2022-2023学年天津市红桥区高三上学期期末数学试题含答案

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  高三数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9题，每小题5分，共45分.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】方法一：求出集合后可求.【详解】[方法一]：直接法因为，故，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法代入集合，可得，不满足，排除A、D；代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 已知，其中是虚数单位，则（    ）A. 1 B. 3 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合复数相等，求得参数的值，可得答案.【详解】由，，，，则，即，故选：B.3. 设，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可.【详解】由解得，由解得，因为当能推出，而推不出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4. 若直线被圆截得的弦长为4，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆中弦心距、半径、半弦长的关系列出方程求解即可.【详解】由可得，即圆心，半径，则圆心到直线的距离，所以，即，解得，故选：A5. 已知某函数图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据定义域舍去A选项；B选项，根据时，函数值大于0舍去B选项；CD选项，根据导函数求解函数的单调区间，从而确定正确答案.【详解】A选项，的定义域为，故和图象不合，舍去；B选项，当时，，与图象不合，舍去；C选项，定义域为，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，与图象符合，D选项，定义域为，在上恒成立，故在上均单调递减，与图象不合，舍去；故选：C6. 设，则的大小关系为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.【详解】是单调递增函数，，，，是单调递减函数，，故选：B7. 已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为和､假定两球是否落入盒子互不影响.则甲､乙两球至少有一个落入盒子的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出甲乙两球都不落入盒子的概率，即可得到答案.【详解】由题知：甲乙两球都不落入盒子的概率为，所以乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故选：D8. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．考点：双曲线的标准方程． 9. 已知函数.对于下列四种说法，正确的是（    ）①函数的图象关于点成中心对称②函数在上有个极值点.③函数在区间上的最大值为，最小值为④函数在区间上单调递增A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①③④【答案】B【解析】【分析】对于①，，则函数的图象不关于点成中心对称；对于②，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得取到极值点的位置；对于③，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最值；对于④，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的单调性判断即可．【详解】对于①，，的图象不关于点成中心对称，错误；对于②，，则，则当分别取时，函数取到极值，正确；对于③，，则， ，正确；对于④，，则，由于正弦函数在上不单调，错误；故选：B二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 某校高一年级､高二年级､高三年级学生人数之比为，现采用分层抽样的方法从高中各年级共抽取同学参加“流行病学”调查，则高一年级应抽取__________名学生.【答案】【解析】【分析】利用分层抽样的公式计算可得答案．【详解】高一年级应抽取的学生人数为故答案为：11. ________.【答案】【解析】【详解】试题分析：原式，答案：.考点：1.对数运算；2.对数的换底公式.12. 在 的展开式中，的系数为_______.【答案】【解析】【详解】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.考点：二项式定理及二项展开式的通项. 13. 在中，，以边所在直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为__________.【答案】【解析】【分析】根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果.【详解】因为在中，，所以，若以边所在的直线为轴，将旋转一周，所得的几何体是以为高，以为底面圆半径的圆锥，因为，，因此，其体积为：.故答案为：.14. 街道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【答案】【解析】【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有种方法，故答案为：.15. 已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】∵，∴ ，∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点， ，作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下， ，结合图象可知， <b<2，故答案为:.三､解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明､证明过程或演算步骤.16. 在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60°（2）【解析】【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理17. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角和与平面所成的角相等，求线段的长度.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再由线面垂直的判定定理求证；（2）利用向量法求出线面角，根据线面角相等求出即可.【小问1详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，.则各点坐标为：所以.因为，所以，而是平面内的两条相交直线，所以平面；【小问2详解】由题设和（1）知，分别是平面，平面的法向量，而与平面所成的角和与平面所成的角相等，所以即由（1）知，，由，故，解得.所以.18. 已知等比数列公比，且，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，是数列的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项和公比表示出已知条件并解出，可得通项公式；（Ⅱ）由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分类，可求得参数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，则， ∴∵，∴，∴数列的通项公式为． （Ⅱ）解：∴                  ∴                     ∴=∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增．                                                          为奇数时，的最小值为，∴得，   为偶数时，的最小值为，∴，               综上，，即实数的取值范围是．19. 已知椭圆的长轴的两个端点分别为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点，证明：直线的斜率之积为定值.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据长轴两个端点分别为和离心率为，由求解；（2）设，则直线的斜率为，直线的斜率为，再由直线的交点，求得点N的坐标，进而得到直线的斜率，然后结合运算即可.【小问1详解】由题设知，，则，椭圆的方程：；【小问2详解】设，则.因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以点的坐标为.所以直线的斜率为.所以直线的斜率之积为：，则直线的斜率之积为定值.20. 已知函数，（1）若，求的极值；（2）讨论的单调区间；（3）求证：当时，.【答案】（1）极小值为，无极大值    （2）答案见解析    （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，根据正负可确定单调性，由此可得极值；（2）求导后，分别在和情况下，根据正负可得单调性；（3）构造函数，求导后令，利用导数可求得单调性，从而得到恒成立，由此可得单调递减，进而由推导得到结论.【小问1详解】当时，，则其定义域为，；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；的极小值为，无极大值.【小问2详解】由题意得：定义域为，；①当时，，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；②当时，令，解得：，当时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问3详解】令，则，令，则；当时，恒成立，在上单调递减，，在上恒成立，在上单调递减，，即当时，.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、讨论含参数函数单调性和不等式证明的问题；本题证明不等式的基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题.