(通用版)中考数学总复习考点10 分式方程及其应用（含解析）

这是一份(通用版)中考数学总复习考点10 分式方程及其应用（含解析），共19页。试卷主要包含了分式方程的定义，解分式方程的一般方法等内容，欢迎下载使用。
专题10 分式方程及其应用1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。【例题1】（2020•哈尔滨）方程的解为（　　）A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9【答案】D【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【解析】方程的两边同乘（x+5）（x﹣2）得：2（x﹣2）＝x﹣5，解得x＝9，经检验，x＝9是原方程的解．【对点练习】（▪黑龙江哈尔滨）方程＝的解为（　　）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝【答案】C【解析】将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解。＝，，∴2x＝9x﹣3，∴x＝；将检验x＝是方程的根，∴方程的解为x＝【点拨】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．【例题2】（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程5的解为正数，则m的取值范围为（　　）A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6【答案】D【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．【解析】去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），解得：x，由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，【对点练习】（•江苏宿迁）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是　　．【答案】a＜5且a≠3．【解析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a，5﹣a＞0，解得：a＜5，当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，故a＜5且a≠3．【点拨】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．【例题3】（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：．【对点练习】（吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.【答案】300套．【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：，解得：x=300，经检验，x=300是原方程的解，且符合题意。【点拨】这样考虑理解容易一些：原计划m天完成，有mx=9000，实际（m-5）天完成，有（m-5）2x=9000.【例题4】（2020贵州黔西南）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．【解析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得，解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得y=a+（60﹣a），y=﹣300a+36000．∵B型车进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=30000元．∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．【点拨】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【对点练习】（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【答案】见解析。【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据题意得：，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，由题意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．一、选择题1．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程4的解为正数，则k的取值范围是（　　）A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2【答案】B【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可．【解析】分式方程4，去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，解得：x，由分式方程的解为正数，得到0，且2，解得：k＞﹣8且k≠﹣2．2．（2020•泸州）已知关于x的分式方程2的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【解析】去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，移项、合并，得：x，∵分式方程的解为非负数，∴5﹣m≥0且1，解得：m≤5且m≠3，∴正整数解有1，2，4，5共4个.3．（2020•成都）已知x＝2是分式方程1的解，那么实数k的值为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．【解析】把x＝2代入分式方程得：1＝1，解得：k＝4．4.（•广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】【解析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．设甲每小时做x个零件，可得：5.（黑龙东地区）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（   ）A．m≤3   B．m＜3   C．m＞－3   D．m≥－3【答案】A【解析】知识点是分式方程的增根。由得x=m-3，∵方程的解是非正数，∴m-3≤0，∴m≤3.当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，∵m=6不在m≤3内，∴m≤3.故选A.6.（山东淄博）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　）A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）7.（•广西贵港）若分式的值等于0，则x的值为（　　）A．±1B．0C．﹣1D．1【答案】D 【解析】化简分式＝＝x﹣1＝0即可求解。＝＝x﹣1＝0，∴x＝1；经检验：x＝1是原分式方程的解。8.（•湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（　　）A．﹣＝15 B．﹣＝15 C．﹣＝20 D．﹣＝20【答案】A【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程．设原计划每天铺设钢轨x米，可得：9. （•山东省济宁市）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（　　）A．﹣＝45B．﹣＝45 C．﹣＝45D．﹣＝45【答案】A【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：﹣＝45．10.（•江苏苏州）小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（   ）A． B． C．  D．【答案】A【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量二、填空题11．（2020•徐州）方程的解为　     　．【答案】x＝9．【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可．【解析】去分母得：9（x﹣1）＝8x9x﹣9＝8xx＝9检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，所以x＝9是原方程的解．12．（2020•盐城）分式方程0的解为x＝　   　．【答案】1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】分式方程0，去分母得：x﹣1＝0，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．13．（2020•广元）关于x的分式方程2＝0的解为正数，则m的取值范围是　     　．【答案】m＜2且m≠0．【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【解析】去分母得：m+4x﹣2＝0，解得：x，∵关于x的分式方程2＝0的解是正数，∴0，∴m＜2，∵2x﹣1≠0，∴21≠0，∴m≠0，∴m的取值范围是m＜2且m≠0．14.（•甘肃）分式方程＝的解为　　．【答案】x＝【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．15.（•山东省滨州市）方程+1＝的解是　　．【答案】x＝1．【解析】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，移项、合并，得2x＝2，解得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0，所以，原方程的解为x＝116.（▪湖北黄石）分式方程：﹣＝1的解为　　．【答案】x＝﹣1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即x2﹣3x﹣4＝0，解得：x＝4或x＝﹣1，经检验x＝4是增根，分式方程的解为x＝﹣117.（四川巴中）若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为　　．【答案】1 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是118.（•江苏宿迁）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是　　．【答案】a＜5且a≠3．【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a，5﹣a＞0，解得：a＜5，当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，故a＜5且a≠3．19.（•贵州省安顺市）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为　　．【答案】﹣＝20．【解析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，依题意，得：﹣＝20．故答案为：﹣＝20．20. (黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200km的B地,甲,乙两车的速度之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车速度为______km/h.【答案】80【解析】分式方程的应用。设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得:,解之,得x＝20,∴甲车速度为4x＝80.三、解答题21．（2020•湘潭）解分式方程：2．【答案】见解析。【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得，3+2（x﹣1）＝x，解得，x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解．所以，原方程的解为：x＝﹣1．22．（2020•陕西）解分式方程：1．【答案】见解析。【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】方程1，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，解得：x，经检验x是分式方程的解．24．（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？【答案】见解析。【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；（3）设销售利润为w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5﹣a）个，样品中A种书包有（4﹣b）个，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，（5﹣a），（4﹣b）均为正整数，即可求出结论．【解析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，依题意，得：2，解得：x＝70，经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，∴x+20＝90．答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元．（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，依题意，得：，解得：18≤m≤20．又∵m为正整数，∴m可以为18，19，20，∴该商场有3种进货方案，方案1：购买18个A种书包，41个B种书包；方案2：购买19个A种书包，43个B种书包；方案3：购买20个A种书包，45个B种书包．（3）设销售利润为w元，则w＝（90﹣70）m+（130﹣90）（2m+5）＝100m+200．∵k＝100＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝20时，w取得最大值，此时2m+5＝45．设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5﹣a）个，样品中A种书包有（4﹣b）个，依题意，得：90×[20﹣（5﹣a）﹣（4﹣b）]+0.5×90（4﹣b）+130（45﹣a﹣b）+0.5×130b﹣70×20﹣90×45＝1370，∴b＝10﹣2a．∵a，b，（5﹣a），（4﹣b）均为正整数，∴．答：赠送的书包中B种书包有4个，样品中B种书包有2个．