2024届广东省湛江市第一中学高三上学期开学考试数学试题含答案

  湛江第一中学2024届高三级开学考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：高考范围.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数，则（）

A.    B.2    C.    D.3

3.在中，为中点，为中点，，则（）

A.    B.1    C.    D.-1

4.已知函数，则的增区间为（）

A.    B.    C.    D.

5.设公差不为零的等差数列的前项和为，则（）

A.15    B.1    C.-1    D.-9

6.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（）

A.    B.3    C.    D.4

7.已知为钝角，，则的值为（）

A.    B.-2    C.    D.

8.已知函数且满足，则的最小值为（）

A.    B.    C.1    D.2

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.一组数据：，则（）

A.这组数据的平均数为6    B.这组数据的方差为16

C.这组数据的极差为11    D.这组数据的第70百分位数为7

10.已知函数，则（）

A.有两个零点    B.有两个极值点

C.恒成立    D.恒成立

11.已知圆与圆相交于两点，则（）

A.圆的圆心坐标为

B.当时，

C.当且时，

D.当时，的最小值为

12.《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑中，，其外接球的表面积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（）

A.

B.此鳖臑的体积的最大值为

C.直线与平面所成角的余弦值为

D.三棱锥的内切球的半径为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式的展开式中含的系数为__________.

14.小张､小陈､小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为__________.

15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________.

16.双曲线的左，右焦点分别为，右支上有一点，满足的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，内角所对的边分别为，已知.

（1）若，求的值；

（2）若，求角的大小.

18.（本小题满分12分）

已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱中，平面平面.

（1）证明：；

（2）若为上一点，且，求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12 分）

2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表：

（1）求的值；

（2）依据上表，根据小概率值的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；

（3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：参考公式：，其中.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）求证：.