2022届江西省丰城市第九中学万载中学、宜春一中高三上学期期末联考数学（理）试题含答案

2022届江西省丰城市第九中学万载中学、宜春一中高三上学期期末联考数学（理）试题

一、单选题

1．集合的真子集的个数是（    ）

A．15 B．8 C．7 D．63

【答案】C

【分析】根据条件求解的范围，结合，得到集合为，写出其真子集即得解.

【详解】由于，

，又，

，

，即集合，

该集合的所有真子集为，

该集合的真子集个数为，

故选：C.

2．已知（i是虚数单位），则（    ）

A．  B．1 C．0 D．i

【答案】B

【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i的性质，即可求得答案.

【详解】由题意,

故选：B

3．已知，，条件，条件，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.

【详解】因，，由得：，则，

当且仅当，即，时取等号，因此，，

因，，由，取，则，，即，，

所以是的充分不必要条件.

故选：A

4．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号、以及函数的零点，结合排除法可得出合适的选项.

【分析】由，可得且，

故函数的定义域为，

，即函数为奇函数，排除D选项；

当时，，，则，则，排除C选项；

由可得，排除B选项.

故选：A.

5．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ）

A．36种 B．48种 C．72种 D．144种

【答案】C

【分析】先从4个视频中选2个，再全选2篇文章，然后将2篇文章捆绑与三个学习内容全排列，最后利用分步计数原理求解.

【详解】根据题意，从4个视频中选2个有种方法，

2篇文章全选有种方法，

2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有种方法，

最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有种方法，

故满足题意的学法有（种）．

故选：C

6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

由表中数据，求得线性回归方程=-4x+a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得样本点，进而得到回归直线方程，再得到在回归直线右上方的点的个数，代入古典概型概率公式求解.

【详解】因为，

，

所以，即

满足的点有，共3个

所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为，

故选：C

7．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（    ）（参考数据：）

A．16 B．10 C．8 D．2

【答案】C

【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.

【详解】因为数学成绩，所以，因此由

所以有，

估计该班数学得分大于120分的学生人数为，

故选：C

8．已知定义在R上的函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在上为增函数，再利用的图像关于直线对称可得，解这个不等式可得的取值范围.

【详解】当时，为增函数，也是增函数，故为增函数.

又因为函数为偶函数，所以的图像关于直线对称.

因为，故即，

两边平方后得到即，

故选D．

【点睛】本题考查函数的单调性和函数图像的对称性，函数单调性的判断一方面要熟悉基本初等函数的单调性，另一方面也要知道复合函数及函数的四则运算后函数单调性的判断方法（一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减）.另外，如果函数的解析式满足，那么函数的图像关于直线对称.

9．已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的一条切线，切点为A，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量数量积公式得到，由勾股定理得到，设，，利用三角恒等变换求出最大值.

【详解】因为为圆O的一条切线，故，

则，解得，

由勾股定理得，即，

可设，，

则，其中，

故的最大值为.

故选：A

10．在中，内角A，B，C的对边分别a，b，c，若，，则，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而可得，根据向量的模长公式，由余弦定理结合基本不等式即可求解.

【详解】由题意知，

由正弦定理知，

，

又，，

故在中,．

，

，

又由余弦定理可得：，

，

由，当且仅当时取等号，

，的最大值为．

又，故的取值范围是，

11．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解

【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；

在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.

因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，

所以所求的概率．

故选：A．

12．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数,证明；构造函数，证明，即得解.

【详解】解：

设

所以

所以所以单调递增，单调递减，

所以

当时，，所以在上恒成立，

所以函数在单调递增，

所以，

所以.

所以.

设，

所以，

设，

所以在上单调递减，

所以，

所以，所以函数在上单调递减，

所以，所以.

故.

故选：B

二、填空题

13．已知函数，则_____

【答案】

【分析】先判断得，代入分段函数解析式计算得，再计算.

【详解】因为，所以，从而得.

故答案为：.

14．若，在展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为65，则展开式常数项为______．

【答案】60

【分析】根据定积分可得，进而由二项式的通项特征即可求解通项为，令即可代入求值.

【详解】，

，

令，故得系数之和为1，而二项式系数和为

由二项式系数和以及项之和可得，

由于二项式展开式的通项为，

令，所以常数项为，

故答案为：60

15．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若，则＝

【答案】

【详解】试题分析：若Sn是等差数列｛an｝的前n项和，

则也是等差数列；

所以也是等差数列，

由可设，则，

于是可得相邻三项和依次为，

即，

所以.

16．若函数图像上有且仅有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用对称性，将问题转化成与有两个不同的交点，从而得到有两个解，再通过分离常量得到，构造函数，利用单调性求出的取值范围，进而求出结果.

【详解】当时，，其关于轴对称的函数为，

因为函数图像上有且仅有两对点关于轴对称，所以，由，得到，所以有两个不同的交点，

令，则，所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，

又当时，，当时，，故的图象如图，

所以，

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数，为奇函数，其图像相邻的对称轴之间的距离为．

(1)求函数的解析式及其减区间；

(2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，若，，，求．

【答案】(1)，的减区间为；

(2).

