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中考数学二轮精品专题复习 专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(解析版)
展开这是一份中考数学二轮精品专题复习 专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(解析版)，共12页。
专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)
以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f′(x)，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f′(x)的形式，则我们要构造的则是一个包含f(x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f′(x)，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数．
构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．
构造函数的主要步骤：
(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；
(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；
(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．
考点一 构造F(x)＝xnf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数
【方法总结】
(1)若F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；
(2)若F(x)＝，则F′(x)＝＝．
由此得到结论：
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝．
【例题选讲】
[例1](1)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)＜－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1，2) D．(2，＋∞)
答案 D 解析 因为f(x)<－xf′(x)，所以f(x)＋xf′(x)<0，即(xf(x))′<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．由不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，可得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以解得x>2．选D．
(2)已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足xf′(x)＋2f(x)＞0，则不等式＜的解集为( )
A．{x|x＞－2 016} B．{x|x＜－2 016} C．{x|－2 016＜x＜0} D．{x|－2 021＜x＜－2 016}
答案 D 解析 构造函数g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]．当x＞0时，∵2f(x)＋xf′(x)＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵不等式＜，∴当x＋2 021＞0，即x＞－2 021时，(x＋2 021)2f(x＋2 021)＜52f(5)，即g(x＋2 021)＜g(5)，∴0
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
答案 A 解析 设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0．∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0
(4)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为________．
答案 (－∞，－4)∪(0，4) 解析 构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，可以推出当x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．
(5)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立，则( )
A．4f(1)＜f(2) B．4f(1)＞f(2) C．f(1)＜4f(2) D．f(1)＞4f′(2)
答案 B 解析 令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝，由不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立知g′(x)＜0，即g(x)在(0，＋∞)是减函数，∴g(1)＞g(2)，即＞，即4f(1)＞f(2)，故选B．
(6)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
答案 D 解析 设g(x)＝，则g′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则g′(x)＝＜0，即函数g(x)在x∈(0，＋∞)时为减函数．由函数y＝f(x)为奇函数知f(－3)＝－f(3)，则c＝＝．∵a＝＝g(e)，b＝＝g(ln 2)，c＝＝g(3)且3＞e＞ln 2，∴g(3)＜g(e)＜g(ln 2)，即c＜a＜b，故选D．
【对点训练】
1．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 021)2f(x
＋2 021)－4f(－2)>0的解集为( )
A．(－∞，－2 021) B．(－∞，－2 023) C．(－2 023，0) D．(－2 021，0)
1．答案 B 解析 由2f(x)＋xf′(x)>x2，结合x∈(－∞，0)得2xf(x)＋x2f′(x)
2．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x
的取值范围是________．
2．答案 (－2，0)∪(2，＋∞) 解析 令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，x∈(0，＋∞)．所以函数g(x)
在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝＝＝＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)．则f(x)＝xg(x)＞0⇔或解得x＞2或－2＜x＜0，故不等式f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．
3．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成
立的x的取值范围是________．
3．答案 (－1，0)∪(0，1) 解析 构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，
可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．
4．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x＜0时，有xf′(x)－f(x)＞0恒成立，则不等式f(x)＞0的
解集为________．
4．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x＜0时，xf′(x)－f(x)
＞0，可以推出当x＜0时，F′(x)＞0，F(x)在(－∞，0)上单调递增．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集
是________________．
5．答案 (－∞，－2)∪(0，2) 解析 ∵当x>0时，′＝<0，∴φ(x)＝在(0，＋∞)上为
