中考数学二轮精品专题复习 专题10 含参函数的极值、最值讨论(解析版)

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专题10　含参函数的极值、最值讨论
考点一　含参函数的极值
【例题选讲】
[例1]　设a＞0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)．
(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．
(2)求函数f(x)的极值．
解析　(1)由已知，得f′(x)＝x－(a＋1)＋(x＞0)，又由题意可知y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，
所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋＝1，解得a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2．
(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝(x＞0)．
①当0＜a＜1时，若x∈(0，a)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(a，1)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－a2＋aln a，极小值是f(1)＝－．
②当a＝1时，f′(x)＝≥0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，
此时f(x)没有极值点，故无极值．
③当a＞1时，若x∈(0，1)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若x∈(1，a)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，
函数f(x)的极大值是f(1)＝－，极小值是f(a)＝－a2＋aln a．
综上，当0＜a＜1时，f(x)的极大值是－a2＋aln a，极小值是－；当a＝1时，f(x)没有极值；当a＞1时f(x)的极大值是－，极小值是－a2＋aln a．
[例2]　已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
解析　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

ln 2－1

故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝．
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝．
[例3]　设f(x)＝xlnx－ax2＋(3a－1)x．
(1)若g(x)＝f′(x)在[1，2]上单调，求a的取值范围；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
解析　(1)由f′(x)＝lnx－3ax＋3a，即g(x)＝ln x－3ax＋3a，x∈(0，＋∞)，g′(x)＝－3a，
①g(x)在[1，2]上单调递增，∴－3a≥0对x∈[1，2]恒成立，即a≤对x∈[1，2]恒成立，得a≤；
②g(x)在[1，2]上单调递减，∴－3a≤0对x∈[1，2]恒成立，即a≥对x∈[1，2]恒成立，得a≥，
由①②可得a的取值范围为∪．
(2)由(1)知，①当a≤0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴x∈(0，1)时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意；
②当0时，0