专题7.2 事件的独立性-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题7.2事件的独立性

【基础知识】

【考点1：独立事件的判断】

【考点2：独立事件的乘法公式】

【考点3：独立事件的实际应用】

【基础知识】

【知识点：事件的互相独立性】

相互独立事件概率的求法

与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：

[方法技巧]

【考点1：独立事件的判断】

【知识点：独立事件的判断】

1．（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（    ）

A．相互独立事件 B．不相互独立事件

C．互斥事件 D．对立事件

2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， 那么事件与的关系正确的是（    ）

A．A与B相互独立 B．A与B互为对立

C．A与B互斥 D．以上说法都不正确

3．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（    ）

A．与B互斥 B． C．与相互独立 D．

4．（2022·全国·高三专题练习）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（    ）

A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件

C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件

【考点2：独立事件的乘法公式】

【知识点：独立事件的乘法公式】

1．（2023·全国·高二专题练习）若，，，则事件A与事件B的关系是（    ）

A．互斥但不对立 B．独立

C．对立 D．独立且互斥

2．（2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（    ）

A．事件A与事件C互斥

B．事件B与事件C互斥

C．事件A与事件B相互独立

D．事件B与事件C相互独立

3．（2023·全国·高一专题练习）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，则（    ）

A．事件A与事件B互斥 B．

C．事件A与事件相互独立 D．

4．（2023·高一课时练习）一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色．现以、、分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问事件、、是否两两相互独立？

5．（2023秋·湖北咸宁·高二统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件，“两枚硬币朝上的面相同”为事件，则 （    ）

A． B．事件A与事件互斥

C．事件与事件对立 D．事件A与事件相互独立

6．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（    ）

A．A与B相互独立 B．A与D相互独立

C．B与C为互斥事件 D．C与D为互斥事件

【考点3：独立事件的实际应用】

【知识点：独立事件的实际应用】

1．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·高一课时练习）甲、乙两种种子的栽培成功率分别是0.7、0.6，现从两种种子中随机的各取一粒，求：

(1)两粒都栽培成功的概率；

(2)其中一粒成功，另一粒失败的概率；

(3)至少有一粒成功的概率．

4．（2023秋·湖北咸宁·高二统考期末）为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 ，乙同学晋级的概率为，甲、乙两人是否晋级互不影响.

(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；

(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.

5．（山东省威海市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．

(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；

(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．

6．（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息，赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响．

(1)估计甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率；

(2)甲乙各射出一支箭，求有人命中10环的概率；

(3)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率．

7．（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

8．（山东省威海市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．

(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；

(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．

9．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛.

(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率.

10．（2023·全国·高三专题练习）若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为，二档队伍胜三档队伍的概率为，一档队伍胜二档队伍的概率为，同档队伍之间比赛胜对方的概率为．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队．

(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；

(2)已知A1进决赛的概率约为，B1进决赛的概率约为，求一档球队夺冠的概率．