2022-2023学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，在平面直角坐标系中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  根据分式的基本性质，分式可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为
(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  已知第二象限内的点，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，根据图中给出的数据，一定能得到(    )

A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. ∽

8.  如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，轴，若，点、在反比例函数的图象上，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  函数中，自变量的取值范围是______ ．

10.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

11.  一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______ ．

12.  双曲线在每个象限内，函数值随的增大而减小，则的取值范围是______ ．

13.  明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高，小明先在处竖立一根高的标杆，发现点、、在同一直线上测得，，已知，点、、在同一直线上，于点，于点则楼高为______

14.  如图，在中，点、为边三等分点，点、在边上，，点为与的交点若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解方程：；
解方程：；
计算：．
解方程：．

16.  本小题分
如图是某停车场，现仅剩下“”、“”、“”、“”四个车位．
若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是______ ；
分别记这四个车位为、、、，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率．

17.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．

在图中，作的中线．
在图中，在边上找一点，边上找一点，连结，使得，且．
在图中，在边上找一点，连结，使的面积为．

18.  本小题分
如图，一次函数经过点，过点的直线交轴于点．
求的值和直线的函数表达式；
若点在线段上，点在直线上，求的最大值．

19.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，连结交于点，且．
求证：∽；
若，，则的长为______ ．

20.  本小题分
随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人．
求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
预计月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率已知北湖湿地公园月日至月日已接待游客万人，则月份后天日均接待游客人数最多是多少万人？

21.  本小题分
【初步感知】如图，和都是等边三角形，连结，易知：不用证明；

【深入探究】如图，和是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中，，连结、．
求的值；
延长交于点，交于点，则 ______ ；
【拓展提升】如图，和都是直角三角形，，且，连结，延长交于点，交于点，若，则 ______ 用含的式子表示

22.  本小题分
在长春市和沈阳市之间依次有、、三地，甲物流车先从地到达地，经过小时卸货后以原来速度的按原路返回到地，再立即调头前往地，乙物流车比甲物流车早小时出发，从地前往地，结果乙物流车比甲物流车晚小时到达，两车均匀速运动如图是两车距地的距离千米与甲物流车行驶的时间小时之间的函数图象，请解答下列问题：
地距离地______ 千米，乙物流车的速度为______ 千米时，图中 ______ ；
求甲物流车从地返回地的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
直接写出甲乙两物流车在途中相遇时的值．

 

23.  本小题分
如图，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿线段方向运动点和点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒．
用含的代数式表示线段的长；
当与矩形的对角线平行时，求的值；
若点为的中点，求以、、为顶点的三角形与相似时的值；
直接写出点关于直线的对称点落在内部时的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：第四象限点的坐标特征是：横坐标大于零，纵坐标小于零．
故选：．
根据各象限点的坐标规律进行判断即可．
本题考查了各象限内点的坐标特征，若在第四象限，则，．

2.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
根据分式的性质逐个判断即可．
本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于的数，分式的值不变．

3.【答案】 

【解析】解：，
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，



．
故选：．
由题意知，，则，根据，计算求解即可．
本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的方法是关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查相似三角形的性质，属于基础题．
根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【解答】
解：∽，
，又，
所以，
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：在第二象限，
，，
，，
一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选：．
先确定、符号，在确定直线经过的象限．
本题考查了一次函数的图象，掌握数形结合思想是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
，，
，
，
∽，
故选：．
由，，得，由，，得，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴，垂足为，交于点，过点作轴，垂足为，
轴，
，
，，
，
设，则，，
点、点在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
故选：．
利用等腰直角三角形的性质得出，再设，表示点、点坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

10.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，，，，
，
解得，
故答案为：．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．

11.【答案】 

【解析】解：由图象可得：当时，函数的图象在直线的上方，
所以关于的不等式的解集是，
故答案为：．
直接观察函数图象即可解答．
本题主要考查了一次函数与不等式的关系、数形结合思想的应用等知识点，仔细观察图形，抓住关键点交点、原点等是解答本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：双曲线在每个象限内，函数值随的增大而减小，
，
解得：．
故答案为：．
根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是找出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质找出反比例系数的取值范围是关键．

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，
解得：，
楼高为，
故答案为：．
根据垂直定义可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：点、为边的三等分点，
，
，，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
故答案为：．
首先根据点、为边的三等分点得，，根据得和相似，可求出的长，再根据得和相似，从而可求出的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．

