2023届上海市徐汇中学高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2023届上海市徐汇中学高三上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市徐汇中学高三上学期期中数学试题 一、填空题1．若集合，集合，则        ．【答案】/或【分析】解绝对值不等式、分式不等式分别求集合A、B，再应用集合交运算求.【详解】由题设，，或，∴或.故答案为：2．已知函数，则函数的最小正周期是          ．【答案】【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.【详解】，故，故答案为：．3．二项式的展开式中常数项为      .【答案】240【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入得出答案.【详解】二项式的通项公式为，令，解得，则展开式中常数项为，故答案为：2404．双曲线两条渐近线的夹角大小是          【答案】60°/【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的斜率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故答案为：.5．已知在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，则公比q=          【答案】1或【分析】由a3=7，S3=21，得到求解.【详解】解：因为在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，所以，两式相除得： ，解得或，故答案为：1或6．函数在点处的切线方程为    ．【答案】【分析】先求出切点坐标，利用导数求切线的斜率，再由导数的几何意义求解即可.【详解】因为，所以，，所以函数在点处的切线斜率为，所以函数在点处的切线方程为：.故答案为：7．若，是正实数，且，则的最小值为         ．【答案】；【分析】利用“1”的代换，将转化为，再利用基本不等式求解.【详解】因为， ，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：8．若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与（，）互为“邻位复数”， 则的最大值       ．【答案】9【分析】由已知条件与复数模长的计算公式可知，所求表达式表示点到原点的距离的平方，利用两点间距离公式和圆的性质即可求解.【详解】因为复数与互为“邻位复数”，所以，故，即，其表示的是点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而表示点到原点的距离，故的最大值为原点到圆心的距离加半径，即，所以的最大值为，故答案为：9. 9．设是上的奇函数，，当 时, ,则当时，的图象与x轴所围成图形的面积=       ．【答案】4【分析】由可得 是以 4 为周期的周期函数,再结合奇函数的性质即可推导出函数 的图象关于直线 对称，结合函数图像即可得出结论.【详解】由 得,所以 是以 4 为周期的周期函数,由 是奇函数且 , 得 ,即 .故知函数 的图象关于直线 对称.又当 时, , 且 的图象关于原点成中心对称, 则 的图象如图所示：  当 时, 的图象与轴围成的图形面积为 , 则  .故答案为：4.10．如图，在正四棱柱中，，，点为上的动点，则的最小值为            .【答案】【解析】将平面与平面延展至同一平面，由、、三点共线可求得的最小值.【详解】如下图所示，将平面与平面延展至同一平面，，延展后，，由勾股定理可得.由图形可知，当、、三点共线时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.11．已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为      ．【答案】【分析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且 所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型.12．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为        .【答案】【分析】根据函数的图像，将曲线方程中的绝对值去掉，化为分段函数的形式，然后画出这个分段函数的图像，根据图像和直线的交点有两个，求得实数的取值范围.【详解】如图，可知 由图可知，直线与曲线恰有两个公共点，则或【点睛】本小题主要考查对数函数的图像，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题. 二、单选题13．某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用概率公式计算得到答案.【详解】 故选【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.14．使得成立的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，若，，则满足，但不能得出；所以不是的充分不必要条件；故A错；B选项，若，则，但不能得出，所以不是的充分不必要条件；故B错；C选项，若，，则满足，但不能得出；所以不是的充分不必要条件；故C错；D选项，由可得，则，能推出，反之不能推出，所以是的充分不必要条件；故D正确.故选：D.【点睛】结论点睛：判定充分条件和必要条件时，一般可根据概念直接判定，有时也需要根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．15．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合基本不等式，求得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，两个正实数x，y满足，则，当且仅当，即时，等号成立，又由恒成立，可得，即，解得，即实数m的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中利用基本不等式求得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列进行重新编辑，重新编辑后的新序列为，它的第项为.若序列的所有项都是2，且，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则，利用累乘法可求得，利用可构造方程求得结果.【详解】设，序列的所有项都是，，即，，∴ ，，解得：.故选：D.【点睛】本题考查数列新定义运算问题的求解，关键是能够明确新定义运算实际给出了数列的递推关系式，根据递推关系式选择累乘法即可求得数列的通项公式. 三、解答题17．在棱长为4的正方体中，点在棱上且，  (1)求与 所成角的大小(2)求点到平面的距离【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意可得∥，所以为异面直线与 所成的角，然后在中求解即可，（2）利用求解【详解】（1）连接，因为在正方体中，∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，所以为异面直线与 所成的角，因为正方体的棱长为4，点在棱上且，所以，所以，，，所以由余弦定理得,所以，所以与 所成角的大小为，  （2）连接，设点到平面的距离为，因为，为锐角，所以，所以，因为，所以，所以，解得18．如图定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点（、在同一象限内），称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的“伴随点”为．  (1)求椭圆及其“伴随圆”的方程；(2)求的最大值，并求此时“伴随点”的坐标；【答案】(1)椭圆的方程；伴随圆的方程为(2)， 【分析】（1）利用待定系数法，把已知点分别代入椭圆，得出结果；（2）设，根据并结合基本不等式得出结果.【详解】（1）因为椭圆过点，伴随圆过点，所以，解得，∴椭圆的方程；伴随圆的方程为．（2）设，则；，当且仅当，即时等号成立，此时．  19．我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．求海域ABCD的面积；现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD．.【分析】利用扇环的面积公式求出海域ABCD的面积；由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P的位置，判断点P是否在海域ABCD内．【详解】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由，点不在区域ABCD内，由，点也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题．20．观察数列：①；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；③.(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果________________，对于一切正整数都满足___________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；(2)若数列满足，为的前项和，且，求数列的周期，并求； (3)若数列的首项，，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论．【答案】(1)存在正整数，使(2)以6为周期的周期数列；(3)不是周期数列，证明见解析 【分析】（1）类比周期函数的定义即可得出答案；（2）先求出数列是以为周期的周期数列，再由周期性即可求出；（3）当时，是递增数列，不是周期数列，再由数学归纳法证明即可.【详解】（1）存在正整数，使；（2）由，所以，所以 ，所以数列是以为周期的周期数列；由，由题意：，所以，又，因为，所以；（3）当时，是周期数列，因为此时为常数列，所以对任意给定的正整数及任意正整数，都有，符合周期数列的定义。当时，是递增数列，不是周期数列.下面用数学归纳法进行证明：①当时，因为所以，且,所以且.②假设当时，结论成立，即，且则，即，所以当时，结论也成立.根据①、②可知，是递增数列，不是周期数列.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据递推关系得数列是周期为6的数列，再结合（2）中的条件，可求出前六项之和为0，求解即可.21．对于函数，若函数是严格增函数，则称函数具有性质．(1)若，求的解析式，并判断是否具有性质；(2)判断命题“严格减函数不具有性质”是否真命题，并说明理由；(3)若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】(1)，具有性质A；(2)假命题，理由见解析；(3)详见解析. 【分析】（1）由，结合即可得出解析式，由单调性，进而可得出结果；（2）判断命题“严格减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；（3）若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k的取值范围，即可求出结果.【详解】（1），，在R上递增，可知具有性质A；（2）命题“严格减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；（3）若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；，令，得，即或，得或或，令，则，由在递减，且值域为，则时，无解；当时，，有一个解；当时，，即有两个解； 综上：当时，在区间上零点的个数为；当时，在区间上零点的个数为；当时，在区间上零点的个数为；【点睛】关键点睛：本题考查函数的新概念问题，涉及到函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析是解决本题的关键.