2023届天津市红桥区高三上学期期末数学试题含答案

2023届天津市红桥区高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】方法一：求出集合后可求.

【详解】[方法一]：直接法

因为，故，故选：B.

[方法二]：【最优解】代入排除法

代入集合，可得，不满足，排除A、D；

代入集合，可得，不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．

2．已知，其中是虚数单位，则（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的四则运算，结合复数相等，求得参数的值，可得答案.

【详解】由，，，，则，即，

故选：B.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可.

【详解】由解得，由解得，

因为当能推出，而推不出，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．若直线被圆截得的弦长为4，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆中弦心距、半径、半弦长的关系列出方程求解即可.

【详解】由可得，

即圆心，半径，

则圆心到直线的距离，

所以，即，解得，

故选：A

5．已知某函数图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据定义域舍去A选项；B选项，根据时，函数值大于0舍去B选项；CD选项，根据导函数求解函数的单调区间，从而确定正确答案.

【详解】A选项，的定义域为，故和图象不合，舍去；

B选项，当时，，与图象不合，舍去；

C选项，定义域为，，

当，时，，单调递增，

当，时，，单调递减，

与图象符合，

D选项，定义域为，

在上恒成立，

故在上均单调递减，与图象不合，舍去；

故选：C

6．设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.

【详解】是单调递增函数，，，

，

是单调递减函数

，

，

故选：B

7．已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为和､假定两球是否落入盒子互不影响.则甲､乙两球至少有一个落入盒子的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出甲乙两球都不落入盒子的概率，即可得到答案.

【详解】由题知：甲乙两球都不落入盒子的概率为，

所以乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

故选：D

8．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．

【解析】双曲线的标准方程．

9．已知函数.对于下列四种说法，正确的是（    ）

①函数的图象关于点成中心对称

②函数在上有个极值点.

③函数在区间上的最大值为，最小值为

④函数在区间上单调递增

A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④

【答案】B

【分析】对于①，，则函数的图象不关于点成中心对称；对于②，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得取到极值点的位置；对于③，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最值；对于④，由的范围，得出的范围，利用正弦函数的单调性判断即可．

【详解】对于①，，的图象不关于点成中心对称，错误；

对于②，，则，则当分别取时，函数取到极值，正确；

对于③，，则， ，正确；

对于④，，则，由于正弦函数在上不单调，错误；

故选：B

二、填空题

10．某校高一年级､高二年级､高三年级学生人数之比为，现采用分层抽样的方法从高中各年级共抽取同学参加“流行病学”调查，则高一年级应抽取__________名学生.

【答案】

【分析】利用分层抽样的公式计算可得答案．

【详解】高一年级应抽取的学生人数为

故答案为：

11．________.

【答案】

【详解】试题分析：原式，答案：.

【解析】1.对数运算；2.对数的换底公式.

12．在 的展开式中，的系数为_______.

【答案】

【详解】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.

【解析】二项式定理及二项展开式的通项.

13．在中，，以边所在直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为__________.

【答案】

【分析】根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果.

【详解】因为在中，，所以，

若以边所在的直线为轴，将旋转一周，所得的几何体是以为高，以为底面圆半径的圆锥，因为，，

因此，其体积为：.

故答案为：.

14．街道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.

【答案】

【分析】采用插空法即可求解.

【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有种方法，

故答案为：.

15．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______.

【答案】

【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.

【详解】∵，

∴ ，

∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，

∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，

即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，

，

作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，

，

结合图象可知，

<b<2，

故答案为:.

三、解答题

16．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值

【答案】（1）B=60°（2）

【详解】（1)由正弦定理得

【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理

17．如图，在四棱锥中，平面，是的中点.

(1)证明：平面；

(2)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求线段的长度.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再由线面垂直的判定定理求证；

（2）利用向量法求出线面角，根据线面角相等求出即可.

【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立空间直角坐标系，设，.

则各点坐标为：

所以.

因为，

所以，而是平面内的两条相交直线，

所以平面；

（2）由题设和（1）知，分别是平面，平面的法向量，而与

平面所成的角和与平面所成的角相等，所以

即

由（1）知，，由，

故.，解得.

所以.

18．已知等比数列的公比，且，．

Ⅰ求数列的通项公式；

Ⅱ设，是数列的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1).

(2).

【详解】试题分析：

（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项和公比表示出已知条件并解出，可得通项公式；

（Ⅱ）由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分类，可求得参数的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）设数列的公比为，则，

∴

∵，∴，∴数列的通项公式为．

（Ⅱ）解：

∴

∴                     

∴=

∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增．                                                          

为奇数时，的最小值为，∴得，   

为偶数时，的最小值为，∴，               

综上，，即实数的取值范围是．

19．已知椭圆的长轴的两个端点分别为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点，证明：直线的斜率之积为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据长轴的两个端点分别为和离心率为，由求解；

（2）设，则直线的斜率为，直线的斜率为，再由直线的交点，求得点N的坐标，进而得到直线的斜率，然后结合运算即可.

【详解】（1）由题设知，，则，

椭圆的方程：；

（2）设，则.

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

所以直线的方程为，所以点的坐标为.

所以直线的斜率为.

所以直线的斜率之积为：，

则直线的斜率之积为定值.

20．已知函数，

(1)若，求的极值；

(2)讨论的单调区间；

(3)求证：当时，.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求导后，根据正负可确定单调性，由此可得极值；

（2）求导后，分别在和的情况下，根据正负可得单调性；

（3）构造函数，求导后令，利用导数可求得单调性，从而得到恒成立，由此可得单调递减，进而由推导得到结论.

【详解】（1）当时，，则其定义域为，；

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

的极小值为，无极大值.

（2）由题意得：定义域为，；

①当时，，在上恒成立，

的单调递增区间为，无单调递减区间；

②当时，令，解得：，

当时，；当时，；

的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）令，则，

令，则；

当时，恒成立，在上单调递减，，

在上恒成立，在上单调递减，

，即当时，.

【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、讨论含参数函数单调性和不等式证明的问题；本题证明不等式的基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题.