甘肃省武威第七中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）【试卷+答案】

2021-2022学年度第一学期期中质量检测试卷

高二数学（理科）

一、单选题(共60分)

1．(本题5分)为了解学生数学能力水平，某市A､B､C､D四所初中分别有200，180，100，120名初三学生参加此次数学调研考试，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：C校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析；方案②：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析.完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（    ）

A．分层抽样法､系统抽样法 B．分层抽样法､简单随机抽样法

C．系统抽样法､分层抽样法 D．简单随机抽样法､分层抽样法

2．(本题5分)下列说法正确的是（　　）

A．若a＞b，则                 B．若a＜b＜0且c＜0，则a﹣c＜b﹣c＜0

C．若a＞b＞c＞0，则         D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd

3．(本题5分)已知，则函数的最小值是（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

4．(本题5分)设x，y满足约束条件则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．(本题5分)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.7 ，P(B)=0.15，P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（    ）

A．0.35   B．0.65   C．0.7   D．0.3

6．(本题5分)已知各项均为正数的数列为等比数列，若，，则公比（    ）

A． B．1 C．2 D．4

7．(本题5分)已知，，，则､､的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

8．(本题5分)有20名学生参加数学夏令营活动，分A， B两组进行，每组10人夏令营结束时对两组学生进行了一次考核，考核成绩的茎叶图如图所示.则下列说法错误的是（    ）

A．A组学生考核成绩的众数是78

B．A，B两个组学生平均成绩一样

C．B组考核成绩的中位数是79

D．A组学生成绩更稳定

9．(本题5分)在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为

A．2 B． C．3 D．

10．(本题5分)若不等式的解集为，则的值为（   ）

A． B． C． D．

11．(本题5分)从3名男生和4名女生中任选3名学生，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A．至少有一名男生与都是男生    B．至少有一名男生与都是女生

C．恰有一名男生与恰有两名男生  D．至少有一名男生与至少有一名女生

12．(本题5分)某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如下表：

若与的线性回归方程为，预测当工作时间为小时时，工资大约为（    ）

A．元    B．元 C．元 D．元

二、填空题(共20分)

13．(本题5分)已知数列满足，，则___________.

14．(本题5分)某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.

15．(本题5分)同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是__________.

16．(本题5分)若数列的前项和为，则数列的通项公式__________．

三、解答题(共70分)

17．(本题10分)（1）已知，求的最小值；

（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．

18．(本题12分)等比数列中，已知．

（1）求数列的通项．

（2）若等差数列，求数列前项和的最大值

19．(本题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样调查，获得了某年该市100位居民的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0， 0.5)，[0.5， 1)， ……，[4， 4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中a的值;假设该市有10万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2. 5吨的人数;

（2）估计该市居民月均用水量的平均数、( 同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

20．(本题12分)设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a3＝5，S7＝49．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．

21．(本题12分)设函数．

（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；

（2）解不等式．

22．(本题12分)已知数列的前项和为，且，当时，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，设，求数列的前项和为．

高二数学理科答案

1．D

【分析】

根据不同类型的抽样的定义，即可判断选项.

【详解】

方案①中的学生都是培优生，差别不大，且人数不多，宜采用简单随机抽样，

方案②的学生比较多，且来自4所不同的学校，差别较大，宜采用分层抽样，

故选：D

2．D

【分析】

根据不等式性质逐个分析解答.

【详解】

解：当或时，；当时，，A错；

a＜b＜0且c＜0，根据不等式的性质a﹣c＜b﹣c但不一定小于0，B错误；

当时，所以，C错误；

当，，则，所以，所以，D正确；

故选：D

3．B

【分析】

根据基本不等式可求得最小值．

【详解】

∵，∴，

当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．

故选：B．

4．D

【分析】

画出可行域，由变为，平移直线，由直线在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.

【详解】

由x，y满足约束条件画出可行域，如图所示阴影部分：

将变为，平移直线，当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，

此时目标函数取得最大值，最大值为4，

故选：D

5．D

6．C

【分析】

利用等比中项可得，继而得到，则，即得解

【详解】

由，得，又各项均为正数，所以，

由，得，所以公比

故选：C

7．D

【分析】

由于均为正数，所以比较的大小即可

【详解】

解：因为，，

所以，所以，

因为，

所以，所以，

所以，

故选：D

【点睛】

此题考查代数式比较大小，利用了作差法，属于基础题

8．C

【分析】

利用茎叶图逐项求解判断.

【详解】

A. A组学生考核成绩的众数是78，故正确；

B. 因为 ，

，故正确；

C. B组考核成绩的中位数是，故错误；

D. ，

，

，

，故正确.

故选：C

9．A

【分析】

由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．

【详解】

由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，

所以或（舍），故选A

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．

10．B

【分析】

由不等式的解集得到方程的根，利用根与系数的关系列方程组求解即可.

【详解】

解：不等式的解集为，

即方程的解为

由方程的根与系数的关系可得，解得，

故选：B.

11．C

12．B

13．10

14．0.21

15．

16．

【分析】

利用可求得数列的通项公式.

【详解】

当时，；

当时，.

不满足，因此，.

故答案为：.

17．（1）7；（2）.

【分析】

（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；

（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.

【详解】

（1）∵，即，

，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值为7．

，，．

当且仅当，即，时取等号．

∴的最小值为.

18．（1）;（2）.

【分析】

（1）根据等比数列的通项公式可得，，即可得答案；

（2）等差数列前项和，再利用二次函数的性质，即可得答案；

【详解】

（1）由，得，解得，

从而；

（2）由已知得等差数列，，，

设公差为，则有，

即 ，解得.

故数列前项和，

由于二次函数的对称轴为，且对应的图象开口向下，

当或时，有最大值为.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式及等差数列前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用二次函数的性质进行求解.

19．（1），27000；（2）2.03．

【分析】

（1）由概率和为1可求得，再由频率分布直方图求得月均用水量不低于2.5吨的频率，从而可得人数；

（2）用每组数据中点值乘以频率相加可得均值．

【详解】

解：（1）由频率分布直方图可知，

，

解得．         

该市100位居民月均用水量不低于2.5吨的频率为，

由以上样本的频率分布，可以估计10万居民月均用水量不低于吨的人数为

．

（2）设平均数为吨，

故该市居民月均用水量的平均数为2.03．

20．（1）an＝2n﹣1；（2）．

【分析】

（1）利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．

（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．

【详解】

（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a1

由题意可得，

解得，

所以{an}的通项公式为an＝2n﹣1．

（2）由（1）得，

从而．

21．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．

【分析】

（1）分和两种情况讨论，若，成立，若，则可知函数为二次函数开口向下，且与轴无交点，从而可得，从而可求出的取值范围；

（2）由得，则可得，然后分，，，，情况讨论求解即可

【详解】

解（1）要使恒成立，

若，显然．

若，．

∴．

（2）由得，，

当时，原不等式为，

当时，解得或；

当时，，解得；

当时，解集为空集：

当时，，解得．

综上：当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为或；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为空集；

当时，，不等式解集为．

22．（1）；（2）

【分析】

（1）当时，，可得，两式相减即可求解；

（2）由（1）可求得，进而可得，，利用乘公比错位相减求和即可求解.

【详解】

（1）当时，，，

两式相减可得：，即，

所以，不满足，

所以数列的通项公式为；

（2）当时，由，，可得，

，满足，所以，

可得，，

，

，

两式相减可得：

，

所以.