数学拓展模块一 上册2.4.1 向量的坐标表示教学设计

授课题目

2.4向量的坐标表示

选用教材

高等教育出版社《数学》

（拓展模块一上册）

授课时长

4课时

授课类型

新授课

教学提示

本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量与单位向量i，j之间的关系，把向量分解为xi和yj之和，建立了向量与点A的坐标(x,y)之间的关系，并且=xi+yj；接着利用向量的减法建立了任一向量与它的终点B与起点A的坐标的差之间的关系，=(x2- x1) i +(y2- y1) j．这两个式子表明任意一个向量都可以用一个有序实数对与之对应，这个有序实数对就是向量的坐标表示．

教学目标

知道向量坐标的合理性和应用价值，会用直角坐标表示向量；能用向量坐标进行向量的线性运算和内积运算；会用向量坐标解决有关向量大小、共线、垂直等问题；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.

教学重点

会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行或垂直．

教学难点

向量内积的坐标表示的几何应用．

教学环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

情境导入

我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x,y)是一一对应的，(x,y)是点P的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点P(x,y)为终点的向量与有序实数对(x,y)也是一一对应的，如图所示．

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

结合数轴和平面直角坐标系中点与坐标的关系引入新知

探索新知

2.4.1向量的坐标表示

如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j.以原点O为起点做向量，点P的坐标为(x,y).向量与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？

过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M、N.由于向量与i共线，并且的模等于| x |，；同理可得，.根据向量加法的平行四边形法则，有

.

进一步，对于图中所示的以A为起点的向量，记点A 与点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有

 因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a= xi+yj. 我们把有序实数对称为向量a的坐标. 方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y).

温馨提示

在上图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)；=(x,y)，

=(x2-x1, y2-y1).

讲解

说明

展示

讲解

展示图形

引发思考

理解

思考

领会

理解

结合

图形

思考

问题

通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决，表达更简洁，运算更便捷

典型例题

例1 已知两点A(-2,3)、B(3,1)，求向量和的坐标.

解 =(3-(-2), 1-3)= (5,-2);

=(-2-3, 3-1)= (-5, 2).

例2  如图所示，单位圆与坐标轴交于A、B、C、D四点，∠AOM=45°，∠BOE=30°，∠CON=45°，求向量、、、的坐标.

解 由于点B的坐标为(0,1)，故=(0,1)；点M的坐标为

故              ；

同理可得

例3 如图所示，⏥ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0),求第四个顶点D的坐标.

解 在⏥ABCD中，有=.设点D的坐标为(x,y)，则

.

又           

，

故有      .

于是，         

从而

    所以，点D的坐标为(3,2).

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

例1为了强调强调“终点的坐标减去起点的坐标”；

例2综合单位圆和向量知识解决问题；例3综合运用平行四边形的性质、相等向量、向量的坐标表示等多个知识点，渗透了方程的思想

巩固练习

练习2.4.1

1. 判断下列说法是否正确.

(1) x轴上的单位向量i的坐标为(1,0)；

 (2)起点不在原点的向量不能确定它的坐标；

 (3)由于x轴和y轴上的单位向量i、j的模都是1，所以它们的坐标相等； 

 (4)向量的坐标是唯一确定的.

2.已知点A(2,-1)，写出向量的坐标，并用x轴和y轴上的单位向量i、j线性 表示向量. 

3.已知向量=-5i+2j，写出点A的坐标. 

4.已知向量a=3i-j，写出向量a的坐标.

5.已知两点A与B的坐标，求和的坐标.

(1) A(-1, 5)，B(-3, 1)； 

(2) A(-5, 3)，B(4, 5)；

(3) A(2,-6)，B(3, 5).

6.如图所示，O为菱形ABCD对角线的交点，AC=4，BD=6.以对角线CA、DB所在的直线作x、y轴，求向量、、的坐标.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺

情境导入

2.4.2向量线性运算的坐标表示

    对于向量a=(x1,y1)和b= (x2,y2)，向量a+b 、a-b、λa         如何用坐标表示呢？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

提出问题引发思考

探索新知

这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差).

实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积．

讲解

说明

展示

讲解

理解

思考

领会

理解

结合向量加法进行推理，提升数学运算核心素养

典型例题

例4 设a=(3, -2)，b= (-2, 1)，求：

(1) a+b；(2) a-b； (3)3a-2b .

