吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

数学试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（    ）

A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 一个水平放置的三角形ABC的直观图是边长为2的等边三角形，则的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，，则 B. 若，，则

C. 若，，，则 D. 若，，，则

5. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

A.  B.

C.  D.

6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-D1C1-C大小等于（　　）

A.  B.  C.  D.

7. 设为三角形三边长，，若，则三角形的形状为（     ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

8. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

A. 56 B. 60 C. 140 D. 120

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列关于复数z的说法正确的是（    ）

A.

B. 若，则z的虚部为i

C.

D. 在复平面内满足的点的集合表示图形的面积为

10. 已知正方体的棱长为2，以中点为球心作半径为R的球，若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，则球的半径可以是（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

11. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则锐角三角形

B. 若，则

C. 若，则为锐角三角形

D. 在中，若，，，则

12. 在平面凸四边形中，，，，现沿对角线折起，使点到达点，设二面角的平面角为，若，当则三棱锥的外接球的表面积可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 向量，，则___________.

14. 设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为______．

15. 已知是方程的一个根，则_______．

16. 如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为的球面上，记为的外接圆半径.若该正四棱锥和长方体体积相等，则___________.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知．

（1）求角B；

（2）若，且，求的周长．

18. 如图，长方体的体积是24，E为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分．

（1）若，求多面体的表面积；

（2）求三棱锥的体积．

19. 为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（Ⅰ）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；

（Ⅱ）估计这名同学周末学习时间的分位数；

（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．

20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）若，求cosB的值；

（2）是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.

21. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；

（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．

（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：

①；

②．

22. 在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形的外接圆半径为．

（1）求C的大小；

（2）若的面积为，求的值；

（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．

1-8 CDAD  BBBC    9 ACD    10 AD    11 BC    12 BCD

13    14 1533   16

17（1）   

（2）

详解

1

由题意，

即，

因为，所以，，

所以；

2

由题意，则，

由余弦定理，

即，得，

所以三角形的周长.

18（1）；（2）

【详解】（1）因为长方体的体积是24，E为的中点，，

所以，则，所以，

因此，，，

因此，

所以多面体表面积为

；

（2）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，所以平面；

由（1）可得三棱锥的体积.

19（Ⅰ）9；（Ⅱ）8.75；（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性.

【详解】（Ⅰ）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为  

则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．              

（Ⅱ）学习时间在小时以下的频率为，

学习时间在小时以下的频率为，

所以分位数在，

，

则这名同学周末学习时间的分位数为．

（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．

20（1）；   

（2）不存在，理由见解析．

详解

因为，所以，因为，

所以由正弦定理得，所以，

所以由余弦定理得.

假设为直角，则，，由题意根据正弦定理可得，，即，

上式两边平方得：，

所以，由于，

所以，，与矛盾，

故不存在满足B为直角.

21（1）0.06  60人；（2）；（3）详见解析.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，

身高在及以上的学生人数（人）．

（2）的人数占比为％，

的人数占比为％，

所以该校100名生学身高的75％分位数落在，

设该校100名生学身高的75％分位数为，

则％，解得，

故该校100名生学身高的75％分位数为．

（3）由题得①；②

又

同理，

∴

22【答案】（1）；   

（2）；   

（3）﹒

详解

在中，，

即，

由余弦定理得，，

即，

即，

即，

中，，则，

又∵，∴；

，

由正弦定理得，∴，

则

，

由余弦定理得，

∴＝；

【小问3详解】

∵，

∴，

sinAsinB≠0，上式两边同时除以2sinAsinB得，

两边同时乘以：，

∴①，

如图，

∵O是△ABC的外心，∴，

∴，

同理，，

代入①式得，

由正弦定理，得，，

代入化简得，

∴．