
∵∠BPE=∠1+∠3，∠PBE=∠4+∠5，
∴∠BPE=∠PBE，
∴BE=PE．

【点睛】
本题考查三角形内心的性质，圆周角性质，及等腰三角形的判定，正确得到∠BPE=∠PBE是解题关键．
24．（1）20，32，144；（2）
【分析】
(1)先根据A组人数及其所占百分比求出总人数，由各组人数之和等于总人数求出B组人数m的值，用C组人数除以总人数可得n的值，用360°乘以B组人数所占比例可得B组的圆心角；
(2)列树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
(1)根据题意，被调查的总人数为10÷20%=50人，
m=50-（10+16+4）=20，
，
B组的圆心角是360°×=144°，
故答案为：20，32，144；
(2)设男同学标记为A、B，女学生标记为1、2，
列树状图如下：

由图知，可能出现的所有结果共有12 种且每种的可能性相同，
至少1名女生被抽取参加5G体验活动的有10种结果，
至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为．
【点睛】
本题考查了频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断并解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．
25．（1）PB＝8；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，利用切线的性质得∠BAP=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求PB的长；
（2）连接OC、AC，如图2，根据切线的性质得出∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，利用等腰三角形的性质可证明
∠3=∠4，那么∠1=∠2，CD=AD．根据圆周角定理得∠ACB=90°，再证明∠5=∠P，那么CD=DP，即D是AP的中点．
【详解】
（1）解：如图1．
∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴PA⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠P+∠ABP＝90°，
∵∠ABP＝60°，
∴∠P＝30°，
又∵AB＝4，
∴PB＝2AB＝2×4＝8．

（2）证明：连接OC、AC，如图2，
∵PA是⊙O的切线，CD是⊙O的切线，
∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴CD＝AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠P＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠5＝∠P，
∴CD＝DP，
∴CD＝AD＝DP，
∴D是AP的中点．
【点睛】
本题考查由切线得到的垂直关系、直径所对的圆周角是直角，使问题化在直角三角形来解决，值得注意的是本题的两个问都可以运用直角三角形的同一条性质来解决；本题的（2）问还要注意等边或等腰三角形的桥梁作用．当然要证明（2）问的结论的途径不止一种．
26．（1）w=；（2）第19天日销售利润最大，最大利润为841元；（3）0.5≤a＜4．
【分析】
（1）根据利润（w）=日销售量（m） 价格差（-20）分别计算即可得出前20天和后20天的日销售利润w（元）与时间t的函数关系式；（2）根据二次函数的性质，求出（1）中的两个二次函数的最大值进行比较即可；（3）根据题意得出扣除捐赠后的利（w）与时间（t）的解析式，找出对称轴进行分析即可，
【详解】
（1）当1≤t≤20且t为整数时，
w=（t+25﹣20）（﹣2t+96）
=﹣t2+38t+480；
当21≤t＜40且t为整数时，
w=（﹣t+40﹣20）（﹣2t+96）
=t2﹣88t+1920，
综上w=．
（2）当1≤t≤20且t为整数时，w=﹣t2+38t+480=﹣（t﹣19）2+841，
此时当t=19时，w取得最大值841；
当21≤t＜40且t为整数时，w=t2﹣88t+1920=（t﹣44）2﹣16，
∵t＜44时，w随t的增大而减小，
∴当t=21时，w取得最大值，最大值为513；
综上，第19天日销售利润最大，最大利润为841元．
（3）根据题意知，扣除捐款后的利润w=﹣t2+38t+480﹣（﹣2t+96）a
=﹣t2+（38+2a）t+480﹣96a
∴﹣1＜0，且对称轴t=19+a，
因为t为整数，所以函数图象是为20个分布在抛物线上的散点，要使日销售利润随时间t增大而增大，
则要求对称轴19+a≥19.5，
解得a≥0.5，
又a＜4，
则0.5≤a＜4．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、二次函数的最大值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.