2024届广东省六校（东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学）高三上学期第一次联考数学试题含答案

  东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学2024届高三第一次六校联考试题

数学

本试卷共22题，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等信息填涂在答题卡的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将解答过程写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，只需将答题卡上交.

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A.    B.

C.    D.或

2.在复平面上，复数的共轭复数对应的向量是（）

A.    B.

C.    D.

3.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率等于（）

A.    B.3    C.    D.2

4.某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量以上的袋数大约是（）

A.5    B.10    C.20    D.40

5.已知等差数列的公差不为且成等比数列，其前项和为，则（）

A.    B.

C.    D.

6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）

A.0.475    B.0.525    C.0.425    D.0.575

7.已知奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为（）

A.    B.

C.    D.

8.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等.下列说法正确的是（）

A.高一年级学生人数为120人

B.无人机社团的学生人数为17人

C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人

D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法

10.已知函数，则下列判断正确的是（）

A.的图象关于直线对称

B.的图象关于点对称

C.在区间上单调递增

D.当时，

11.如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的是（）

A.直线可能与平面相交

B.三棱锥与三棱锥的体积之和为

C.的周长的最小值为

D.当点是的中点时，与平面所成角最大

12.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（）

A.的解集为

B.当时，

C.有且只有两个零点

D.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是__________.

14.已知的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是__________.

15.设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则__________.

16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆，则C的蒙日圆O的方程为__________；在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆C的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是__________.（第一空2分，第二空3分）

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题10分）

已知等差数列满足，数列是以1为首项，公比为3的等比数列.

（1）求和；

（2）令，求数列的最大项.

18.（本小题12分）

在中，为中点，.

（1）若，求的面积；

（2）若，求的长.

19.（本小题12分）.

如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面是棱上的动点.

（1）当是棱的中点时，求证：平面：

（2）若，求点到平面距离的范围.

20.（本小题12分）

某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：）得到如下统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于）和的零件为二等品，否则零件为三等品.

（1）完成列联表，依据的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？

（2）将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这2个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望，

（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用，现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

附：，其中

21.（本小题12分）

已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，短轴的顶点分别为，四边形的面积为（点在轴的上方）为椭圆上的两点，点在轴上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，且直线与圆相切于点，求.

22.（本小题12分）

已知函数.

（1）若在区间上恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数和有公切线，求实数的取值范围.

东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学

2024届高三第一次六校联考数学参考答案

一､单选题，二多选题：

三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）

13.7.85    14.    15.-2    16.

四､解答题

17.解：（1）解法一：因为数列是以1为首项，公比为3的等比数列，

所以，因为，所以.

因为数列是等差数列，

所以，即，解得

所以，所以.

解法二：因为数列是以1为首项，公比为3的等比数列，所以，

因为数列是等差数列，设公差为，则.

所以，

所以所以

（2）因为，

当时，；当时，；当时，.

当时，，即，.

所以数列的最大项是第10项

18.解：（1）在中，，

由余弦定理可知，

因为，所以，

所以；

（2）在中，设，则由正弦定理，

即，得，所以，

，

所以，

所以，.

由正弦定理得：，即.

19.解：（1）证明：因为平面平面，且平面平面，所以.

取的中点，连接，

因为是棱的中点，所以，且，

因为且，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，则，

因为平面平面，所以平面..

（2）取的中点，连接.

因为是正三角形，所以.

又因为平面平面，平面平面平面，

所以，平面.

因为为的中点，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，则，

因为，则，

以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，所以，

设，其中，则，

设平面的法向量，

所以，

令，得，

设点到平面距离为.

当时，；

当时，，则，

当且仅当时等号成立.

综上，点到平面距离的取值范围是.

20.解：（1）由题意得列联表如下：

依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.

（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，

任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，

的所有可能取值为，则

的分布列为：

（3）由已知零件为三等品的频率为，

设余下的40个零件中三等品个数为，则，

设检验费用与赔偿费用之和为，若不对余下的所有零件进行检验，则，所以，

若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为元，

应对剩下零件进行检验..

21.解：（1）由题意知，四边形为菱形，面积为，即，

又，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设，直线的方程为，

由得，联立得，

则，由，

得，

所以，

化简得，易知原点到直线的距离，

又直线与圆相切，

所以，即

由，

得，即，

解得，则，满足，所以，

在Rt中，.

22.解：（1）由题意，当时，

设，

则，

，

令，得（舍负），.

所以在上单调递减，在上单调递增，

.

根据题意的取值范围为

（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，

则

，

，代入.

得

问题转化为：关于的方程有解，

设，则函数有零点，

，

当时，.

问题转化为：的最小值小于或等于0.

，

设，则

当时，，当时，.

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为.

由知，

故.

设，

则，故在上单调递增，

当时，，

的最小值等价于.

又函数在上单调递增，