2023届广西名校高三下学期3月份联考数学（理）试题含答案

这是一份2023届广西名校高三下学期3月份联考数学（理）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广西名校高三下学期3月份联考数学（理）试题 一、单选题1．集合，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式求集合A，由指数函数的性质求集合B，利用集合的交运算求即可.【详解】，而，∴.故选：B2．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（    ）A．所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A，利用直方图中2小时至小时之间的频率判断A;对B，计算超过3小时的频率可判断B;对C，根据直方图中平均数的公式计算，可判断C;对D，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业，故A正确；对B，由直方图得超过3小时的频率为,所以B正确；对C，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：，所以C正确；对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误.故选:D．3．若复数满足，则的模为（    ）A．5 B．3 C． D．【答案】A【分析】根据复数乘法和减法的运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.【详解】由，所以，故选：A4．心理学家经常用函数测定时间（单位：）内的记忆量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．已知一个学生在内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率约为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再取对数得出k的值.【详解】由题意可得：，则，取对数整理得.故选：A.5．已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.由，得，从而，∴.∵，∴.故选:B6．一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧视图（左）视图为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由正视图和俯视图可得几何体的直观图，由直观图可得侧（左）视图.【详解】由正（主）视图、俯视图可得几何体的直观图如下图所示，侧（左）视图如下图所示，故选：C．7．已知是等差数列的公差，是的首项，是的前项和，设甲：存在最小值，乙：且，则甲是乙的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】举特例可判断充分性；根据且，可得出，即可得出的单调性，判断必要性.【详解】若，则，显然时，有最小值.所以，存在最小值，得不出且；若乙成立，即且，则，所以，当时，有，所以，为单调递增数列，所以最小，所以，存在最小值，即甲成立.所以，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.8．如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山在西偏北的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，使用正弦定理得到，再在中，由特殊角的三角函数值求出答案.【详解】在中，，，所以，因为，所以由正弦定理得：，即，解得：，在中，，所以.故选：B9．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式以及二倍角公式可得，整理可得，然后根据角的范围得出的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，所以有，整理可得，，所以.因为，所以，所以，.故选：C.10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ）A．120种 B．240种 C．1092种 D．408种【答案】D【分析】由题意先求出“射”不在第一次的不同次序数，去掉“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数即可得解.【详解】每周安排一次讲座，共讲六次．因为“射”不在第一次的不同次序数为，其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，于是得，所以“六艺”讲座不同的次序共有种.故选：D.11．三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可求得，进而得出.作图设出球心以及外接圆的圆心为，则，且，根据正弦定理即可得出外接圆的圆心的半径，进而即可得出外接球的半径，根据面积，即可得出答案.【详解】由已知可得，即为直线与平面所成的角，所以.因为，所以，所以.如图，设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，则，且.在中，设外接圆的半径为，则由正弦定理可得，所以，即.因为，所以，所以，三棱锥的外接球的半径，所以，三棱锥的外接球的体积.故选：A.12．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，故，代入解析式即得解【详解】为奇函数, ，偶函数，，，即，．令，则，，．故函数周期为4故选：B 二、填空题13．曲线在点处的切线斜率为______．【答案】【分析】根据导数的几何意义求切线斜率.【详解】，，故答案为：14．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为___________.【答案】【分析】对两边平方，化简可求出与的数量积，从而可求出两向量的夹角【详解】解：因为，是单位向量，所以，所以由，得，所以，所以，因为，所以，故答案为：15．已知双曲线的左､右焦点分别为，，，是双曲线上关于原点对称的两点，且.若，则四边形的面积为___________.【答案】【分析】设，，由余弦定理可得，由椭圆中的关系即可求出，从而代入三角形的面积公式可求出，进而可选出正确答案.【详解】由对称性可知四边形是平行四边形，所以.设，，则在中，由余弦定理得，即，即.又，所以，所以，所以.故答案为: 【点睛】关键点睛:本题的关键是将四边形的面积转化为两个全等三角形的面积之和，通过余弦定理和椭圆中的关系求出面积.16．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为_____．【答案】【分析】利用图象求出函数的解析式，然后解不等式可得出正整数的最小值.【详解】由图可知函数的最小正周期为，，，可得，所以，，则，取，则，，所以，，，由可得，则或，即或，（i）由可得，解得，此时，正整数的最小值为；（ii）由可得，解得，此时，正整数的最小值为.综上所述，满足条件的正整数的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值. 