中考数学二轮精品专题复习 专题31　单变量恒成立之最值分析法(原卷版)

专题31　单变量恒成立之最值分析法

【方法总结】

单变量恒成立之最值分析法

遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．

【例题选讲】

[例1]　已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

[例2]　已知函数f(x)＝xlnx－ax＋1(a∈R)．

(1)讨论f(x)在(1，＋∞)上的零点个数；

(2)当a>1时，若存在x∈(1，＋∞)，使得f(x)<(e－1)·(a－3)，求实数a的取值范围．

[例3]　已知函数f (x)＝alnx＋xb(a≠0)．

(1)当b＝2时，讨论函数f (x)的单调性；

(2)当a＋b＝0，b>0时，对任意的x∈，恒有f(x)≤e－1成立，求实数b的取值范围．

[例4]　已知a∈R，设函数f(x)＝aln(x＋a)＋lnx．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)≤＋ln－1恒成立，求实数a的取值范围．

[例5]　(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x－1－aln x．

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)设m为整数，且对于任意正整数n，·…·＜m，求m的最小值．

[例6]　已知函数f(x)＝xlnx－a(x－1)2－x＋1(a∈R)．

(1)当a＝0时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)<0对x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．

[例7]　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x．

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．

[例8]　(2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

[例9]　已知函数f(x)＝alnx－ex．

(1)讨论f(x)的极值点的个数；

(2)若a∈N*，且f(x)<0恒成立，求a的最大值．

参考数据：

【对点训练】

1．函数f(x)＝x2－2ax＋ln x(a∈R).

(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值；

(2)若不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

2．已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．

(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

3．已知函数f(x)＝ex－a．

(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；

(2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整数a的最大值．

4．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x－lnx，g(x)＝x2＋x＋2a＋1．

(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[1，e]时，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

5．已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)．

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

6．已知函数f(x)＝eax－ax－1.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设m为整数，且对于任意正整数n(n≥2)．若恒成立，求m的最小值．

7．已知函数f(x)＝xln x－ax＋1(a∈R)．

(1)讨论f(x)在(1，＋∞)上的零点个数；

(2)当a>1时，若存在x∈(1，＋∞)，使得f(x)<(e－1)·(a－3)，求实数a的取值范围．

8．已知函数f(x)＝ex－1－ax＋lnx(a∈R)．

(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值；

(2)若不等式f(x)≥lnx－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．

9．已知正实数a，设函数f(x)＝x2－a2xln x．

(1)若a＝，求实数f(x)在[1，e]的值域；

(2)对任意实数x∈均有f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．

10．设函数f(x)＝x－，g(x)＝t ln x(t∈R)．

(1)讨论函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调区间；

(2)若当x∈(0，1)时，f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的下方，求正实数t的取值范围．

11．已知函数f(x)＝lnx＋x＋1，g(x)＝x2＋2x．

(1)求函数φ(x)＝f(x)－g(x)的极值；

(2)若m为整数，对任意的x＞0都有f(x)－mg(x)≤0成立，求实数m的最小值．

12．设函数f(x)＝2xlnx－2ax2(a∈R)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≤－lnx－1(f′(x)为f(x)的导函数)在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．