2023届湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学（湖南师大附中梅溪湖中学）等2校高三下学期3月联考数学试题含答案

湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学（湖南师大附中梅溪湖中学）等2校2023届高三下学期3月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，将集合化简，然后由集合的运算即可得到结果.

【详解】因为，

且，所以

故选:A

2．数列中，，（为正整数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由递推式证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求数列的通项，由此可求数列的通项公式.

【详解】因为，所以，

又，可得，

所以数列为首项为1，公差为的等差数列，

所以，

所以，

故选：B.

3．已知正项等比数列{an}满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（    ）

A．9 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等比数列的通项公式求出公比及m与n的关系式，由于，所以采取逐一代入法求解最值即可.

【详解】依题意，正项等比数列{a}满足，

所以，即，解得q＝2或q＝－1．

因为数列{a}是正项等比数列，所以，所以.

因为，

所以，且，

当m＝1，n＝3时，，

当m＝n＝2时，，

当m＝3，n＝1时，，

则的最小值为.

故选：B．

4．如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，设，，，则下列向量与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意得出，再用向量线性运算化简后可得.

【详解】因为M在四面体OABC的棱BC的中点，所以，

又点N在线段OM上，且，

故点为的三等分点，所以，

所以.

故选与相等的向量的向量是；

故选：A.

5．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围.

【详解】解法一：

由题意知，，设.

则.

因为，所以，所以，

所以．

解法二：

由题意知，．

设，取线段AF的中点N，则，连接MN.

则.

因为，所以，所以，

所以．

故选：D．

6．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D；当时，，排除选项A，可得正确结论．

【详解】函数定义域为，且

，是奇函数，排除选项C和D；

当时，，排除选项A；

故选：B

7．已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.

【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；

由图可知，利用整体代换可得，

所以，若为已知，则可求得.

故选：B

8．已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可求出，根据全概率公式直接求解即可.

【详解】由题意知，，

所以

.

故选:B.

二、多选题

9．已知函数，下面关于x的方程的实数根的个数，说法正确的是（    ）

A．当时，原方程有6个根

B．当时，原方程有6个根

C．当时，原方程有4个根

D．不论a取何值，原方程都不可能有7个根

【答案】ABC

【分析】由解析式可画出图像，则方程的根的个数为函数的图像与直线交点的个数.结合图像可知在m取各种值时的根的情况，

又，后分别判断各选项即可.

【详解】令，则方程实根的个数等价于函数的图像与直线交点的个数，由于，

做出函数的图像，如下图所示：

当时，函数的图像与直线交3点的只有1个，故方程实根的个数为1个；

当或时，函数的图像与直线交点的有2个，故方程实根的个数为2个；

当时，函数的图像与直线交点的有3个，故方程实根的个数为3个．

方程，可化为.

AB选项，当时，，方程有3个不等实数根，分别记为，，，且，，，

从而方程有1个实数根，方程有3个不等实数根，方程有2个不等实数根，

∴方程有6个不等实根，故AB正确；

当时．，方程有2个实数根分别为－1，1，

从而方程有1个实数根，方程有3个不等实数根，

∴方程有4个不等实根，故C正确；

当时，，方程有3个不等实数根，分别为0，和e，

从而方程有2个不等实数根，方程有3个不等实数根，方程有2个不等实数根，

则方程有7个不等实根故D错误；

故选：ABC．

【点睛】关键点点睛：本题涉及用数形结合思想研究函数的零点，难度较大.函数有零点等价于函数对应方程有根，故对于可较为方便画出图像的函数常用数形结合研究函数零点，其次对于含的表达式，常令，从而简化式子.

10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ）

A．， B．函数既有极大值又有极小值

C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图像相切

【答案】AB

【分析】根据“拐点”的定义与的对称中心，建立方程求出可判断A，再由导数与函数单调性的关系即可判断的极值，从而判断B，根据的单调性及的极值可判断C，根据导数的几何意义求出的切线方程，从而转化为切点个数问题即可判断D.

【详解】，，

，即，解得，故A正确；

，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以既有极大值又有极小值，故B正确；

由选项B可知在与处取得极大值与极小值，

又，，即的极大值与极小值大于0，所以函数不会有3个零点，故C错误；

设切点为，则切线方程为，

又切线过，则，

化简得，即，解得或，

即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误.

故选：AB.

11．如图，设E，F分别是正方体的棱CD上的两个动点，点E在F的左边，且，，点P在线段上运动，则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．三棱锥的体积为定值

C．点P到平面的距离为

D．直线与直线所成角的余弦值的最大值为

【答案】BC

【分析】A选项，假设与平面垂直，又⊥平面，推出矛盾；B选项，等体积法求解三棱锥体积为定值；C选项，等体积法求解点到平面的距离；D选项，建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值的最大值.