解  (1) a+b = (3,-2)+(-2,1) = (3+(-2),-2+1) = (1,-1) ; 

(2) a-b =(3,-2)-(-2,1)= (3-(-2),-2-1)= (5,-3)；

(3) 3a-2b=3(3,-2)-2 (-2,1)=(9,-6)- (-4,2)=(13,- 8)．

例5 如图所示,正六边形ABCDEF的中心O在坐标原点，边长为2，CF在x轴上，试求向量、、的坐标.  

 解  (1) 根据题意，ΔABO和ΔBOC都是边长为2得到正三角形，故点C的坐标为(2,0).因此

(2) 设正六边形与y 轴的负半轴交于点G,则OG为正三角形ABO的高和中线.于是OG=BG=×1=.

故点B的坐标为(1,-).于是，

(3) 因为，所以

我们知道，当a≠0时，a∥b⇔存在实数λ，使得b=λa.

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，由b=λa得，x2=λx1且y2=λy1，则 或x1 y2=x2 y1.

    因此，当a≠0时，a∥b⇔或x1 y2=x2 y1.

例6  已知向量a=(−2,3)，b=(4,−6)，判断向量a与b是否共线.

解  由于 x1 y2=−2×(−6)，x2 y1=4×3，且−2×(−6)=4×3，故

a∥b，即向量a与b共线.

提问

引导

讲解

强调

提问

引导

讲解

强调

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

思考

分析

解决

交流

思考

分析

解决

交流

例4是向量坐标的线性运算示例

例5是结合特殊图形和相等向量的性质解决问题例6是达成课标要求会用向量的坐标形式判定两个向量平行

巩固练习

练习2.4.2

1. 已知向量a、b的坐标分别求a+3b，5a-2b的坐标.

    (1) a=(−2,3)，b=(4,6);

(2) a=(2,3)，b=(3,1).

2. 已知向量a、b的坐标，判断这两个向量是否共线.

(1) a=(−2,3)，b=(6, −9);

(2) a=，b=;

(3) a=(1,−2)，b=(−7,14).

3.  己知点 B(4, −3)，连接OB 并延长至C点，使得|OC|=2|OB| ，求向量的坐标. 

4. 求例5中向量、、的坐标.

5. 如图所示，正方形ABCD的中心在原点O，四边与坐标轴垂直，边长为2，求向量与的坐标.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺

情境导入

2.4.3 向量内积的坐标表示

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，内积a·b是否可以用坐标表示？如何表示呢？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

延续原有知识脉络

探索新知

由a=(x1,y1)，b=(x2,y2)知，a=x1i+y1j，b= x2i+y2j.根据向量内积的定义，i·j=j·i=0，i·i=|i|2=1，j·j=|j|2=1，有

a·b=(x1i+y1j)·( x2i+y2j)

= x1x2 i·i+x1y2i·j+y1x2j·i+ y1y2j·j

=x1x2+y1y2.

这说明，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即

       a·b=x1x2+y1y2.

根据内积的定义，还可以得到以下结论：

讲解

说明

展示

讲解

理解

思考

领会

理解

向量的坐标表示将向量的内积运算代数化进而解决有关几何问题

典型例题

例7 已知向量a=(3,4)，b=(−2, 1)，求a·b、|a|、|b|、

cos<a, b>.

解 a·b=3×(−2)+4×1=-2.

.

同理，.

.

例8判断下列各组向量是否互相垂直.

(1) a=(4, −6) ， b= (9,6) ; 

(2) a=(0, −2) ，b=(1, −3). 

解  (1)因为a·b=4×9+(−6)×6=0，所以a⊥b. 

(2)因为a·b=0×1+ (−2)× (−3)=6≠0，所以a 与b不垂直.

提问

引导

讲解

强调

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

思考

分析

解决

交流

例7

是向量内积的坐标表示的几何应用

例8

是水平二学业要求适当提高

巩固练习

练习2.4.3

  1.已知向量a、b的坐标，求a·b.

(1) a=(2, −3) ，b=(−1,5) ；

(2) a=(4, −1) ， b=(1,6). 

2. 己知向量a=(2, −5)，求向量a的模. 

3. 判断下列各组向量是否互相垂直. 

(1) a=(1, −3) ，b=(3, −2) ；

(2) a=(2,0) ， b=(0, −7) ；

(3) a=(−2,3) , b=(3,4). 

4. 己知向量a=(3,5), b=(−2,1)，求 2a·5b. 

5. 已知向量a=(−2,3) , b=(3,4)，求 cos<a,b>.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养

学生

总结

学习

过程

能力

布置作业

1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

说明

记录

继续探究

延伸学习