中考数学二轮精品专题复习 专题13 导数中对数单身狗指数找基友的应用(原卷版)

专题13　导数中对数单身狗指数找基友的应用

导数在高考中占据了及其重要的地位，导数是研究函数的一个重要的工具，在判断函数的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数．而这类问题都有一条经验性规则：对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手．

考点一　对数单身狗

【方法总结】

在证明或处理含对数函数的不等式时，如f(x)为可导函数，则有(f(x)lnx)′＝f′(x)lnx＋，若f(x)为非常数函数，求导式子中含有lnx，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”．

1．设f(x)>0，f(x)lnx＋g(x)>0lnx＋>0，则(lnx＋)′＝＋()′，不含超越函数，求解过程简单．或者f(x)lnx＋g(x)>0f(x)(lnx＋)>0，即将前面部分提出，就留下lnx这个单身狗，然后研究剩余部分．

2．设f(x)≠0，f(x)lnx＋g(x)＝0lnx＋＝0，则(lnx＋)′＝＋()′，不含超越函数，求解过程简单．或者f(x)lnx＋g(x)＝0f(x)(lnx＋)＝0，即将前面部分提出，就留下lnx这个单身狗，然后研究剩余部分．

【例题选讲】

[例1] (2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．

(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．

[例2]已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．

(1)求a，b的值；

(2)证明：当x＞0，且x≠1时，f(x)＞．

【对点精练】

1．若不等式xln x≥a(x－1)对所x≥1有都成立，求实数a的取值范围．

2．(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0．

(1)求a；

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2．

3．(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x．

(1)若a＝0，证明：当－1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0；

(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a．

考点二　指数找基友

【方法总结】

在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找基友”．

1．由ex＋f(x)>01＋>0，则(1＋)′＝是一个多项式函数，变形后可大大简化运算．

2．由ex＋f(x)＝01＋＝0，则(1＋)′＝是一个多项式函数，变形后可大大简化运算．

【例题选讲】

[例3] (2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2．

(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a．

[例4](2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x．

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．

【对点精练】

1．已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

2．已知函数f(x)＝e－x＋ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的最值；

(2)若a＝0，求证：f(x)>－x2＋．

3．已知函数f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)·ex，a∈R．

(1)求证：存在唯一实数a，使得直线y＝f(x)和曲线y＝g(x)相切；

(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围．

考点三　指对在一起，常常要分手

【方法总结】

设f(x)为可导函数，则有(exlnx－f(x))′＝exlnx＋－f′(x)，若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，lnx，针对此类型，可以采用作商的方法，构造＝lnx－，从而达到简化证明和求极值、最值的目的，exlnx腻在一起，常常会分手．

【例题选讲】

[例5] (2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2．

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)＞1．

[例6]已知函数f(x)＝＋a ln x，g(x)＝．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)证明：a＝1时，f(x)＋g(x)－ln x＞e．

【对点精练】

1．设函数f(x)＝，求证：当x＞1时，不等式＞．

2．已知f(x)＝ex－alnx－a，其中常数a>0．

(1)当a>e时，求函数f(x)的极值；

(2)求证：e2x－2－ex－1lnx－x≥0．

3．已知函数f(x)＝＋alnx，g(x)＝．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)证明：a＝1时，f(x)＋g(x)－lnx＞e．