中考数学二轮精品专题复习 专题30　单变量恒成立之同构或放缩后参变分离（解析版)

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专题30　单变量恒成立之同构或放缩后参变分离 【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，则a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则a≤g(x)min．利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取值范围．【例题选讲】[例1]　(2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．解析　(1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，∴f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1．∵f(1)＝e＋1，∴切点坐标为(1，1＋e)，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e－1＝(e－1)·(x－1)，即y＝(e－1)x＋2，∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，，∴所求三角形面积为×2×＝．(2)解法一　(同构后参变分离)f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝eln a＋x－1－lnx＋lna≥1等价于eln a＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝eln x＋lnx，令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx)，显然g(x)为单调递增函数，∴又等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1，令h(x)＝lnx－x＋1，则h′(x)＝－1＝，在(0，1)上h′(x)>0，h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h′(x)<0，h(x)单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝0，ln a≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．解法二　(最值分析法＋隐零点法)∵f(x)＝aex－1－ln x＋lna，∴f′(x)＝aex－1－，且a>0．设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝aex－1＋>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a＝1时，f′(1)＝0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立；当a>1时，<1，∴<1，∴f′f′(1)＝，∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)＝aex0－1－＝0，且当x∈(0，x0)时f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时f′(x)>0，∴ae x0－1＝，∴lna＋x0－1＝－lnx0，因此f(x)min＝f(x0)＝ae x0－1－lnx0＋lna＝＋lna＋x0－1＋lna≥2lna－1＋2＝2lna＋1>1，∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；当0<a<1时，f(1)＝a＋lna<a<1，∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立．综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)．[例2]　已知函数f(x)＝x－alnx．(1)若曲线y＝f(x)＋b(a，b∈R)在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0，求a，b的值；(2)求函数g(x)＝f(x)＋(a∈R)的极值点；(3)设h(x)＝f(x)＋aex－＋ln a(a>0)，若当x>a时，不等式h(x)≥0恒成立，求a的最小值．解析　(1)由f(x)＝x－aln x，得y＝x－aln x＋b，∴y′＝f′(x)＝1－．由已知可得即∴a＝2，b＝1．(2)g(x)＝f(x)＋＝x－aln x＋，∴g′(x)＝1－－＝(x>0)，当a＋1≤0，即a≤－1时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，无极值点．当a＋1>0，即a>－1时，则有，当0<x<a＋1时，g′(x)<0，当x>a＋1时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，a＋1)上为减函数，在(a＋1，＋∞)上为增函数，∴x＝a＋1是g(x)的极小值点，无极大值点．综上可知，当a≤－1时，函数g(x)无极值点，当a>－1时，函数g(x)的极小值点是a＋1，无极大值点．(3)　(同构后参变分离)h(x)＝f(x)＋aex－＋ln a＝aex－ln x＋lna(a>0)，由题意知，当x>a时，aex－ln x＋lna≥0恒成立，又不等式aex－ln x＋ln a≥0等价于aex≥ln，即ex≥ln，即xex≥ln．①①式等价于xex≥ln·eln，由x>a>0知，>1，ln>0．令φ(x)＝xex(x>0)，则原不等式即为φ(x)≥φ，又φ(x)＝xex(x>0)在(0，＋∞)上为增函数，∴原不等式等价于x≥ln ，②又②式等价于ex≥，即a≥(x>a>0)，设F(x)＝(x>0)，则F′(x)＝，∴F(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，又x>a>0，∴当0<a<1时，F(x)在(a，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．∴F(x)≤F(1)＝．要使原不等式恒成立，须使≤a<1，当a≥1时，F(x)在(a，＋∞)上为减函数，F(x)<F(1)＝．要使原不等式恒成立，须使a≥，∴当a≥1时，原不等式恒成立．综上可知，a的取值范围是[，＋∞)，a的最小值为．[例3]　已知实数a∈R，设函数f(x)＝lnx－ax＋1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥＋1恒成立，求实数a的取值范围．解析　(1)由题意得定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝．当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，所以当时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．(2)因为x>0，所以f(x)≥＋1恒成立等价于xln x≥a恒成立．设h(x)＝ln x－，则h′(x)＝－＝，所以函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0．即ln x≥1－，所以xln x≥x＝x－1恒成立，问题等价于x－1－a≥0恒成立，分离参数得a≤恒成立．设t＝∈(1，＋∞)，函数g(t)＝，则g′(t)＝1＋>0，所以函数g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)＝－1，所以a≤－1，故实数a的取值范围为(－∞，－1]．【对点精练】1．已知函数f(x)＝eax－x．(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)≥eaxln x－ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围．1．解析　(1)f′(x)＝aeax－1，则f′(0)＝a－1＝1，即a＝2．∴f′(x)＝2e2x－1，令f′(x)＝0，得x＝－．当x<－时，f′(x)<0；当x>－时，f′(x)>0．故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)(同构后参变分离)　由f(x)≥eaxln x－ax2，即ax2－x≥eax(ln x－1)，有≥，故仅需≥即可．设函数g(x)＝，则≥等价于g(eax)≥g(x)．∵g′(x)＝，∴当x∈(0，e]时，g′(x)>0，则g(x)在(0，e]上单调递增，∴当x∈(0，e]时，g(eax)≥g(x)等价于eax≥x，即a≥恒成立．设函数h(x)＝，x∈(0，e]，则h′(x)＝≥0，即h(x)在(0，e]上单调递增，∴h(x)max＝h(e)＝，则a≥即可，∴a的取值范围为．2．已知函数f(x)＝1＋aexlnx．(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(x)≥ex(xa－x)(a<0)，对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．2．解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，f′(x)＝ex，令g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴当x＝1时，g(x)取得极小值即最小值g(1)＝1，∴f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)(同构后参变分离)　不等式f(x)≥ex(xa－x)⇔e－x＋x≥xa－aln x⇔e－x－ln e－x≥xa－ln xa，设k(t)＝t－ln t，即k(e－x)≥k(xa)，(*)∵k′(t)＝1－＝，∴当t∈(0，1)时，k′(t)<0，k(t)在(0，1)上单调递减；当t∈(1，＋∞)时，k′(t)>0，k(t)在(1，＋∞)上单调递增，∵x∈(1，＋∞)，0<e－x<e－1<1，当a<0时，0<xa<1，且k(t)在(0，1)上单调递减，则(*)式⇔e－x≤xa⇒－a≤，令h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝，当x∈(1，e)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(e)＝e，则－a≤e，∴a≥－e，又a<0，∴a的取值范围是[－e，0)．3．已知函数f(x)＝e－x－ax，g(x)＝ln(x＋m)＋ax＋1．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意的x∈(－m，＋∞)，恒有f(－x)≥g(x)成立，求实数m的取值范围．3．解析　(1)当a＝－1时，f(x)＝e－x＋x，则f′(x)＝－＋1．令f′(x)＝0，得x＝0．当x＜0时，f′(x)＜0，当x＞0时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．∴当x＝0时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝1．(2)由(1)得ex≥x＋1恒成立．f(－x)≥g(x)⇔ex＋ax≥ln(x＋m)＋ax＋1⇔ex≥ln(x＋m)＋1．故x＋1≥ln(x＋m)＋1，即m≤ex－x在(－m，＋∞)上恒成立．当m＞0时，在(－m，＋∞)上，ex－x≥1，得0＜m≤1；当m≤0时，在 (－m，＋∞)上，ex－x＞1，m≤ex－x恒成立．于是m≤1．∴实数m的取值范围为(－∞，1]．