三、解答题17．为了调查抖音平台某直播间带货服务的满意程度，现随机调查了年龄在20岁至70岁的100人，他们年龄的频数分布和“满意”的人数如下表（其中）：年龄/岁[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]频数1525302010满意13a2716b(1)从[60，70]段中随机抽取一人“满意”的概率为0.4，若以频率估计概率，以上表的样本据来估计总体，求从全国玩抖音的市民（假设年龄均在20岁至70岁）中随机抽取一人是“满意”的概率(2)根据（1）的数据，填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄低于岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异； 年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计满意   不满意   合计   附：，其中．0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)80%(2)表格见解析，有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异 【分析】(1)先计算，，再计算概率；(2)结合列联表计算即可判断.【详解】（1）由，且，得，，∴从100人随机抽取一人“满意”的概率为，以频率估计概率，从全国玩抖音的市民中随机抽取一人是“满意”的概率为80%．（2）列联表 年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计满意602080不满意101020合计7030100的观测值，∴有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异.18．已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：(1)已知数列满足______，求的通项公式；(2)已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选①，由已知可推得，进而得出数列是常数列，从而得出；若选②，由已知推得，进而根据与的关系，即可推得；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列是等差数列.然后由已知求得，即可得出.（2）根据已知可求出，然后根据对数运算以及裂项化简可得，然后相加即可得出.【详解】（1）若选①且由可得.又，所以数列是常数列，且，所以.若选②由已知可得，.当时，有；当时，有，，两式作差可得，，所以.又满足，所以.若选③且，由可得，，所以，数列是等差数列.又，，所以，所以，所以.（2）由（1）知，，所以.设等比数列公比为，由已知可得，解得，所以.所以，所以.19．如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；（2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论.【详解】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，EM⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC；（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，，，，设平面EMN的法向量为，由，令，得，平面BEN的一个法向量为，故，解得：m=1，故存在N为BC的中点.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．20．已知函数.(1)当时，求函数的最大值；(2)若关于x的方1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其单调性后可得函数的最大值.（2）利用同构可将原方程转化为有两个不同的正数根，利用导数结合零点存在定理可求参数的取值范围.【详解】（1）当时，，故，当时，，故在上为增函数，当时，，故在上为减函数，故.（2）方程即为，整理得到：，令，故，因为均为上的增函数，故为上的增函数，而，故的解为，因为方程有两个不同的实数根，故有两个不同的正数根，设，则，若，则，故在上为增函数，在上至多一个零点，与题设矛盾；若，则时，；时，，故在上为增函数，在上为减函数，由有两个不同的零点可得，故.当时，，而，故在有且只有一个零点，又，设，令，，则，故在上为减函数，故，故，故在有且只有一个零点，综上.【点睛】思路点睛：导数背景下的函数的零点问题，注意根据解析式的同构特征合理构建新函数，后者可利用导数讨论其单调性，并结合零点存在定理检验零点的存在性.21．已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为时，.(1)求抛物线的方程；(2)求证：过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理与焦点弦长公式即可得出抛物线的方程；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理得出以为直径的圆的方程，然后与过焦点且垂直于的直线联立求解即可得出答案．【详解】（1）当直线的倾斜角为时，设直线的方程为，联立方程，得：，∴，，∴，∴抛物线的方程为．（2）抛物线：的焦点，设直线的方程为，，，联立方程得：，∴，，，，设以为直径的圆上任意一点为，则,即，则以为直径的圆的方程为：，即：，代入得：，过焦点且垂直于的直线为：，联立方程，得：即：，解得：或3，所以过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线和上．22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.（1）求证：；（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）将 代入极坐标方程，求出，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得，则；又得.四边形面积为，化简可得结果.【详解】（1）由 ，则 ；（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：解得；平面直角坐标为：则；又得.即四边形面积为为所求.【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.23．已知实数，满足．（1）若，求证：；（2）设，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用基本不等式可证得，再由基本不等式计算的最值，即可求证；（2）利用反证法证明，假设，将已知条件平方可得，由已知条件可知可得，得出矛盾即可得证.【详解】（1）时，，因为 所以，，从而当且仅当即时等号成立，（2）假设，则由，知，故．又由，得但由知矛盾，故不成立，所以．【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值或证明不等式时，必须满足一正、二定、三相等，验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.