辽宁省鞍山市2023-2024学年高三上学期第一次质量监测数学试题

鞍山市普通高中2023-2024学年度高三第一次质量监测

数学

考试时间：120分钟 满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知一组数据从小到大排列如下：1，2，3，3，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，7，7，8，9，10，则这组数据的第分位数为（    ）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5

4．已知函数为上的奇函数，则实数的值为（    ）

A．0 B．1 C． D．1或

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知数列的前项和为，且满足，则（    ）

A．130 B．169 C．200 D．230

7．已知函数，若为上的增函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（    ）

A．函数与的图象关于对称

B．若函数为奇函数，则的图象关于点中心对称

C．若为奇函数，则的图象关于点对称

D．若为偶函数，且在上为增函数，则关于的不等式的解集为

10．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则弦最短长度为4

C．存在以为直径的圆与相交

D．若直线，且点在轴的上方，则

11．甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（    ）

A．若从甲盒中一次性取出2个球，记表示取出白球的个数，则

B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为

C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为

D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记：从乙盒中取出的1球为白球，则

12．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点在侧面上运动，且直线平面，下列说法正确的是（    ）

A．点的轨迹长度为

B．直线与直线所成的角记为，则的最小值为

C．平面与平面所成的锐二面角记为，则

D．平面将正方体分成的两部分体积之比为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知等边中，，点在边上，且，则______．

14．已知函数，．直线与函数的两相邻交点的距离最小值为，则______．

15．有6名同学要分到4个不同的单位去实习，要求每个单位至少接收1名同学，则不同的分配方法有______种．

16．已知椭圆，直线，直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，若，则______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．本小题满分10分

已知的内角、、的对边分别为、、，为边上一点，，且．

（1）若，求；

（2）若的面积为，求的长．

18．本小题满分12分

已知数列满足当时，，记表示为的前项和．

（1）求；若，请写出的表达式（不必写出推导过程）；

（2）求的最小正整数．

19．本小题满分12分

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，为棱中点，且平面．

（1）求证：；

（2）若，二面角的大小为，求三棱锥的内切球半径．

20．本小题满分12分

为了促进某城市旅游产业的发展，该城市一家旅游公司拟推出一款优质旅游套餐，以下简记为“套餐”，已知套餐的成本为800元/份，经过对有购买套餐意向的人群（以下简称为“优质客户”）调查，得到销售价格元/份与购买套餐的概率之间的关系如下：

约定：每位优质客户最多可以购买1份套餐，且每位优质客户购买套餐的概率只与销售价格有关．

（1）若销售价格元/份，记表示4名优质客户购买套餐的人数，求；

（2）若优质客户有人，该旅游公司销售套餐的利润为（单位：元），求最大时，销售价格的值．

21．本小题满分12分

已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．

（1）求双曲线的方程；

（2）点在直线上，、分别为双曲线的左、右顶点，直线、分别与双曲线交于、两点．求证：直线过定点．

22．本小题满分12分

已知函数为实数．

（1）时，求的极小值点；

（2）若是的极小值点，求的取值范围．

鞍山市普通高中2023-2024学年高三第一次质量检测

数学科参考答案

一、选择题：

1~5、ACBCD  6~8、CBB 9、BCD  10、BD  11、BCD  12、ABC

二、填空题：

13、  14、2 15、1560 16、

三、解答题：

17．解：（1）在中，由正弦定理得，所以，

（2）作，垂足为，则，，∴

所以，为Rt，又，且

，∴为等边

18解：（1）因为，

（2）由题意

，

为偶数时，由时，

为奇数时，由时，

综上：的最小正整数为17

12分

19：（1）中，为中点，∴，又∴平面平面平面，又平面

（2）在Rt中，，∴，设，

以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，

建立如图空间直角坐标系，

则

设为平面的法向量，则有

，令，得，

取为平面的法向量，，解得

∴，该三棱锥的表面积记为

则，由得

综上：

20（1）解：由题意每名优质客户购买套餐的概率为的取值集合为，且

（1）记表示购买套餐的人数，则，

（1）时，，此时时，的最大值为

（2）时，，此时时，的最大值为

（3）时，，此时时，的最大值为

（4）时，，此时时，的最大值为

综上：的最大值为，此时销售价格元/份

21（1）由题意，可得，∴双曲线

（2）法一：设直线，代入，得，

，则有，

直线，直线，由直线、的交点在上得，

即：

∴恒成立

若，将代入得，

∴过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去  ∴

直线过定点

法二：设，则设直线

由，得，记，则和是该方程的两个根

则，

由，得，记，则2和是该方程的两个根

则

则直线的斜率

∴，令，

故直线过定点

22解：（1）时，

令，

所以，在上递减，在上递增

的极小值点为0（也可写）

（2），且

，且

①时在上单调递增

单调递减，单调递增

是的极小值点，符合题意

②时，令

单调递增，且

单调递减，单调递增，是的极小值点，符合题意

③时，单调递减，单调递减，这与是的极小值点矛盾，舍去

④时，，

单调递增，单调递减，在上单调递增，不是的极小值点，舍去

综上：的取值范围为