2024届广东省六校（东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学）高三上学期第一次联考数学试题含答案

2024届广东省六校（东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学）高三上学期第一次联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法，求得集合的元素，根据对数函数的定义域，求得集合的元素，利用集合的交集，可得答案.

【详解】由，，解得或，则；

由，，解得，则.

.

故选：D.

2．在复平面上，复数的共轭复数对应的向量是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】根据共轭复数的定义，并结合复数的几何意义，可得答案.

【详解】由复数，则其共轭复数，即复数对于的向量.

故选：A.

3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率等于（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】不妨设双曲线的方程为，由条件求关系，由此可求离心率.

【详解】不妨设双曲线的方程为，则

双曲线的渐近线方程为，

因为双曲线的两条渐近线互相垂直，

所以，故，

所以双曲线的离心率，

故选：A.

4．某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量在以上的袋数大约是（    ）

A．5 B．10 C．20 D．40

【答案】B

【分析】根据大米质量，利用正态分布的对称性求出，再列式计算作答.

【详解】因大米质量，且，

则，

所以大米质量在以上的袋数大约为.

故选：B.

5．已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出通项公式，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.

【详解】设等差数列的公差为d（）.

因为且成等比数列，所以.

解得：，所以.

对于A：，故A错误；

对于B：因为，所以，故B错误；

对于C：因为

所以，故C错误；

对于D：因为，故D正确.

故选：D

6．在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（    ）

A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575

【答案】B

【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可.

【详解】设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”，

则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”，

所以，，，，，，

所以接收信号为0的概率为：，

所以接收信号为1的概率为：.

故选：B.

7．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意：，

且：，

据此：，

结合函数的单调性有：，

即.

本题选择C选项.

【解析】 指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

8．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围.

【详解】设过点的直线为，

，设切点为，

则 ，得有三个解，

令，，

当，得或，，得，

所以在，单调递增，单调递减，

又，，有三个解，

得，即.

故选：D

【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.

二、多选题

9．某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是（    ）

A．高一年级学生人数为120人

B．无人机社团的学生人数为17人

C．若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人

D．若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法

【答案】AC

【分析】根据图表所给出的数据，分别计算出5个社团的具体人数和占高一年级总人数的比例，再逐项求解.

【详解】由题目所给的数据可知：民族舞的人数为12，占高一年级总人数的比例为，所以高一年级的总人数为 ，

英文剧场的人数 ，

辩论的人数=30，

无人机=数学建模= ，占高一年级人数的比例是 ，

故A正确，B错误，分层抽样20人，无人机应派出（人），C正确，

甲乙丙三人报名参加社团，每人有5种选法，共有种报名方法，D错误；

故选：AC.

10．已知函数，则下列判断正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．在区间上单调递增

D．当时，

【答案】BC

【分析】AB选项，化简得到，代入和，检验是否是对称轴和对称中心；C选项，求出，从而得到C正确；D选项，求出，得到.

【详解】A选项，，

当时，，故的图象不关于直线对称，A错误；

B选项，当时，，故的图象关于点对称，B正确；

C选项，时，，因为在上单调递增，

故在区间上单调递增，C正确；

D选项，时，，故，D错误.

故选：BC

11．如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ）

A．直线可能与平面相交

B．三棱锥与三棱锥的体积之和为

C．的周长的最小值为

D．当点是的中点时，与平面所成角最大

【答案】BD

【分析】对于A，根据线面平行和面面平行推出平面，故A错误；对于B，根据等体积法求出两个三棱锥的体积之和可得B正确；对于C，将平面与平面展成同一平面，根据点共线时，最小，计算可得C错误；对于D，当点是的中点时，可证平面，从而可得D正确；

【详解】对于A，连，，，，，

因为，平面，平面，

所以平面，同理得平面，

又平面，，

所以平面平面，因为平面，

所以平面，故A错误；

对于B，过点作，垂足为，作，垂足为，

易得，因为平面，所以平面，

，因为平面，所以平面，

因为，，所以，

所以

.故B正确；

对于C，的周长为，，则最小时，的周长最小，

将平面与平面展成同一平面，如图：

当点共线时，最小，

作，交的延长线于，则，，

则，

所以，即的周长的最小值为，故C错误；

对于D，当点是的中点时，，

因为平面，平面，所以，

因为，平面，所以平面，

所以与平面所成角为，为最大角，故D正确.

故选：BD

【点睛】关键点点睛：C选项中将平面与平面展成同一平面，根据点共线求的最小值是解题关键.

12．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（    ）

A．的解集为

B．当时，

C．有且只有两个零点

D．

【答案】ABD

【分析】由函数的奇偶性求解可判断B；利用B中的结论及已知条件解不等式可判断A；由函数的解析式及奇函数的性质求出零点可判断C；利用导数研究函数的最值可判断D.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，

当时，，则，故B正确；

当时，，由即，解得；

当时，，由即，解得，

所以的解集为，故A正确；

当时，由，解得；

因为是定义在上的奇函数，所以；

当时，由，解得，

故有且只有三个零点，故C错误；

当时，，，

故在上单调递增，所以，，

则，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是        .

【答案】

【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可.