15.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
或，
；；



；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解． 

【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用异分母分式加减法法则进行计算，即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：现仅剩下“”、“”、“”、“”四个车位，
有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是，
故答案为：；
由题意，画树状图如图所示：

共有种等可能的结果，其中小明和小红两人停在相邻车位的结果有种，
两人停在相邻车位的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小红两人停在相邻车位的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．

17.【答案】解：如图，中线即为所求；

如图，点，点即为所求；
如图，点即为所求． 

【解析】根据网格即可在图中，作的中线；
利用网格即可在图中，边上找一点，边上找一点，连结，使得，且；
根据的面积为，利用网格即可在图中，在边上找一点，连结，使的面积为．
本题考查了作图应用与设计作图，平行线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是准确利用网格作图．

18.【答案】解：由题知，
因为一次函数经过点，
则，得．
所以点坐标为．
令直线的函数表达式为，
则，解得．
所以直线的函数表达式为．
因为，，且点在线段上，
所以，且．
又点在直线上，
所以．
则．
又，
所以当时，有最大值，
且最大值为：． 

【解析】将点坐标代入可求得的值，再结合，两点坐标可求出直线函数表达式．
用表示出
本题考查一次函数的图象与性质，能用待定系数法求一次函数表达式以及用表示出是解题的关键．

19.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据四边形是平行四边形，，由于，可得，利用“”即可证明∽；
由得∽，可得对应边成比例，代入即可求出的长，进而可以解决问题．
本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键．

20.【答案】解：设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为；
设月份后天日均接待游客人数是万人，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：月份后天日均接待游客人数最多是万人． 

【解析】设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为，利用月份游客人数月份游客人数这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设月份后天日均接待游客人数是万人，根据月份游客人数不超过万人，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】   

【解析】【初步感知】证明：如图，和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，即．
【深入探究】解：如图，，，
，，，
，，
∽，
，
的值是．
∽，
，
，
故答案为：．
【拓展提升】解：如图，，
，
，
∽，
，，
，，
∽，
，
，且，
，
，
故答案为：．
【初步感知】由等边三角形的性质得，，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；
【深入探究】由，，得，，，所以，，即可证明∽，得；
由∽，得，则，于是得到问题的答案；
【拓展提升】由，得，而，即可证明∽，得，，则，，所以∽，得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，适当选择相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键．

22.【答案】     

【解析】解：观察图象得：地距离地千米，乙物流车的速度为千米时，甲物流车卸货后按原路返回到地所用时间为时，
；
故答案为：；；
设函数解析式为
根据题意代入，得：
，解得，
；
根据题意得：甲物流车从地到达地为千米时，
甲物流车从地到达地的函数解析式为，
设甲物流车从地前往地的函数解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
甲物流车从地前往地的函数解析式为，
设乙物流车从地前往地的函数解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
乙物流车从地前往地的函数解析式为，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上所述，甲乙两物流车在途中相遇时的值为或或．
直接观察图象，即可求解；
利用待定系数法解答，即可求解；
分别求出甲物流车从地到达地的函数解析式；甲物流车从地前往地的函数解析式；乙物流车从地前往地的函数解析式，即可求解．
本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．

23.【答案】解：由题意得，，，，
四边形是矩形，
，
当点与点重合时，则，
解得，
当点与点重合时，则，
当时，，
当时，．
当时，如图，，则∽，
，
，
解得；
当时，如图，，则，
，
，
∽，
，
，
解得，
综上所述，的值为或．
点为的中点，，
，
，
当，∽，且时，如图，则，
，
解得；
当，∽，且时，如图，则，
，
解得；
当，∽，且时，如图，则，
，
解得；
当，∽，且时，如图，则，
，
解得，不符合题意，舍去，
综上所述，的值为或或．
连结，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，，
当点落在上时，如图，
，，，
，
，，，
≌，
，
，
，
∽，
，
，
解得；
当点落在上时，如图，
，，，
，
，
，
，
解得，
点落在内部时的取值范围是． 

【解析】由题意得，，则当时，；当时，；
分两种情况讨论，一是当时，，则∽，所以，求得；二是当时，，则，可证明∽，则，求得；
由点为的中点，求得，再分四种情况讨论，一是当，∽，且时，则；二是当，∽，且时，则；三是当，∽，且时，则；四是当，∽，且时，则，解方程求出相应的符合题意的值即可；
连结，则垂直平分，所以，，当点落在上时，先由勾股定理求得，再证明∽，则，求得；当点落在上时，先由勾股定理求得，则，于是得，求得，所以点落在内部时的取值范围是．
此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．