【分析】（1）由辅助角公式化简函数解析式，然后由对称轴间距离求得周期得，由奇函数性质得，从而得解析式，然后利用正弦函数的单调性得减区间；

（2）由（1）求得，利用正弦定理求，由内角和公式求，由三角形面积公式求．

【详解】（1），

由函数相邻的对称轴之间的距离为，，

所以，又，故

∴，

又∵为奇函数，∴，即，

得，即，而，故，

因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又，所以为奇函数，满足要求，

令，得，

∴的减区间为；

（2）由（1）可知，又，

所以，即，

∵，∴，

∴，即，

由正弦定理可得，又，，

所以，所以，

因为，所以，所以，

所以，

所以.

18．根据11月份中国某信息网发布的我国A市2021年上半年新锐品牌人群用户（新锐品牌人群，指在指定周期内浏览新锐品牌相关内容以及商品详情页的人群）性别分析数据，得到男性、女性用户比例为．A市对购买家电类新锐品牌人群中随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，统计出每位顾客购买家电消费金额，根据这些数据得到如下的频数分布表：

(1)若以我国A市2021年上半年新锐品牌人群用户性别分析数据作为A市抽取新锐品牌人群中性别概率，从A市新锐品牌人群中随机抽取4人，X为4人中男性的人数，求X的数学期望．

(2)根据A市统计购买家电消费金额数据频数分布表，完成下列列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为购买家电类新锐品牌人群消费金额千元以上与性别有关？

附：，

【答案】(1)3

(2)列联表见解析；有的把握.

【分析】（1）计算出从A市新锐品牌人群中随机抽取1人为男性的概率为，判断，即可求得答案；

（2）由题意得出列联表，计算的值，与临界值表比较，即可得结论.

【详解】（1）由题意知以我国A市2021年上半年新锐品牌人群用户性别分析数据作为A市抽取新锐品牌人群中性别概率，

男性、女性用户比例为，故从A市新锐品牌人群中随机抽取1人为男性的概率为，

则随机抽取4人，X为4人中男性的人数，则,

故X的数学期望为.

（2）由题意可得列联表：

故，

故有的把握认为购买家电类新锐品牌人群消费金额千元以上与性别有关.

19．已知数列满足，且.

(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；

(2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列满足__________，求的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)证明见解析，

(2)答案见解析

【分析】（1）利用递推公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；

（2）若选①：利用错位相减法进行求解即可；

若选②：根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可；

若选③：根据裂项相消法进行求解即可.

【详解】（1）因为，

所以，又，于是，

所以是以4为首项2为公比的等比数列.

所以，两边除以得，.

又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.

所以，即.

（2）若选①：，即.

因为，

所以.

两式相减得，

，

所以.

若选②：，即.

所以

若选③：，即.

所以

20．甲、乙两支女子排球队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束），假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．

(1)求乙队获胜的概率；

(2)设比赛结束时甲队和乙队共进行了局比赛，求随机变量的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题意，结合五局三胜制规则，分别求得比赛三、四和五局且乙队获胜的概率进而求得乙队获胜的概率；

（2）随机变量的取值为3，4，5，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望.

【详解】（1）由题意知，比赛三局且乙队获胜的概率，

比赛四局且乙队获胜的概率为，

比赛五局且乙队获胜的概率为，

所以乙队获胜的概率为．

（2）依题意随机变量的可能取值为，，，

则，，

，

所以随机变量的分布列为

所以．

21．已知函数．

(1)当，时，讨论函数的单调性；

(2)若，且，若，求实数的m最大值．

【答案】(1)答案见解析；

(2)m最大值为．

【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间；

（2）首先求出函数的导函数，依题意方程有两个正根，利用韦达定理得到不等式组，即可求出参数的取值范围，从而得到，再令，利用导数求其范围，由此可得m最大值．

【详解】（1）因为

当，时，可得，

令，解得或2，

当时，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，当且仅当时取等号，

故函数在上单调递增；

当时，

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递减，

当时，函数在上单调递增，

（2）当时，．

所以方程有两个正根，

且，解得，

由题意得

，

令．

则在上单调递椷，

，

，

因为恒成立，

所以，

所以m最大值为．

【点睛】关键点点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：和：，曲线分别交，于，两点.

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)求的面积.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）先求出曲线的普通方程，再求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设，所以，设，可得，再求解.

【详解】（1）解：由参数方程（为参数），可得

消去可得的普通方程为.

又代入，可得，

即的极坐标方程为；

由极坐标方程，可得，

所以的直角坐标方程为.

（2）解：设，将代入，可得，所以.

设，同理可得，

所以.

23．己知函数．

(1)解关于x的不等式；

(2)记的最小值为m，若a、b、c都是正实数，且，求证：．

【答案】(1)不等式的解集为或；

(2)证明见解析.

【分析】（1）化简函数解析式，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）由已知可得，利用柯西不等式即可证得原不等式成立.

【详解】（1）由，可得，

当时，由，解得，此时；

当时，，此时不等式无解；

当时，由，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为或.

（2）由绝对值三角不等式可得，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，故，

由题意可知，正实数、、满足，

由柯西不等式可得，

当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.