2022-2023学年河南省新乡市原阳县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省新乡市原阳县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式：，，，，中，是分式的共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  分式方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  直线过点，，则关于的方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知反比例函数，则下列描述不正确的是(    )

A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 随的增大而减小

7.  如图，在▱中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某家具厂要在开学前赶制套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多套，结果提前天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成套桌凳，则所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次函数的图象经过第(    )

A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限

10.  如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，的面积是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  当 ______ 时，分式无意义．

12.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．

13.  如图，在▱中，连接，已知，，则 ______ ．

14.  在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解是______．

15.  若关于的分式方程有增根，则实数的值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算或解方程：
；
．

17.  本小题分
已知与成正比例，且当时，．
求与之间的函数关系式；
设点在中函数的图象上，求的值．

18.  本小题分
如图，在▱中，是边的中点，延长交的延长线于点求证：是线段的中点．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中是已知两边分别为和的三角形的第三边长，且是整数．

20.  本小题分
根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用药熏消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比例；药物燃烧完毕后，毫克与时间分钟成反比例，如图所示请根据图中所提供的信息，解答下列问题：
求当药物燃烧时，关于的函数关系式；求药物燃烧后，关于的函数关系式．
研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？

21.  本小题分
如图所示，已知▱和▱的顶点，，，在一条直线求证：．

22.  本小题分
反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点．
求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
观察图象，直接写出不等式的解集；
一次函数的图象与轴交于点，连接，，求的面积．

23.  本小题分
随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用元购进了若干台型打印机，用元购进了相同数量的型打印机已知型打印机比型打印机的单价贵元．
型打印机的单价是多少元？
为了促销，批发商针对型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过台，则每台型打印机享九折优惠；若一次性购买超过台，则前台享九折优惠，超过的部分享八折优惠设购买型打印机台，所需费用为元，请写出关于的函数关系式．
在的优惠方案下，若购买型、型打印机共台，且购买型打印机的数量不超过型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是分式，
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．

2.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
依据分式的加减混合运算法则进行运算即可得解．
本题主要考查了分式的加减混合运算，解题时要熟悉运算法则，准确进行运算．

3.【答案】 

【解析】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
故选：．
分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

4.【答案】 

【解析】解：点在平面直角坐标系的第四象限内，
，
解得，，
解得，，
原不等式组无解，
则的取值范围在数轴上表示为．
故选：．
根据第四象限点的特征确定出的范围，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．所求方程的解，即为函数图象与轴交点横坐标，确定出解即可．
【解答】
解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标，
直线过，
方程的解是，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意；
当时，，即图象必经过点，故此选项B正确，不合题意；
图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意；
每个象限内，随的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意；
故选：．
直接利用反比例函数的性质，，当时，每个象限内，随增大而减小，结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析求出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
，
，，
．
故选：．
根据平行四边形的性质和角平分线证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．

8.【答案】 

【解析】解：设原计划每天完成套桌凳，则实际每天完成套，
根据原计划完成的时间实际完成的时间天，
得：，
故选：．
设原计划每天完成套桌凳，则实际每天完成套，根据原计划完成的时间实际完成的时间天列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据原计划完成的时间实际完成的时间天列出方程是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数，当时，随的增大而减小，
，

，
函数图象经过一、二、四象限，
故选：．
由反比例函数当时，随的增大而减小，可以判断；再由一次函数图象的特点可以进一步确定的图象经过第一、二、四象限．
本题考查一次函数与反比例函数图象的性质，解答本题的关键是要灵活掌握在函数图象中的作用，才能正确解题．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，与轴交于点，

轴，点双在曲线上，点在双曲线上，
，，
，
，
．
故选：．
根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解答．
此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比例函数面积与的关系是解本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据分式无意义的条件是分母等于零解答即可．
本题考查的是分式无意义的条件，熟记分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：反比例系数，
函数图像在第二象限和第四象限，每个象限内函数值随的增大而增大，
，
，
故答案为：．
先由得到函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，然后得到，，的大小关系．
本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟知反比例函数的增减性和反比例系数的关系，求得，，的具体取值，然后比较大小．

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
在▱中，，
，
故答案为：．
根据，，可得的度数，根据平行四边形的性质可得，进一步可得的度数．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：将点代入，
得，
，
原方程组的解为．
故答案为：．
先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．

15.【答案】或 

【解析】解：方程两边都乘，得
，
方程有增根，
最简公分母，即增根是或，
把代入整式方程，得
把代入整式方程，得．
的值为或，
故答案为：或．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，最简公分母，即增根是或，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

16.【答案】解：


；
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的根． 

【解析】先计算括号里面的，然后把除法转化为乘法计算即可求出值；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了分式的运算和解分式方程等知识点，能正确根据分式的运算法则进行计算是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．

17.【答案】解：根据题意，设，
把，代入得，解得，
所以与之间的函数关系式为；
把代入得，
所以． 

【解析】由于与成正比例，则可设，然后把，代入可得到关于的方程，求出即可得到与之间的函数关系式；
把代入的关系式中得到关于的方程，然后解方程即可求出的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是线段的中点． 

【解析】由平行四边形的性质得，，所以，而，，即可证明≌，得，所以，则是线段的中点．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．

19.【答案】解：原式



，
是已知两边分别为和的三角形的第三边长，
，即，
为整数，
、、，
由分式有意义的条件可知：、、，
，
原式． 

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．

20.【答案】解：设正比例函数关系式为，设反比例函数关系式为，
由图象可知，点在函数图象上，
，，
，，
正比例函数关系式是，反比例函数关系式是．
当时，．
则从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室． 

【解析】待定系数法解出正比例函数关系式和反比例函数关系式；
将代入反比例函数关系式求出时间即可．
本题考查正比例函数和反比例函数解析式的求法，待定系数法是解决这类题目的基本方法．

21.【答案】证明：如图，连接交于点，

四边形是平行四边形，四边形是平行四边形
，，
，
即． 

【解析】连接交于点，即可得，，进而可推出结论．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解题关键．

22.【答案】解：，在反比例函数的图象上，
，
解得，，
，，
把，代入中得，
解得，
一次函数解析式为．
画出函数图象如图；

由图象可得当或时，直线在反比例函数图象下方，
的解集为或．
把代入得，
解得，
点坐标为，
． 

【解析】将，两坐标先代入反比例函数求出，，然后由待定系数法求函数解析式；
根据直线在曲线下方时的取值范围求解；
由直线解析式求得点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数与方程及不等式的关系是解题的关键．

23.【答案】解：设型打印机的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：型打印机的单价是元；
当时，；
当时，，
；
设购买种花费元，购买型打印机台，则购买型打印机台，
购买型打印机的数量不超过型打印机数量的，
，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为，
此时，
答：购买型打印机台，型打印机台，花费最少，最少花费为元． 

【解析】设型打印机的单价是元，根据购进打印机数量相同得：，解方程并检验可得答案；
分两种情况分别列出函数关系式即可；
设购买种花费元，由购买型打印机的数量不超过型打印机数量的，有，得：，故，再根据一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．