河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试文科数学试题（Word版含答案）

河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试

文科数学试卷

满分150分，时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

一、单选题（每小题5分，共60分）

1.若z＝1＋i，则＝（   ）

A. 2             B. －2            C. 2i          D. －2i

2．设命题p：，q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件 

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

3.设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（　　） 

A．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m；    B．②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β；          D．若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.

4．已知，，，则（    ）

A． B．1 C． D．

5. 若，满足约束条件，则目标函数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．在正六边形ABCDEF中，点P为CE上的任意一点，若，则（    ）

A．2      B．        C．3       D．不确定

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(　　)

A.6　       B.6　　  　C.4　　       D.4

8. 函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（   ）

A．向右平移个单位长度      

B．向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度      

D．向右平移个单位长度

9. 在中，，则的形状是（   ）

A．等腰直角三角形   B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

10．已知，，，则（    ）

A．        B．           C．       D．

11．数列中，，，若不等式对所有的正奇数恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，，若，，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量，若，则______.

14．若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为________．

15．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为______.

16．如图所示，点D在线段AB上，∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．给出下列三组条件（已知线段的长度）：①AC，BC；②AD，DB；③CD，DB．其中，使△ABC唯一确定的条件的所有序号为____．

三、解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. （12分）某网站推出了关于地铁开通给太原市民生活带来便利情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示．

(Ⅰ)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率．

18．（12分）在中，它的内角的对边分别为，且，．

(Ⅰ)若，求的面积；

(Ⅱ)试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．

19．（12分）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，点为上一点，且，，．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求点到平面的距离．

20．（12分）如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于，两点（点在点的左侧），且．

(Ⅰ)求圆的方程；

(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于，两点，连接，，求证：为定值．

21．（12分）已知函数．

(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时，若的极大值点为，求证：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(Ⅱ)设直线交曲线于两点，求面积的最大值．

23.（10分）选修4-5：不等式选讲

已知，．

(Ⅰ)当时，解不等式；

(Ⅱ)若的最小值为1，求的最小值．

文科数学答案

1-5   DBCDC   6-10   CBDDB    11-12   AA

13．      14. 或     15.      16.②③

17. 【解答】

解：（1）由，得．…………………2 分

平均数为；岁；………………4分

设中位数为，则，岁．…… 6分

（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，

从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，

则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，………………………………………   8分

分别记为，，，，．

设从5人中随机抽取3人，为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10个基本事件，

…………………………………………   10分

第2组中抽到2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6种情况…………………………………………  11分

从而第2组中抽到2人的概率．…………………………………………  12分

18．【解答】

解：（Ⅰ）由，可得，

所以，即，………   2分

又因为，所以，………………………………………  3分

因为，

所以，………………………………………………………  4分

所以；……  6分

（Ⅱ）假设能成立，所以，………………………………………  7分

由余弦定理，，所以，所以，

故，解得或（舍，……………………………………10分此时，不满足，……………………………………………  11分

所以假设不成立，故不成立．………………………………………………  12分

19．【解答】

（1）证明：因为四棱柱为直四棱柱，所以，

所以平面.…………………………………………………………………  2分

又，所以点为的中点，

又且，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

所以平面.…………………………………………………………………  4分

又在平面中，，

由面面平行的判定定理可知，平面平面，……………………  5分

又平面，所以平面；………………………………………… 6分

（2）解：由（1）可知，为的中点，

在梯形中，，

所以为等边三角形，所以，

又，所以，

所以的面积，

则，…………………………………………… 8分

在中，，

在中，由余弦定理可得，

所以的面积为，…………………… 9分

设点到平面的距离为，由等体积法有，

则有，即，解得，

故所求点到平面的距离为．……………………………………………12分

20．【解答】

解：（Ⅰ）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，，

则圆的半径为；又，………………………………………………………1分

所以，解得；……………………………………………………3分

所以圆的方程为；………………………………………………4分

（Ⅱ）证明：由（1）知，，，

当直线的斜率为0时，易知，即；…………………6分

当直线的斜率不为0时，设直线，将代入，

整理得；…………………………………………………………8分

设，，，，所以，………………………………9分

则；综上，可得．…………………………………………………………12分

21．【解答】

解：（1）当时，函数，．

，………………………………………2分

可得函数在上单调递增，在上单调递减．

因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为．……………………4分

（2）证明：当时，．

令，△，………………………………………………………5分

由△，解得，则，函数在上单调递增，无极值，不满足题意，舍去．……………………………………………………………………………6分

由△，，解得，设方程的两个实数根分别为，，．

则，．则，．则，

可得函数在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．…………………………………………………………………………………………8分

可得的极大值点为，，

令，，．，

函数在上单调递增，在，上单调递减．……………………………10分

．…………………………………11分

．………………………………………………………………………12分

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．【解答】

解：（1）由参数），消去参数，可得，

直线的普通方程为．……………………………………2分

由得，，

将，代入，得，

曲线的直角坐标方程为；………………………………………………4分

（2）根据题意，，设点，对应的参数分别为，，

将直线的参数方程代入，

得．

故，，

．……………6分

点到直线的距离．……………………………………7分

．

当且仅当，即时取等号．…………………………………9分

面积的最大值为．……………………………………………………………10分

23. 【解答】

解：（Ⅰ）当时，所求不等式即为，…………………1分

当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为；

当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为；

当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为，

综上，不等式的解集为，；…………………………………………………………5分

（Ⅱ）由于，当时等号成立，

又，，的最小值为1，

，则，………………………………………………………………7分

，

当且仅当“”时取等号，……………………………………………………7分

的最小值为．………………………………………………………10分