2024届广东省实验中学七校联合体高三开学第一次联考（8月）数学试卷含答案

这是一份2024届广东省实验中学七校联合体高三开学第一次联考（8月）数学试卷含答案，共15页。试卷主要包含了若复数满足，已知向量，且，则|a-b|等于，已知，则，已知函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
  七校联合体2024届高三第一次联考试卷（8月）数学科目命题学校： 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B的子集个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．42．若复数满足（i是虚数单位），则的模长等于（    ）A．1 B． C． D．3．已知向量，且，则等于（    ）A．5 B． C． D．4．函数在区间上不单调，则的取值范围是(     )A． B． C． D．5．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.A．B．C．D．6．已知，则（    ）A． B． C． D．7．在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（    ）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分又不必要8．已知函数（，）在上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．下列说法正确的是（    ）A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组 10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（    ）A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍D．记地震里氏震级为，地震释放的能量为，则11．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（    ）A． B．C． D．12．已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（    ）A．异面直线与所成角为B．点到平面的距离为C．四面体的外接球体积为D．动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某医院传染病科室有5名医生．4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生．2名护士，则不同的选取方法有______种．14．在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则__________.15．已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.16．已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．    四.解答题17．（10分）已知锐角的内角的对边分别为，.(1)求；(2)若，求面积的取值范围.  18．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?  19．（12分）设为实数，函数，.(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.  20．（12分）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．   21．（12分）已知椭圆的焦距为2，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．  22．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：1234523298604020求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；（3）证明：附：经验回归方程系数：，；参考数据：，，（其中，）．                               七校联合体2024届高三第一次联考试卷（8月）数学科目（答案）DDABBCCD8．【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得，（，）.根据正弦函数单调递增区间可知，（）上单调递增，化简得，；∴函数的单调增区间为，（）.∵在上单调递减，可得，解得，（）.又，当时，可得；当时，可得.故选：D.9．AB10．ACD.11．BCD11.对于D：，，所以是奇函数；根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”.12．BC12.【详解】取中点,连接,可得面,则,故A错误；在四面体中，过点作面于点,则为为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B正确；设为正四面体的中心则为内切球的半径，我外接球的半径，因为，所以，即,所以四面体的外接球体积,故C正确；建系如图：,设，则因为，所以，即，平方化简可得：，可知点的轨迹为双曲线,故D错误.  13．【详解】符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士．选取名医生、名护士的方法有：种；选取名医生、名护士的方法有：种；综上所述：满足题意的选取方法共有种．故答案为：.14．【详解】由题意，延长线段与的延长线交于点，连接交于，连接，故平面延展开后即为平面，将该正方体分成的两部分一部分是三棱台，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨设正方体棱长为3，，，即.故答案为：.15．【分析】函数过定点（0，-2），由数形结合： 16．【详解】由，可设，由，得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）.因为是的角平分线，且故也为的角平分线，为的内心.如图，设，，则由双曲线与内切圆的性质可得，，又，所以，，在上的投影长为，则在上的投影向量为．17．【详解】（1）解：由正弦定理可得，又由，因为，可得，因为，可得，所以，又因为，所以.（2）解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，因为，所以，由三角形面积公式得又由正弦定理且，所以，因为，所以，所以，所以，即面积的取值范围为.18．(1)因为三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．，．由题设（）．因为，所以，所以．(2)设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时．19．(1)解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.(2)解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.20．【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：.21．【详解】（1）由椭圆C的焦距为2，故，则，又由椭圆C经过点，代入C得，得，，所以椭圆的方程为：．（2）根据题意，直线的斜率显然不为零，令由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，与联立得，，则，设，，，，设存在点T，设T点坐标为，由，得，又因为，所以，，所以直线TA和TB关于x轴对称，其倾斜角互补，即有，则：，所以，所以，，即，即，解得，符合题意，即存在点T满足题意.22．【详解】（1）由题知，的取值可能为1，2，3所以；；；所以的分布列为：123所以数学期望为.（2）令，则；，由题知：，，所以，所以，，故所求的回归方程为：，所以，估计时，；估计时，；估计时，；预测成功的总人数为.（3）由题知，在前轮就成功的概率为又因为在前轮没有成功的概率为，故