中考数学二轮精品专题复习 专题12 导数中隐零点的应用(原卷版)

专题12　导数中隐零点的应用

【方法总结】

利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法用显性的代数表达的(f′(x)＝0是超越形式)，称之为“隐零点”．对于隐零点问题，常常涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．

用隐零点处理问题时，先证明函数f(x)在某区上单调，然后用零点存在性定理说明只有一个零点．此时设出零点x0，则f′(x)＝0的根为x0，即有f′(x0)＝0．注意确定x0的合适范围，如果含参x0的范围往往和参数a的范围有关．这时就可以把超越式用代数式表示，同时根据x0的范围可进行适当的放缩．从而问题得以解决．基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算．用隐零点可解决导数压轴题中的不等式证明、恒成立能成立等问题．

隐零点问题求解三步曲

(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．

(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．

(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．

注意：

确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到等等．至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围．进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键．最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现．

考点一　不等式证明中的“隐零点”

【例题选讲】

[例1]　(2015全国Ⅱ)设函数f(x)＝e2x－alnx．

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数；

(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln．

[例2]　(2013全国Ⅱ)设函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)若x＝0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，求证：f(x)＞0．

[例3]　已知函数f(x)＝xex－a(x＋lnx)．

(1)讨论f(x)极值点的个数；

(2)若x0是f(x)的一个极小值点，且f(x0)>0，证明：f(x0)>2(x0－x)．

[例4]　已知函数f(x)＝aex＋sinx＋x，x∈[0，π]．

(1)证明：当a＝－1时，函数f(x)有唯一的极大值点；

(2)当－2<a<0时，证明：f(x)<π．

【对点训练】

1．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0．

(1)求a，b的值；

(2)求证函数f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－．

2．已知函数f(x)＝ex－t－lnx．

(1)若x＝1是f(x)的极值点，求t的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)当t≤2时，证明：f(x)>0．

3．已知函数f＝aex－2x，a∈R．

(1)求函数f的极值；

(2)当a≥1时，证明：f－lnx＋2x>2．

4．已知函数f(x)＝＋bxlnx，其中a，b∈R．

(1)若函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝x＋e，求a，b的值；

(2)当b>1时，f(x)≥1对任意x∈恒成立，证明：a>．

5．已知函数f(x)＝ex＋a－lnx(其中e＝2.718 28…，是自然对数的底数)．

(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；

(2)求证：当a>1－时，f(x)>e＋1．

考点二　不等式恒成立与存在性中的“隐零点”

【例题选讲】

[例1]　已知函数f(x)＝ax＋xlnx(a∈R)．

(1)若函数f(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；

(2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)<f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k的最大值．

[例2]　(2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

[例3]　已知函数f(x)＝lnx－kx(k∈R)，g(x)＝x(ex－2)．

(1)若f(x)有唯一零点，求k的取值范围；

(2)若g(x)－f(x)≥1恒成立，求k的取值范围．

[例4]　已知f(x)＝asinx，g(x)＝lnx，其中a∈R，y＝g－1(x)是y＝g(x)的反函数．

(1)若0<a≤1，证明：函数G(x)＝f(1－x)＋g(x)在区间(0，1)上是增函数；

(2)设F(x)＝g－1(x)－mx2－2(x＋1)＋b，若对任意的x>0，m<0有F(x)>0恒成立，求满足条件的最小整数b的值．

[例5]　已知函数f(x)＝－2(x＋a)lnx＋x2－2ax－2a2＋a，其中a>0．

(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．

【对点训练】

1．已知函数f＝xlnx．

(1)求曲线y＝f在点处的切线方程；

(2)若当x>1时，f＋x>k恒成立，求正整数k的最大值．

2．(2012全国Ⅱ)设函数f(x)＝ex－ax－2．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

3．已知函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝2时，设函数g(x)＝f(x)＋lnx－x－b，b∈Z，若g(x)≤0对任意的x∈恒成立，求b的最小值．

4．已知函数f(x)＝x－lnx－．

(1)求f(x)的最大值；

(2)若f(x)＋ex－bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．

5．设函数f(x)＝ex＋ax，a∈R．

(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)均有2f(x)＋3≥x2＋a2，求a的取值范围．