中考数学二轮精品专题复习 专题16 导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题(原卷版)

专题16　导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题

在函数的综合问题中，常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．

六大经典超越函数的图象

考点一　x与lnx的组合函数问题

(1)熟悉函数f(x)＝h(x)lnx(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．

(2)熟悉函数f(x)＝(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．

【例题选讲】

[例1]　设函数f(x)＝xlnx－＋a－x(a∈R)．

(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；

(2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当x＞2时不等式k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求k的最大值．

【对点训练】

1．若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a<b<c　　　　　B．c<b<a　　　　　C．c<a<b　　　　　D．b<a<c

2．已知a>b>0，ab＝ba，有如下四个结论：(1)b<e；(2)b>e；(3)存在a，b满足a·b<e2；(4)存在a，b满足

a·b>e2，则正确结论的序号是(　　)

A．(1)(3)　　　　　　B．(2)(3)　　　　　　C．(1)(4)　　　　　　D．(2)(4)

3．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)

A．2x<3y<5z　　　　　B．5z<2x<3y　　　　　C．3y<5z<2x　　　　　D．3y<2x<5z

4．下列四个命题：①ln 5<ln 2；②ln π>；③<11；④3eln 2>4．其中真命题的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4

5．已知函数f(x)＝kx2－ln x，若f(x)>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是(　　)

A．　　　　B．　　　　　C．　　　　D．

6．已知0<x1<x2<1，则(　　)

A．>　　　　B．<　　　　C．x2ln x1>x1ln x2　　　　　　　　D．x2ln x1<x1ln x2

7．已知函数f(x)＝ax－，a∈R．

(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；

(2)若y＝f(x)的图象与直线y＝a相切，求a的值．

8．已知函数f(x)＝x3－alnx(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数y＝f(x)在区间(1，e]上存在两个不同零点，求实数a的取值范围．

考点二　x与ex的组合函数问题

(1)熟悉函数f(x)＝h(x)eg(x)(g(x)为一次函数，h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．

(2)熟悉函数f(x)＝(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．

【例题选讲】

[例1]　已知函数f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)·ex，a∈R．

(1)求证：存在唯一实数a，使得直线y＝f(x)和曲线y＝g(x)相切；

(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围．

考点三　x与ex，ln x的组合函数问题

(1)熟悉函数f(x)＝h(x)lnx±ex(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图形特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象“有形可寻”．

(2)熟悉函数f(x)＝±ln x(其中h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不同时为0))的图形特征，做到对图(5)(6)所示的两个特殊函数的图象“有形可寻”．

命题点1　分离参数，设而不求

【例题选讲】

[例1]　已知函数f(x)＝ln x＋，g(x)＝(e＝2．718 28……为自然对数的底数)，是否存在整数m，使得对任意的x∈，都有y＝f(x)的图象在y＝g(x)的图象下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由．

命题点2　分离ln x与ex

[例2]　已知函数f(x)＝ax2－xln x．

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x)<xex＋．

【对点训练】

1．已知函数f(x)＝lnx＋(a>0)．

(1)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；

(2)证明：当a≥时，lnx＋－e－x>0．