中考数学二轮复习专题讲与练专题02 整式的运算（含解析）

专题02   整式的运算复习考点攻略

考点01 整式的有关概念

1．整式：单项式和多项式统称为整式．

2．单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．

【注意】单项式的系数包括它前面的符号

3.多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．

4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.

【例1】单项式的次数是_____．

【答案】5

【解析】单项式的次数是.故答案为5．

【例2】下列说法中正确的是（  ）

A．的系数是–5    B．单项式x的系数为1，次数为0

C．的次数是6    D．xy＋x–1是二次三项式

【答案】D

【解析】A.的系数是–，则A错误；

B.单项式x的系数为1，次数为1，则B错误；

C.的次数是1+1+2=4，则C错误；

D.xy＋x–1是二次三项式，正确，故选D.

【例3】若单项式与是同类项，则的值是_______________．

【答案】2

【解析】由同类项的定义得：解得则故答案为：2．

【例4】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解： ，，，，，，…，

可记为：

第项为： 故选A．

【例5】如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案需小木棒的根数是（ ）

A．54  B．63

C．74  D．84

【答案】A

【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒，

拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒，

拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒，

拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒，

…

拼搭第n个图案需小木棒n(n+3)=n2+3n根.

当n=6时，n2+3n=62+3×6=54.

故选A.

考点02 整式的运算

1．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.

2. 整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。.

3．整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.

（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb..

4．整式的除法：

（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式。

（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

5．乘法公式：

（1）平方差公式：. 

（2）完全平方公式：

【例6】下列计算正确的是（ ）

A．             B．

C．                      D．

【答案】B

【解析】A、a3和a4不是同类项，不能合并，故A错误；B、，故B正确；C、，故C错误；D、，故D错误.答案为B.

【例7】下列计算正确的是

A．        B．

C．        D．

【答案】D

【例8】已知与的和是，则等于（  ）

A．–1  B．1

C．–2  D．2

【答案】A

【解析】∵与的和是，∴与是同类项，∴，

∴.故选A.

【例9】先化简，再求值：，其中．

【答案】，9

【解析】解：原式，当时，原式．

考点03  因式分解

1．把一个多项式化成几个因式积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2．因式分解的基本方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。

③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

3．分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：

为两项时，考虑平方差公式；

为三项时，考虑完全平方公式；

为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.

【例10】下列因式分解正确的是

A．x2–9=（x+9）（x–9） B．9x2–4y2=（9x+4y）（9x–4y）

C．x2–x+=（x−）2 D．–x2–4xy–4y2=–（x+2y）2

【答案】D

【解析】由，得，又，则，所以.故选D

【例11】分解因式： =_________________．

【答案】(a+4)(a-2)

【解析】=

【例12】若m+=3，则m2+=_____．

【答案】7

【解析】把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9，则m2+=7，故答案为：7

第一部分 选择题

一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）

1．若，则的值是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】∵，∴==4×1-3=1．故选：D．

2．点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】把代入函数解析式得：，化简得到：，

∴．故选：C．

3．如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解:由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照一共有12条棱,去掉首尾衔接处的小球,则每条棱上剩下12(m-2)个小球,加上衔接处的8个小球,则小球的个数为,选项B中,故B,C,D均正确,故本题选A.

4．观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是

A．2a2-2a  B．2a2-2a-2

C．2a2-a  D．2a2+a

【答案】C

【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；…

∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，

∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，

∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．

5. 已知a﹣b=5，c+d=﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（  ）

A．2  B．﹣2

C．8  D．﹣8

【答案】D

【解析】根据题意可得：（b+c）﹣（a﹣d）=（c+d）﹣（a﹣b）=﹣3﹣5=﹣8，故选D．

6. 下列计算正确的是（　　）

A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3

【答案】B

【解析】解：，因此选项不正确；，因此选项正确；

，因此选项不正确；，因此选项不正确；故选：B．

7. 一个长方形的周长为，相邻的两边中一边长为，则另一边长为（  ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】∵长方形的周长为，

∴相邻的两边的和是,

∵一边长为，

∴另一边长为，

故选B.

8. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵函数与的图像交于点P(，)，

∴，，即，，∴．故选：C．

9. 已知x＋y=–1，则代数式2021–x–y的值是

A．2020 B．2019 

C．2022 D．2021

【答案】C

【解析】∵–x–y=–（x+y），∴2021–x–y=2021–（x+y）=2021–（–1）=2022，故选C．

10. 按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2017次得到的结果为

A． 1          B． 2

C． 3          D． 4

【答案】A

【解析】当x=2时，第一次输出结果==1；

第二次输出结果=1+3=4；

第三次输出结果=4×=2，；

第四次输出结果=×2=1，

…

2017÷3=672…1．

所以第2017次得到的结果为1．

故选A．

第二部分     填空题

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11. 已知单项式与是同类项，那么的值是___________

【答案】3

【解析】∵与是同类项，

∴，

解得，

∴=3.

故答案为3.

12.因式分解：a3﹣a=  ______  

【答案】a（a+1）（a﹣1）

【解析】原式=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1），

故答案为：a（a+1）（a﹣1）

13.分解因式：_________．

【答案】

【解析】：故答案为：（ab-1）（a+b）

14. 若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．

【答案】0或8

【解析】解：多项式是关于，的三次多项式，

，，，，

或，或，或8．故答案为：0或8．

15.若2x=5，2y=3，则22x+y=  ______   ．

16.若m﹣＝3，则m2+＝_____．

【答案】11

【解析】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．

第三部分 解答题

三、解答题（本题有6小题，共56分）

17. 先化简，再求值：，其中．

【答案】；．

【解析】解：原式

当时，原式 。

18. 先化简，再求值：，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．

【答案】

【解析】原式 

，
       因为 ，即

       所以当时，原式．

19. 已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．

【答案】-1.

【解析】∵ab=1，b=2a-1，∴b-2a=-1，∴

20. 如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．

（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；

（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．

21. 阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：

设S=1+2+22+…+22017+22018①，

则2S=2+22+…+22018+22019②，

②-①得2S-S=S=22019-1，

∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）1+2+22+…+29=__________；

（2）3+32+…+310=__________；

（3）求1+a+a2+…+an的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．

【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①，

则2S=2+22+…+210②，

②-①得2S-S=S=210-1，

∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．

（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，

则3S=32+33+34+35+…+311②，

②-①得2S=311-1，

所以S=，

即3+32+33+34+…+310=，

故答案为：．

（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，

则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，

②-①得：（a-1）S=an+1-1，

a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1，

a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，

即1+a+a2+a3+a4+…+an=．