内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测理科数学试题

2024届呼和浩特市高三年级第一次质量监测

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上．）

1．设，则z的虚部为（    ）

A． B． C．i D．1

2．设集合，集合，集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图是半径为1的四分之一个圆，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数为奇函数，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

5．设O为平面直角坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则点A落在区域内的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则（    ）

A． B． C． D．

7．将6本不同的书平均分给甲、乙两名同学，则不同的分法种数为（    ）

A．20 B．30 C．40 D．45

8．已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

9．在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

10．已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合S中所有元素的乘积为（    ）

A． B． C．0 D．

11．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ）

A． B． C．1 D．

12．已知定点，O为坐标原点，点A是圆O上的一点，且圆O的半径为1，则的最大值为（    ）

A．5 B． C． D．8

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡的相应位置．）

13．已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________．

14．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为__________．

15．已知为等差数列，，，则__________．

16．设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是__________．

三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）如下

甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；

乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；

（Ⅰ）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差；

（Ⅱ）根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好．

18．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若，的面积为6，求边长c的值．

19．（12分）如图，正四棱锥中．

（Ⅰ）求证：平面平面PBD；

（Ⅱ）若，求直线BC与平面PCD所成角的正弦值．

20．（12分）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C：的焦点．

（Ⅰ）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，求的面积；

（Ⅱ）若点T为直线上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点．

21．（12分）已知函数，其中，且．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，过函数图象对称中心C的直线与图象交于A，B两点（异于点C），分别以A，B两点为切点作的切线，记切线的斜率分别为，，若恒成立，求实数m的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（t为参数）．

（Ⅰ）写出的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与只有一个公共点，写出的直角坐标方程．

［选修4—5：不等式选讲］

23．（10分）已知．

（Ⅰ）画出的图像，并写出的最小值；

（Ⅱ）求与直线围成的封闭图形面积．

2024届呼和浩特市高三年级第一次质量监测

理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

三、解答题

17．（1）

（2）甲乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意度比较好

18．解：（1）由正弦定理可得．

由于，可得，

由，可得．

（2）由，，解得．

由余弦定理可得，解得．

19．（1）证明：设AC，BD交于点O．则，

在等腰三角形PAC中，．

且，则平面PBD，

又平面PAC，故平面平面PBD．

（2）解：（方法一）据题意，，

设h是点B到平面PCD的距离，故，因此，．

设直线BC与平面PCD所成角为，则，

即直线BC与平面PCD所成角的正弦值为．

（方法二）据题意，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面PCD的法向量为，

由，可得，．

令，则，

设直线BC与平面PCD所成角为，

则，即直线BC与平面PCD所成角的正弦值为．注：如遇其他解法，可酌情给分．

20．（1）解：据题意，直线l的方程为，设，，

由，联立可得，

故，，

因此，．

注：未经证明，直接利用二级结论得出结果，只给答案分．

（2）证明：设点，，，以M为切点的抛物线的切线方程为，

由，联立可得，

由判别式，可得，

因此，以M为切点的抛物线的切线方程为，

同理可得，以N为切点的抛物线的切线方程为，

由于这两条切线都经过点，代入可得，，

则直线MN的方程为，可得直线MN过定点．

注：未经证明，直接利用二级结论得出结论，酌情给分．

21．（1）解：由，可得，或．

当时，函数单调递减区间为，；单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，；单调递减区间为；

当时，函数单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数单调递增区间为，；单调递减区间为；

综上，如上所述．

（2）证明：令A，B两点的横坐标分别为，，由题意可知，函数，

由于函数为奇函数，所以，函数图象对称中心横坐标为0．

故，因此，，故，

令，则，可得函数在上单调递增，在上单调递减，故．

由此可得，即实数m的取值范围是．

22．解：（1）

（2）

23．解：（1）图像略，

（2）当时，