中职高教版（2021）5.3 实系数一元二次方程的解法教案

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授课题目5.3实系数一元二次方程的解法选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长1课时授课类型新授课教学提示本课首先指出在数系得以扩充后，解决了负数开平方的问题，抛出问题“当时，如何求解一元二次方程ax2＋bx＋c=0？”引发思考，然后引导学生经历求根公式的推导过程，深入体会基于方程有解的需要促使数系的扩充．数系的扩充解决了一元二次方程在实数范围内无解这一问题，从而全面认识不同情况下实系数一元二次方程的解法，更深刻理解数系扩充的意义．教学目标知道实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数范围内求解实系数一元二次方程；知道实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系；培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养.教学重点在复数范围内求解实系数一元二次方程．教学难点实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入方程 x²+1=0 在实数集R内无解.在复数集C中，因为i²=(-i)²=-1，所以方程有两个虚数解x1,2=±1.一般地，对于实系数一元二次方程ax²+bx+c=0，当Δ=b²-4ac≥0时，方程有实数解；当Δ=b²-4ac<0时，方程有虚数解.如何表示Δ<0时方程的解呢？提出问题 引发思考思考 分析 回答抛出问题引发思考新知探索当Δ=b²-4ac<0时，方程ax²+bx+c=0可化为.配方可得因此，当Δ=b²-4ac<0时，实系数一元二次方程ax²+bx+c=0在复数集中的两个根可表示为显然，x1、x2都是虚根，并且他们是一对共轭复数.容易验证，x1、x2还满足也就是说，韦达定理在复数集C中仍然成立. 讲解  讲解说明理解  思考领会引导学生经历求根公式的推导过程，体会基于方程有解的需要促使数系的扩充典型例题例1 在复数集C中，求解方程x²-3x+4=0.解 因为b²-4ac=9-16=7＜0，所以 例2  已知实系数一元二次方程x²+mx+n=0的一个根是 1+2i，求 它的另一个根和m 、n的值.解  因为实系数一元二次方程x²+mx+n=0的一个根是虚数 1+2i，所以判别式Δ<0.于是，方程有两个互为共轭复数的根，从而方程 的另一个根是 1-2i. 由根与系数的关系可得即        m=-(x1+x2)=-[(1+2i)+](1-2i)] =-2, n=x1x2 = (1+2i) (1-2i) = 5. 例3 在复数集中解方程x4-16=0.解  原方程可化为(x²+4) (x²-4)=0，因此x²+4=0或x²-4=0.由x²+4=0得x1=2i，x2=-2i；由x²-4=0得x3=2i，x4=-2.所以原方程的根为x1=2i，x2=-2i，x3=2i，x4=-2. 温馨提示在复数集C中，实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式为当Δ=b²-4ac≥0时，；当Δ=b²-4ac<0时，.讲解强调 指导学习    讲解强调 指导学习解决交流 主动求解    解决交流 主动求解例1直接应用公式     例2另一种方法是将一个根代入方程整理后求解例3注意强调解题步骤巩固练习练习5.31.在复数集中解方程x2=-9.2.在复数集中解方程x2+4x+5=0.3.已知实系数一元二次方程x²+bx+c=0的一个根是3-4i，求另一个根和b、c的值.提问 巡视 指导思考 求解 交流掌握学生情况查漏补缺归纳总结  引导 提问 回忆 反思 培养学生总结学习过程能力布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.说明记录继续探究延伸学习