【详解】对于A，平面与平面为同一个平面，假设⊥平面，则⊥平面，

连接交于，由为正方形，，

正方体中，平面，

平面，

又，平面，⊥平面，

则可推出平面与平面平行或重合，由图易知这两个平面显然是相交的，矛盾，故A错误．

对于B，因为，而定值，也为定值，

所以为定值，故B正确．

对于C，因为，平面，所以平面．

又点P在线段上运动，所以点P到平面的距离等于点B到平面的距离，

其中，．

设点B到平面 的距离为d，由，得：，

解得：，即点P到平面的距离为，故C正确．

对于D，以D为原点，分别以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，．

设直线与成的角为，

当时，，，此时

当时，

，

当且仅当时，等号成立，故D错误．

故选：BC

12．棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．平面

C．平面截正方体外接球所得圆的面积为

D．正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，如图所示，

对AB，利用向量法判断线面平行、线面垂直；

对C，由向量法求点面距离判断外接球到及所截圆心重合，进而可求面积；

对D，将所求曲线转化为球截面上的圆弧长，进而逐个表面讨论即可.

【详解】建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，

对A，设平面的法向量为，，，，

则有，令得，

由，而FG不在平面ACB1中，

故平面，A对；

对B，，，由，，

∵平面，故平面，B对；

对C，设，则O为正方体外接球心，，外接球半径，

设平面，由，，平面，则，故与重合，

故平面截正方体外接球所得圆的面积为，C错；

对D，由题意，所求的点可看作正方体与半径为的球E的交点，则由球的性质，

在表面上，∵，故只有两个交点，不形成曲线；

在表面上，形成的曲线为以为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为；

在表面上，形成的曲线为以中点为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为.

由正方体的对称性，所求的曲线长度为，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．设，则满足在上恒正的是__________.（填写序号）

①；②；③；④.

【答案】①③

【分析】求导，根据题意逐项分析运算.

【详解】对①：，则，

故在上恒成立，①成立；

对②：，则，

故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；

对③：，则，

故在上恒成立，③成立；

对④：由，解得，

故的定义域为，

则，故在上恒成立，④不成立；

故答案为：①③.

14．已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.

【答案】

【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解作答.

【详解】数列的前n项和为，，，当时，，

两式相减得：，即，而，解得，

因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，

，

所以.

故答案为：

15．若且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为______．

【答案】4

【分析】首先根据题意得到圆与圆内切，从而得到，再利用基本不等式求解即可.

【详解】圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为3.

因为圆和圆只有一条公切线，

所以圆与圆内切，所以，即，

所以，

当且仅当时等号成立，所以的最小值为4．

故答案为：4

16．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：

（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；

（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；

真命题的个数为________

【答案】3

【分析】根据新定义逐一判断即可求解

【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，

（2）若数域有非零元素，则，

从而，故（2）正确；

（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，

（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，

故真命题的个数是3.

故答案为：3

四、解答题

17．已知函数在区间上有最大值2和最小值1.

(1)求的值；

(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出；

（2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围；

（3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围.

【详解】（1）由已知可得.

当时，在上为增函数，所以，解得；

当时，在上为减函数，所以，解得.

由于，所以.

（2）由（1）知，

所以在上恒成立，即，

因为，所以在上恒成立，

即在上恒成立，

又，当且仅当时取等号.

所以，即.

所以求实数的范围为.

（3）方程化为，

化为，且.

令，则方程化为.

作出的函数图象

因为方程有三个不同的实数解，

所以有两个根，

且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.

设，

记，

根据二次函数的图象与性质可得

，或，

解得.

所以实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况.

18．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)先将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数，求在区间上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式；

（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得在上的值域.

【详解】（1）解：由图可知，，

函数的最小正周期为，，

，可得，

，则，，则，

所以，.

（2）解：将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，

再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象，

则，

当时，，则，所以，，

因此，在区间上的值域为.

19．某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：

假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，

(1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；

(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.

参考公式：，.

【答案】(1)；

(2)约万件.

【分析】（1）由参考公式可算出销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；

（2）将代入由（1）算得的回归方程可得答案.

【详解】（1）由题，可得，

，

，

.

则，.

故回归方程为：.

（2）将代入回归方程，则.

故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约万件.

20．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．

(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；

(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．

【答案】(1)分布列见解析；期望为

(2)

【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；

（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.

【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，

由题意得：，，

甲的得分X的可能取值为，

，

，

所以X的分布列为：

.

（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，

甲3轮各得1分的概率为，

甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，

甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，

甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，

所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.

21．设函数部分图像如图所示．

(1)求；

(2)求函数的单调递减区间．

【答案】(1)，，

(2)．

【分析】（1）利用最低点的值找到的值，由图像得，从而取出周期，进而求出，将图像上的点代入表达式中，结合题目所给即可求出的值；

（2）先求出函数的单调递减区间，根据所给的区间分析求得函数的单调递减区间.

【详解】（1）由题意得，则周期为，

则，

所以，

将代入得，所以，即，

由可得，则；

（2），

令，

得，

令，则，

因为，

所以单调递减区间为．

22．如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.

(1)用表示向量；

(2)若点F在AC上，且，求AF∶CF.

【答案】(1).

(2)

【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；

（2）设＝λ(0＜λ＜1)，由向量线性运算用表示出，再与已知比较求得后即可得．

【详解】（1）因为＝－＝，点D是AC的中点，

所以＝＝()，

因为点E是BD的中点，

所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.

（2）设＝λ(0＜λ＜1)，

所以＝＋＝＋λ＝，.

又＝，所以λ＝，

所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.