减函数，又f(2)＝0，即φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，<0恒成立，则不等式>0的解集
为( )
A．(－2，0)∪(2，＋∞) B．(－2，0)∪(0，2) C．(－∞，－2)∪(0，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
6．答案 B 解析 设g(x)＝，则g′(x)＝′＝，当x>0时，g′(x)<0，所以函数g(x)＝
在(0，＋∞)上单调递减．因为f(x)是奇函数，所以g(x)＝是偶函数．因为f(2)＝0，所以f(－2)＝0．所以不等式>0的解集为(－2，0)∪(0，2)．故选B．
7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)＜0，对任意正数a，b，若a
7．答案 A 解析 设函数F(x)＝(x>0)，则F′(x)＝[]′＝．因为x>0，xf′(x)－f(x)＜0，所
以F′(x)＜0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为减函数．又0
8．答案 A 解析 令F(x)＝，则F′(x)＝<0，所以F(x)为减函数，则>．所以3f(2)>2f(3)．
9．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)
A．8<<16 B．4<<8 C．3<<4 D．2<<3
9．答案 B 解析 ∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0，∴′＝＝>0，∴y＝在(0，＋
∞)上单调递增，∴>，即>4．∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，∴′＝＝<0，∴y＝在(0，＋∞)上单调递减，∴<，即<8，综上，4<<8．
考点二 构造F(x)＝enxf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数
【方法总结】
(1)若F(x)＝enxf(x)，则F′(x)＝n·enxf(x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]；
(2)若F(x)＝，则F′(x)＝＝．
由此得到结论：
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝．
【例题选讲】
[例1](1)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝1，则不等式f(x)>的解集为 ．
答案 (0，＋∞) 解析 构造F(x)＝f(x)·e2x，∴F′(x)＝f′(x)·e2x＋f(x)·2e2x＝e2x[f′(x)＋2f(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增，且F(0)＝f(0)·e0＝1，不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1，即F(x)>F(0)，∴x>0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)．
(2)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为________．
答案 {x|x>0} 解析 令g(x)＝，则g′(x)＝＝．由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减．又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)
(3)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞e2x的解集为________．
答案 (0，＋∞) 解析 构造F(x)＝，则F′(x)＝＝，函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，则F′(x)＞0，F(x)在R上单调递增．又∵f(0)＝1，则F(0)＝1，f(x)＞e2x⇔＞1⇔F(x)＞F(0)，根据单调性得x＞0．
(4)设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式ex－1f(x)
(5)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1－f′(x)，f(0)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex－1(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案 A 解析 设g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex．由已知f(x)>1－f′(x)，可得g′(x)>0在R上恒成立，即g(x)是R上的增函数．因为f(0)＝0，所以g(0)＝－1，则不等式exf(x)>ex－1可化为g(x)>g(0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．
(6)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 021为奇函数，则不等式f(x)＋2 021ex<0的解集是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C． D．
答案 B 解析 设h(x)＝，则h′(x)＝<0，所以h(x)是定义在R上的减函数．因为f(x)＋2
021为奇函数，所以f(0)＝－2 021，h(0)＝－2 021．因为f(x)＋2 021ex<0，所以<－2 021，即h(x)
(7)已知定义在R上的偶函数f(x)(函数f(x)的导函数为f′(x))满足f ＋f(x＋1)＝0，e3f(2 021)＝1，若f(x)>f′(－x)，则关于x的不等式f(x＋2)>的解集为( )
A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 B 解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)，f′(x)＝′＝－f′(－x)，∴f′(－x)＝－f′(x)，f(x)>f′(
－x)＝－f′(x)，即f(x)＋f′(x)>0，设g(x)＝exf(x)，则′＝ex>0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，由f ＋f(x＋1)＝0，得f(x)＋f ＝0，f ＋f＝0，相减可得f(x)＝f，f(x)的周期为3，∴e3f＝e3f(2)＝1，g(2)＝e2f(2)＝，f(x＋2)>，结合f(x)的周期为3可化为ex－1f(x－1)>＝e2f(2)，g(x－1)>g(2)，x－1>2，x>3，∴不等式的解集为，故选B．
(8)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)－f′(x)＞0，则( )
A．ef(2 021)＞f(2 022) B．ef(2 021)＜f(2 022)
C．ef(2 021)＝f(2 022) D．ef(2 021)与f(2 022)大小不能确定
答案 A 解析 令g(x)＝，则g′(x)＝＝，因为f(x)－f′(x)＞0，所以g′(x)＜0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2 021)＞g(2 022)，即＞，所以ef(2 021)＞f(2 022)，故选A．
(9)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)
C．f(2)>e2f(0)，f(2 021)
A．f(1)＜f(0) B．f(2)＞e2f(0) C．f(3)＞e3f(0) D．f(4)＜e4f(0)
答案 C 解析 构造F(x)＝，则F′(x)＝＝，导函数f′(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，则x＞1时F′(x)＞0，F(x)在[1，＋∞)上单调递增．当x＜1时F′(x)＜0，F(x)在(－∞，1]上单调递减．又由f(2－x)＝f(x)e2－2x⇔F(2－x)＝F(x)⇒F(x)关于x＝1对称，从而F(3)＞F(0)即＞，∴f(3)＞e3f(0)，故选C．
【对点训练】
