中考数学二轮复习专题讲与练专题09 全等三角形和相似三角形（含解析）

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专题09 全等三角形和相似三角形复习考点攻略


考点一 全等三角形的性质和判定
1．全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
2．三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
3. 判定两个三角形全等的思路：
（1）已知两边
（2）已知一边、一角
（3）已知两角

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD．求∠BDC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）90°
【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，CB=CF，
∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，
∴△BCD≌△FCE．
（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°–∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
【例2】如图，已知，．求证：．

【答案】见解析．
【解析】证明：在△ADB和△BCA中，
∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴．
考点二　比例线段及其性质
1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．判定四条线段是否成比例：只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
4. 黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB
5. 平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2） 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

【例3】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，∵AD=1，BD=3，∴，当时，，∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，
故选D．

【例4】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）

A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
【答案】A
【解析】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案为：A

考点三 相似三角形的性质和判定
1．相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
2．相似三角形的判定
（1）有两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法】判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
3. 相似三角形模型
模型一：“A、8”模型





已知：，结论
模型二：共边共角型






已知：，结论：

模型三：一线三角型




模型四：旋转型










模型五：垂直型







如图，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高
结论：∽△BCD


4. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
5．相似多边形性质;
（1）相似多边形的对应边成比例；
（2）相似多边形的对应角相等；
（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
【例5】如图，已知∠CAE=∠BAD，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）

A．∠C=∠AED B．∠B=∠D
C．= D．=
【答案】C
【解析】∵∠CAE=∠DAB，∴∠DAE=∠BAC，∴当∠C=∠AED，∠B=∠D或=时，△ABC∽△ADE．由=和已知条件不能得出△ABC∽△ADE．故选C．
【例6】如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为

A．2a B．a
C．3a D．a
【答案】C
【解析】∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，
解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a-a=3a，故选C．


考点四 位似图形的性质
1. 位似图形: 如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．位似图形的性质
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
【例7】在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）

A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【答案】A
【解析】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．故选：A

【例8】如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【解析】∵点O为位似中心，位似比为，A （4，3），∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．选：B．


第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）
1. 在下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．

【答案】D
【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，
根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形，
故选D．
2. 如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是（ ）


A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，
∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；
∴OD=CO，∴BD=AC，
∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；
∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，
故选D．
3. 如图，已知∠ADB=∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（ ）

A．∠A=∠C B．AD=BC C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD
【答案】D
【解析】A．∵∠A=∠C，∠ADB=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CDB（AAS），故正确；B．∵AD=BC，∠ADB=∠CBD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SAS），故正确；C．∵∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（ASA），故正确；D．∵AB=CD，BD=DB，∠ADB=∠CBD，不符合全等三角形的判定方法，故不正确，故选D．
4. 已知线段a、b，如果a：b=5：2，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A．a+b=7 B．5a=2b
C．= D．=1
【答案】C
【解析】A、当a=10，b=4时，a：b=5：2，但是a+b=14，故本选项错误；
B、由a：b=5：2，得2a=5b，故本选项错误；
C、由a：b=5：2，得=，故本选项正确；
D、由a：b=5：2，得=，故本选项错误．
故选C．
5. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵DE//AB，∴∴的值为．故答案为A．
6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【解析】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故选：D．
7. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，∴即，
解得CD=，同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，故选：A.

8. 如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．

9.如图，在和中，，
连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，①正确；
∴，由三角形的外角性质得：，
∴°，②正确；
作于，于，如图所示：

则°，
在和中，，∴，∴，∴平分，④正确，正确的个数有3个，故选B．
10.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．



第二部分 填空题
二、 填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11.若，则________．
【答案】
【解析】由可得，，
代入．故答案为
12.如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2=__________．

【答案】
【解析】∵点F是△ABC的重心，∴BF=2EF，∴BE=3EF，
∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，
∴，（）2，
∴S1∶S2，故答案为：．

13. 已知，如图，，，且，则与__________是位似图形，位似比为____________.

【答案】，7：4
【解析】∵A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
，，
∠A′B′O=∠ABO，∠C′B′O=∠CBO，
，∠A′B′C′=∠ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，
位似比=AB：A′B′=OA：OA′=（4+3）：4=7：4．


14.如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．

【答案】3
【详解】解：∵在□ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，∠B=∠DCF，∠F=∠F，∴△ABF∽△ECF，
∴，∴S△ABF：S△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，∴S△ABF=4，∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．故答案为：3．
15.如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为，则的长为________．

【答案】
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，∠DEC=90°，AE=5
∵的周长为，∴AB+BD+AD=26∴AB+BD+DC=AB+BC=26
∵AB=10，∴BC=16，过点A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC=10 ∴CF=8，
∵∠DEC=∠AFC= 90°，∠C=∠C∴
∴∴∴DE= 故答案为：

16.如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______．

【答案】
【解析】∵四边形ABCD是矩形，，，
∴∠BAD=∠BCD=90º，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，
∴，又=5，∴PD=8，
∵AB∥DQ，∴，即解得：CQ=3，
在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，．故答案为：

第三部分 解答题
三、解答题（本题有7小题，共56分）
17.如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】证明：连接AC，如图所示；
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．

18.如图，，，．，与交于点．（1）求证：；（2）求的度数．

【答案】（1）见解析（2）90°
【解析】（1）∵，，∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD
又．∴△ACE≌△BCD∴
（2）∵△ACE≌△BCD∴∠A=∠B设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°故=180°-∠BFO=90°．

19. 如图，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求的值，（2）求BC的长
【答案】（1） （2）9
【解析】解：（1）∵
∴
∴
（2）∵，所以
∴
∵
∴
∴
20. 如图，，，于D，于E，且．
求证：．

【答案】（1）见解析
【解析】，，，
，，，
，
在和中，，
∴≌（AAS），
，，
，
∴BD=EC+ED．



21.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE=60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．
（1）求证：∠FAE=∠ABE；
（2）求证：AH=BE；
（3）若AE=3，BH=5，求线段FG的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2
【解析】（1）∵∠AFE=∠BAE=60°，∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，∴∠FAE=∠ABE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴AB=AD、∠BAE=∠ADB=60°，
在△ABE和△DAH中，∵，∴△ABE≌△DAH(ASA)，
∴AH=BE；
（3）如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，

∵△ABE≌△DAH，∴AE=DH=3，则BD=BH+DH=8，
∴BP=PD=4，PH=BH–BP=1，
∵AB=BD=8，∴AP==4，则AC=2AP=8，
∵CG∥BD，且P为AC中点，∴∠ACG=90°，CG=2PH=2.


22..如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．




【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2
【解析】 △ABE 与△ADC相似．理由如下：
在△ABE与△ADC中
∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90o，
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC．
又∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠BEA=∠DCA．
∴△ABE ～△ADC．
23. 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点，连接AD并延长至点F，使DE=AD，连接BC、BF．









（1）求证：；
（2）当时，求的值
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：
是的中位线，


又

（2）解：由（1）知，


又
．