安徽省定远县炉桥中学2021-2022学年高二上学期10月教学质量检测数学（理）【试卷+答案】

2021-2022学年第一学期十月教学质量检测试卷

高二理科数学

请在答题卷上指定范围内作答，在试卷上作答无效！

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为

A.     B.      C.       D.

2. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在三棱锥中，底面，，，，若，是的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为

A.      B.      C.      D.

5. 如图，M，N是分别是四面体的棱，的中点，设，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

6. 若平面、的法向量分别为，，则

A.  B.
C. 、相交但不垂直 D. 以上均不正确

7. 已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是，且平面，为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为

A.  B.  C.  D.

8. 
   已知正方体的棱长为，设，，，则，等于

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知，分别为直线，的方向向量不重合，，分别为平面，的法向量不重合，则下列说法中，正确的是

A.  B.
C.  D.

10. 已知，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 平面向量，，满足，，，，则下列说法一定正确的有

A. 在上的投影向量为 B. 在上的投影向量为
C.  D.

12. 已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合，那么下列说法中，正确的有

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是______把正确的序号都填上
    ；     ；     ；     ．
14. 若，分别是平面，的法向量，且，，，则______
15. 如图所示，正方体的棱长为，以为原点，以正方体的三条棱，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，若点在正方体的侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列点的坐标，，，，中正确的是______ ．
16. 已知，且的方向向量为，平面的法向量为，，则  _____ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知是棱长为的正方体，，分别是和的中点，如图，建立空间直角坐标系，以轴、轴、轴方向上的单位向量，，作为一个基底，试写出向量，的坐标，
     

18.    如图所示，已知四面体的每条边长都为，求下列向量的数量积：
     

  ；       ．

 

19. 已知点，，向量，计算：
    求向量的单位向量；
    求，；
    ；
    求点到直线的距离．
     
20. 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形证明：平面求平面与平面所成角的余弦值；

21. 如图，边长为的正三角形的中心为，过点的直线与边，分别交于点，．
     

求证：的值为常数；
求的取值范围．

 

22. 如图，已知平面，，，，，点是的中点．
    求证：平面；
    求直线与平面所成角的大小．
    
     

答案解析

1.【答案】

【解析】解：如图，取的中点，连接，，

根据题意知，，，
则是二面角的平面角，
，且，
，且，
又，所以平面，，
又，
．
故选：．  

2.【答案】

【解析】解：．故选：．
3.【答案】

【解析】解：根据题意，平面向量，的夹角为，且，，则，
，
则有；
故选：．

4.【答案】

【解析】解：根据题意，，，
又，，，，，，
，
，
，
，
．故选：．
5.A

【详解】依题意，不共面，则可作空间的一个基底，

因M，N分别是四面体的棱，的中点，则，

又，由空间向量基本定理得：，

所以.故选：A

6.【答案】

【解析】解：，
与不垂直，
两个平面不垂直，
又与不共线，
与不平行．
、相交但不垂直，故选C．
7.【答案】

【解析】解：如图，
平面，为底面的中心，
即为侧棱与底面所成的角，
四棱锥的侧棱长与底面边长都是，
，
在中，，
．故选：．

8.【答案】

【解析】正方体的棱长为，

设，，，，
，是的补角，
，，
，．故选D． 

9.【答案】

【解析】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行或垂直的充要条件是它们的方向向量平行或垂直，故选项A，B正确；若两个平面不重合，则空间中面面平行或垂直的充要条件是它们的法向量平行或垂直，故选项C，D正确．故选：．
10.【答案】

【解析】解：由题意得：，
故，即，
解得：或，故选：．
11.【答案】

【解析】解：在的投影为，故选项A正确，
由于未知，无法求得在上的投影向量，故选项B错误，
，，例如，，，或
可知错对．故选：．
12.【答案】

【解析】解：为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合，
对于，由面面平行的性质和判定定理得：，故A正确；
对于，由面面垂直的性质和判定定理得：，故B正确；
对于，由线面垂直的性质和判定定理得，故C错误；
对于，由线面平行的性质和判定定理得，故D错误．
故选：．
13.【答案】

【解析】解：设中的点分别为，，，，
对于中的点，，，则；
对于中的点，，，则；
对于中的点，，，则；
对于中的点．，，则．
因此，中的点在平面内．故答案为：．
14.【答案】

【解析】解：由知，即，
，解得．
故答案为：．
由得出，即，列方程求出的值．
15.【答案】

【解析】解：由题意可知，，，，
设，且，
，，
，
，
即，
，，满足条件，故答案为：．
16.【答案】

【解析】由可推出，列出方程，求得．
，，，
即，解得．

17.【答案】解：因为，所以，
因为，则．

【解析】利用向量的线性运算求出，，由空间向量坐标的定义即可得到答案．
本题考查了空间向量的坐标表示，主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．

18.【答案】解：在四面体中，

因为    ，且  ，  ，所以      

因为    ，且  ，  ，所以     

【解析】本题主要考查空间向量中向量数量积的运算。公式如下：

19.【答案】解：由已知得：，则，
则．
，
则，则，
，则；
，
则．
在上的投影为，
，
点到直线的距离．
 

20.【答案】通过建系证明，得到，故平面．
二面角的余弦值为．

【解析】试题分析：证明：该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两垂直以分别为轴建立空间直角坐标系如图．

则．
，
，．
又与相交于，平面分
平面，是平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，则，
所以可取则．
所求二面角的余弦值为分
21.【答案】解：由题意，设，，
则，，
，
由、、三点共线，，
，
即的值为常数；
设，则，
在中，，，，
由正弦定理得：，
即，
，
，
在中，，
由正弦定理得：，
即，
，
，
，
，，
；
的取值范围是．

【解析】由题意设，，利用、表示出，再根据、、三点共线得出的值，即可证明的值为常数；
设，根据正弦定理用表示出，，根据的范围和三角恒等变换求出的取值范围．
22.【答案】解：证明：平面，，平面，
平面，，
，点是的中点，
，
，，平面，
平面；
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，，
，
平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的大小为．