1．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)
A． B．(0，＋∞) C． D．(－∞，0)
1．答案 B 解析 构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为f′(x)
2．已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数x，都有f(x)－f′(x)>0，则不等式f(x)
A．(－∞，e) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞)
2．答案 B 解析 设g(x)＝，则g′(x)＝＝．∵对任意实数x，都有f (x)－f ′(x)>
0，∴g′(x)<0，即g(x)为R上的减函数．g(1)＝＝，由不等式f (x)
( )
A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(－∞，0) D．(－1，＋∞)
3．答案 A 解析 设g(x)＝，则g′(x)＝＜0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减．因
为f(x)＞0，所以g(x)＞0，又g(－1)＝0，所以x＜－1．
4．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)>f(x)，且f(x＋3)为偶函数，f(6)＝1，则不
等式f(x)>ex的解集为( )
A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
4．答案 B 解析 因为f (x＋3)为偶函数，所以f (3－x)＝f (x＋3)，因此f (0)＝f (6)＝1．设h(x)＝，
则原不等式即h(x)>h(0)．又h′(x)＝＝，依题意f′(x)>f(x)，故h′(x)>0，因此函数h(x)在R上是增函数，所以由h(x)>h(0)，得x>0．故选B．
5．已知函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是
( )
A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．|x|x<－1，或x>1| D．{x|x<－1，或0
．由已知f(x)＋f′(x)>1，可得到g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0－1＝0，所以ex·f(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集为{x|x>0}．
6．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋1
A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
6．答案 C 解析 构造函数g(x)＝，则g′(x)＝>0，故g(x)在R上为增函数．又g(0)
＝＝3，由f(x)＋1>3ex，得>3，即g(x)>g(0)，解得x>0．故选C．
7．定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)＋f′(x)<0，则下列各式一定成立的是( )
A．e2f(2021)
7．答案 A 解析 根据题意，设g(x)＝exf(x)，其导函数g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，又由函数
f(x)与其导函数f′(x)满足f(x)＋f′(x)<0，则有g′(x)<0，则函数g(x)在R上为减函数，则有g(2021)
8．答案 A 解析 设g(x)＝，则g′(x)＝＝．由题意得g′(x)>0，所以g(x)在R
上单调递增，当x1
9．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则( )
A．3f(ln2)＜2f(ln3) B．3f(ln2)＝2f(ln3)
C．3f(ln2)＞2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定
9．答案 C 解析 令F(x)＝，则F′(x)＝，因为对∀x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0，
即F(x)在R上单调递减．又ln2＜ln3，所以F(ln2)＞F(ln3)，即＞，所以＞，即3f(ln2)＞2f(ln3)，故选C．
10．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有( )
A．e2022f(－2022)
f′(x)，并ex>0，所以g′(x)<0，故函数g(x)＝在R上单调递减，所以g(－2022)>g(0)，g(2022)
【方法总结】
(1)若F(x)＝f(x)sinx，则F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；
(2)若F(x)＝，则F′(x)＝；
(3)若F(x)＝f(x)cosx，则F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；
(4)若F(x)＝，则F′(x)＝．
由此得到结论：
(1)出现f′(x)sinx＋f(x)cosx形式，构造函数F(x)＝f(x)sinx；
(2)出现形式，构造函数F(x)＝；
(3)出现f′(x)cosx－f(x)sinx形式，构造函数F(x)＝f(x)cosx；
(4)出现形式，构造函数F(x)＝．
【例题选讲】
[例1](1)已知函数f(x)是定义在上的奇函数．当x∈[0，)时，f(x)＋f′(x)tanx>0，则不等式cosxf(x＋)＋sinxf(－x)>0的解集为( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 令g(x)＝f(x)sinx，则g′(x)＝f(x)cosx＋f′(x)sinx＝[f(x)＋f′(x)tanx]cosx，当x∈[0，)时，f(x)＋f′(x)tanx>0，cosx>0，∴g′(x)>0，即函数g(x)单调递增．又g(0)＝0，∴x∈[0，)时，g(x)＝f(x)sinx≥0．∵f(x)是定义在上的奇函数，∴g(x)是定义在上的偶函数．不等式cosxf(x＋)＋sinxf(－x)>0，即sin·f>sinx·f(x)，即g>g(x)，∴|x＋|>|x|，∴x>－ ①，又－
A．f ＞f B．f(1)＜2f sin 1 C．f ＞f D．f ＜f
答案 D 解析 f(x)＜f′(x)tan x⇔f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，令F(x)＝，则F′(x)＝＞0，即函数F(x)在上是增函数，∴F ＜F ，即＜，∴f ＜f ，故选D．
(4)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是( )
A． f
(5)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cosxf′(x)＋sinxf(x)<0成立，则( )
A．f ＞f B．f ＞f C．f ＞f D．f ＞f
答案 CD 解析 设g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x∈时，cosxf′(x)＋sinxf(x)<0，所以当x∈时，g′(x)＝<0，因此g(x)在上单调递减，所以g >g ，g >g ，即>⇒f >f ，>⇒f >f ．故选CD．
(6)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)·cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是( )
A．f ＜f B．f ＞f C．f ＞f D．f ＞f
答案 B 解析 设g(x)＝，则g′(x)＝＝，x∈．令g′(x)＝0得x＝，当x∈时g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，当x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增．∵＜＜＜＜，∴g ＜g ＜g ，即＞＞，化简得f ＞f ，f ＞f ，f ＞f ，故选B．
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