【详解】将样本数据按从小到大排列可得，，，，

又，

所以样本数据的下四分位数为，

故答案为：.

14．已知的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是        .

【答案】

【分析】根据二项式系数的性质求n，然后由通项公式可得.

【详解】由题可得，，解得，

所以.

故答案为：

15．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则           .

【答案】

【分析】根据题意求解可得对称中心，再根据对称中心的性质求解即可.

【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，.

故答案为：

四、双空题

16．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：，则的蒙日圆的方程为        ；在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是        .

【答案】         

【分析】根据蒙日圆的定义，可知点一定在蒙日圆上，可求得蒙日圆的半径，进而求得蒙日圆的方程；根据圆与圆的位置关系列不等式求的取值范围.

【详解】椭圆的右顶点为，上顶点为，

过点的椭圆的切线方程为，

过点的椭圆的切线方程为，

直线与直线的交点为，

所以点在蒙日圆上，

所以蒙日圆的半径，

所以蒙日圆的方程为；

因为过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，

所以点在上，

又点在圆上，

故圆与圆有交点，

所以，

所以，

故答案为：，.

五、解答题

17．已知等差数列满足，数列是以1为首项，公比为3的等比数列.

(1)求和；

(2)令，求数列的最大项.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）方法一：由等比数列通项公式求，由数列的通项公式求其前三项，由条件列方程求，由此可得；

方法二：由等比数列通项公式求，设数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式化简条件可求，由此可得；

（2）由可得时，，时，，再利用不等式法判断数列的单调性，由此可求结论.

【详解】（1）解法一：因为数列是以1为首项，公比为3的等比数列，

所以，

因为，

所以，，.

因为数列是等差数列，

所以，即，

解得.

所以，

所以.

解法二：因为数列是以1为首项，公比为3的等比数列，

所以，

因为数列是等差数列，设公差为，则.

所以，

所以，

所以.

（2）因为，

当时，；

当时，；

当时，.

当时，，即，.

所以数列的最大项是第10项.

18．在中，为中点，．

(1)若，求的面积；

(2)若，求的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根据三角形的面积公式即可得解；

（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.

【详解】（1）在中，，

由余弦定理可知，

因为，所以，

所以;

（2）在中，设,

则由正弦定理，

即，得，所以，

，

所以，

所以，

由正弦定理得：，即．

19．如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.

(1)当是棱的中点时，求证：平面；

(2)若，，求点到平面距离的范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的性质推导出，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）取的中点，连接，证明出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到平面距离的范围.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，且平面平面，所以.

取的中点，连接、，

因为是棱的中点，所以，且，

因为且，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，则，

因为平面，平面，所以平面.

（2）解：取的中点，连接.

因为是正三角形，所以.

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以，平面，

因为，，为的中点，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，则，

因为，则，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，所以，

设，其中，

则，

设平面的法向量，

所以，

令，得，

设点到平面距离为，.

当时，；

当时，，则，

当且仅当时等号成立.

综上，点到平面距离的取值范围是.

20．某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：）得到如下统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于和的零件为二等品，否则零件为三等品.

(1)完成列联表，依据的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？

(2)将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这2个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望；

(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

附，其中；.

【答案】(1)列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．

(2)答案见解析

(3)需要对该箱余下的所有零件进行检验，理由见解析

【分析】（1）作出列联表，求出，，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．

（2）任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．

（3）由二项分布可知，求出，分别求出对剩下的所有零件检测和不检测的费用，比较大小即可求解.

【详解】（1）由题意得列联表如下：

，

，

依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．

（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，

任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，

的所有可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

．（3）由已知零件为三等品的频率为，

设余下的40个零件中三等品个数为，则，

，

设检验费用与赔偿费用之和为，

若不对余下的所有零件进行检验，则,所以

若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为元，

，

应对剩下零件进行检验．

21．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，短轴的顶点分别为，四边形的面积为（点在轴的上方）为椭圆上的两点，点在轴上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若，且直线与圆相切于点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率与菱形面积的计算公式，结合椭圆中的关系，建立方程组，可得答案；

（2）设出点的坐标，进而设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，写出韦达定理，根据题目中的等量关系，整理等式，建立关于参数的方程组，可解得答案.

【详解】（1）

由题意知，四边形为菱形，面积为，即，

又，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）  

设，直线的方程为，

由，得，联立，得，

，

则，由，

得，所以，

化简得，易知原点到直线的距离，

又直线与圆相切，所以，即

由，得，即，

解得，则，满足，所以，

在中，.

22．已知函数.

(1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围；

(2)若函数和有公切线，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，用导数法解即可；

（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，

由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解.

【详解】（1）由题意，当时，设，

则，

，

令，得（舍负）

在上单调递减，在上单调递增，

.

根据题意的取值范围为.

（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，

则，

，代入

得.

问题转化为：关于的方程有解，

设，则函数有零点，

，当时，

.

问题转化为：的最小值小于或等于0.

，

设，则

当时，，当时，.

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为.

由知，

故.

设，

则，

故在上单调递增，

当时，，

的最小值等价于.

又函数在上单调递增，

.

【点睛】方法点睛：对于函数与函数有相同的切线问题，一般设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，利用消元法，转化为方程有解求解.