专题6.2 用样本估计总体数字特征-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题6.2 用样本估计总体数字特征

【考点1：众数、中位数、平均数】

【考点2：方差、标准差】...........................................................5

【考点3：频率分布直方图】..........................................................8

【考点4：百分位数】..............................................................13

【考点5：利用样本的数字特征解决优化决策问题】.......................................15

【考点1：众数、中位数、平均数】

【知识点：众数、中位数、平均数】

1．（2022春·江苏盐城·高一江苏省射阳中学开学考试）某篮球兴趣小组名学生参加投篮比赛，每人投个，投中的个数分别为：、、、、、、，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）

A．、 B．、 C．、 D．、

2．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（    ）

A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2

C．方差是 ，平均数是2 D．平均数是3，众数是2

3．（2022春·四川·高三统考阶段练习）某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表：

则这组数据的中位数和众数分别为（    ）A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49

4．（2021春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考开学考试）已知是这九个数据的中位数，且这五个数据的平均数为3，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高三专题练习）已知数据的平均数为，则数据的平均数为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022春·河南南阳·高一阶段练习）一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天，每天新增病例不超过7人”，根据过去10天甲､乙､丙､丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（    ）

A．甲地：平均数为3，中位数为4

B．乙地：平均数为1，方差大于0

C．丙地：中位数为2，众数为3

D．丁地：平均数为2，方差为3

7．（2021春·山东临沂·高二统考开学考试）为提高生产效率，某汽车零件加工厂的甲乙两个车间进行比赛，下表是对甲乙两个车间某天生产零件个数的统计，根据表中数据分析得出的结论正确的是（    ）

A．甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数相同

B．甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大

C．乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数（这一天生产零件个数个为优秀）

D．甲车间这一天生产零件个数的众数小于乙车间零件个数的众数

8．（2022·高一课时练习）已知，，，…，的平均数为a，则，，，…，的平均数为________．

9．（辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm，女生的平均身高是165cm，则估计该校全体学生的平均身高是______cm．

【考点2：方差、标准差】

【知识点：方差、标准差】

①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ .

②方差：标准差的平方s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．

③方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．

④若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a，方差为m2s2.

1．（辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是（    ）

A．18 B．7 C．6 D．2

2．（2022春·河南南阳·高一校考阶段练习）如果数据，， 的平均数为10，方差为8，则，，，的平均数和方差分别为（　　）

A．10、8 B．30、24 C．34、72 D．34、76

3．（2022春·河北邯郸·高三涉县第一中学校考期中）样本中共有5个个体，其中四个值分别为2，2，3，3，第五个值丢失，若该样本的平均数为3，则样本方差为（    ）

A．1 B．3 C． D．

4．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为35岁，方差为6，女职工平均年龄为30岁，方差是1，则该单位全体职工的平均年龄和方差分别是（    ）

A．32.5，3.5 B．33，7 C．33，10 D．32.5，4

5．（2022·上海普陀·统考一模）某地“小康果”大丰收，现抽取个样本，其质量分别为、、、、（单位：克）．若该样本的中位数和平均数均为，则此样本的标准差为______（用数字作答）．

6．（2022春·浙江杭州·高二学军中学校考期中）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30

(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少?

(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少?

【考点3：频率分布直方图】

【知识点：频率分布直方图】

[方法技巧]

[方法技巧]

1．（2022·浙江·模拟预测）从立德小学中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，则抽取100名学生中，身高在的人数为（    ）

A．30 B．40 C．45 D．50

2．（2022春·江西九江·高二九江一中校考期中）第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ）

A．直方图中的值为0.025

B．候选者面试成绩的中位数约为69.4

C．在被抽取的学生中，成绩在区间之间的学生有30人

D．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5分

3．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．

4．（2021春·新疆阿克苏·高二校考期末）新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如图频率分布直方图，已知评分在，的居民有2200人．

(1)求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；

(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数、中位数（精确到．

5．（2022春·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中．

(1)求、的值；

(2)求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；

(3)若按照分层抽样从，中随机抽取8人，应如何抽取？

【考点4：百分位数】

【知识点：百分位数】

（1）一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.

（2）25%, 50%, 75%分位数是三个常用的百分位数.把总体数据按照从小到大排列后, 这三个百分位数把总体数据分成了4个部分,在这4个部分取值的可能性都是.因此这三个百分位数也称为总体的四分位数.
其他常用的百分位数有1%, 5%, 10%, 90%, 95%, 99%.
（3）总体的p分位数通常是未知的,人们用样本的p分位数来估计它,样本容量越大,估计越准确.

[方法技巧]

计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:
第一步,按照从小到大排列原始数据;
第二步, 计算i=np;
第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数,
则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.

1．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是（   ）

A．82.5 B．85 C．90 D．92.5

2．（河南省（部分地市）新高考联盟2022-2023学年高一上学期12月教学质量大联考数学试题）已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则等于（    ）

A． B． C． D．

3．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照、、…、分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（    ）

A．图中的值为0.02

B．由直方图中的数据，可估计75%分位数是85

C．由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77

D．90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀

4．（2022春·北京西城·高三北京师大附中校考期末）10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的80%分位数是______.

5．（北京延庆区2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题）某单位共有20人，他们的年龄分布如下表所示．

则这20人年龄的众数是___________，75％分位数是___________．

【考点5：利用样本的数字特征解决优化决策问题】

【知识点：利用样本的数字特征解决优化决策问题】

[方法技巧]

1．（2022秋·浙江丽水·高一校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

2．（2022·高一课时练习）某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]，得到如下的频率分布直方图．

(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；

(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．

3．（2020春·陕西榆林·高二校考期中）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案1：规定每日底薪元，快递骑手每完成一单业务提成元；方案2：规定每日底薪元，快递业务的前单没有提成，从第单开始，每完成一单业务提成元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取天的数据，将样本数据分为、、、、、、七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）.