2022-2023学年陕西省榆林市榆阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省榆林市榆阳区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  观察下列图形，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.  

2.  若，则下列各式中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在▱中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式从左到右的变形，是因式分解的为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知关于的方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，于点，于点，于点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，四边形的对角线交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

8.  如图，在▱中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：；；；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  若分式有意义，则实数的取值范围是______ ．

10.  多项式的公因式是______ ．

11.  若一个边形的每个内角都为，那么边数为______ ．

12.  “孔子周游列国”是流传很广的故事有一次他和学生到离他们住的驿站里的书院参观，学生步行出发小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为______ ．

13.  如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，且，，则的值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

14.  解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
因式分解：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，在中，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，在▱中，点、分别为、上的点，连接、，且求证：．

19.  本小题分
如图，在四边形中，、、分别是、、的中点，求证：．

20.  本小题分
已知，如图，在中，点在上，点、在上，且，，，问：是否为等腰三角形？为什么？

21.  本小题分
如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
将先向左平移个单位，再向上平移个单位得到，在图中画出；
在图中作出关于原点成中心对称的．

22.  本小题分
先化简，再从，，中选择一个适当的数代入求值．

23.  本小题分
如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、求证：
是等边三角形；
点在线段的垂直平分线上．

24.  本小题分
“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题例如：
分解因式：．
求代数式的最小值：．
，，当时，有最小值，最小值是．
根据材料用配方法解决下列问题：
分解因式：；
当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．

25.  本小题分
已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价少元，花元购进甲图书的数量与花元购进乙图书的数量相同．
求甲乙两种图书每本的进价分别是多少元？
某中学计划购进甲、乙两种图书共本，总购书费用不超过元，则至少购进甲图书多少本？

26.  本小题分
在▱中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、如图．
求证：四边形是平行四边形；
若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、如图．
当时，求的长；
求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

2.【答案】 

【解析】解：、在两边都乘上可得，，故此选项不符合题意；
B、在两边都乘上可得，，故此选项符合题意；
C、在两边都加上可得，，故此选项不符合题意；
D、根据不等式性质可知，两边同乘以时，可得，再在的两边同时加上，可得，故此选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质分析判断即可．
主要考查了不等式的性质．不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】 

【解析】解：平行四边形中对角相等，
，
故选：．
根据平行四边形的对角相等即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意．
B、是因式分解，符合题意．
C、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意．
D、，等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意．
故选：．
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：方程有增根，
，
，
，
，
，
把代入整式方程解得，
故选：．
首先最简公分母为，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，这是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，于点，
根据等腰三角形三线合一的性质，得≌，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
根据等腰三角形三线合一的性质，得≌，从而得到，根据面积公式，，变形计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和面积公式是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，故错误；
由知：是的中位线，
，
，
，故正确；
，
，故正确；
故正确的有，
故选：．
根据平行四边形的性质得，，进而可得是等边三角形，所以，，所以，可得，因为，所以，故可判断；因为，，所以，，所以，在中，，由四边形是平行四边形，可得，所以，由勾股定理得，所以，即可判断；由知：是的中位线，所以，即可得，故可判断；因为，所以，即可判断．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零．

10.【答案】 

【解析】解：系数的最大公约数是，
相同字母的最低指数次幂是，
多项式的公因式是．
找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：一个边形的每个内角都为，
它的每个外角，
多边形边数．
故答案为：．
先依据多边形的内角的度数求得外角的度数，再根据多边外角和进行求解即可．
本题考查多边形内角与外角，解题关键是熟知多边形无论边数是几，其外角和永远为．

12.【答案】 

【解析】解：设学生步行的速度为每小时里，则牛车的速度是每小时里，
学生早出发小时，孔子和学生们同时到达书院，
，
故答案为：．
根据时间距离速度，结合学生早出发小时，孔子和学生们同时到达书院列分式方程即可．
本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．

13.【答案】 

【解析】解：连接，

由旋转得：
，，
，
由旋转得：
，，
，
由旋转得：
，
，
在中，，
，
故答案为：．
连接，根据旋转的性质可得，，，，从而求出，，进而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

14.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为． 

【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点的应用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集．

15.【答案】解：

． 

【解析】先提取公因式，然后再根据平方差公式继续因式分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

16.【答案】解：方程两边都乘，得，
去括号得：，
整理，得，
检验，当时，，
则是原分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

17.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】作的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即． 

【解析】根据平行四边形的性质和判定以及等式的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和判定以及等式的性质解答．

19.【答案】证明：，是，的中点，
是的中位线，
，
同理，，
，
． 

【解析】根据三角形中位线定理得到，即可证明．
本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

20.【答案】解：是等腰三角形．
，
，
又，
，
又，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】欲证是否是等腰三角形，利用已知，，证明三角形中两内角是否相等来证是否等腰．
本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质；角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．

21.【答案】解：如图所示，
；
如图，即为所求． 

【解析】根据给出的平移方式作图即可；
找出的三个顶点关于原点成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得．
本题考查了作图平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点．

22.【答案】解：原式


，
且，
只能取，
当时，原式． 

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式，然后根据分式有意义的条件得到取，然后把代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．注意分式有意义的条件．

23.【答案】证明：在中，，，
，，
是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形；
证明：是的垂直平分线，
，，
，则，
，
平分，
，，
，
是等边三角形，
，
点在线段的垂直平分线上． 

【解析】根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形；
根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可得证．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

24.【答案】解：，
，
，
，
；



，
当时，多项式有最大值，最大值是． 

【解析】根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；
利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答．
本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键．

25.【答案】解：设甲乙两种图书每本的进价分别是元、元，
则，
，
，
检验：当时，，
是该方程的解，
，
甲乙两种图书每本的进价分别是元、元．
设购进甲图书本，，，
至少购进甲图书本． 

【解析】设甲乙两种图书每本的进价分别是元、元，利用它们的数量相等建立分式方程则，求解即可．
设购进甲图书本，用一元一次不等式求解即可．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是正确理解题意，根据题中的数量关系建立方程或不等式，注意分式方程的结果要检验．

26.【答案】证明：在平行四边形中，点是对角线的中点，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，过点作于点，

，，，
，
，
，，
，
，
，
证明：，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
． 

【解析】通过证明≌，得，又，即可证明四边形是平行四边形；
过点作于点，先根据勾股定理求出，由得，即可求出答案；
根据，，得，，则有，再证，得出．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．