2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期11月月度质量检测数学试题含答案

2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期11月月度质量检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数以及对数函数的单调性，确定集合,求出，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意得，，

故，所以，

故选：B.

2．已知，，，下列说法正确的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，利用导数研究单调性可比较，，利用导数研究单调性可比较，即可求解

【详解】设，则在上恒成立，

所以在单调递增，

所以，即，

所以，

又在单调递增，

所以，即，

所以；

设，则在上恒成立，

所以在单调递减，

所以，即，

所以，即

所以；

综上所述：，

故选：C

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AD是∠A的平分线，，，则的最小值是（    ）

A．6 B． C． D．10

【答案】C

【分析】首先根据等面积法建立的等量关系，再利用不等式“乘1法”求最小值即可.

【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则.

则，，

而,代入化简得，，即.则，

当且仅当，即时，等号成立.故最小值为.

故选：C

4．购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续购买两天该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（    ）

A．第一种方式购买物品的单价为 B．

C．第一种购买方式所用单价更低 D．第二种购买方式所用单价更低

【答案】D

【分析】分别计算出两种不同策略的平均价格，比较两种平均价格的大小.

【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为,则平均价格为，故A不正确；

第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为，第一次能购得该物品的数量为， 第二次能购得该物品的数量为，则平均价格为；

，

所以，故B错误，同时说明第二种购买方式所用单价更低；

故选：D

5．数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】采用累乘法可求得；利用错位相减法可求得；分别代入和即可求得结果.

【详解】由得：，

；

设，

则，

，

，

，即，

.

故选：B.

6．已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出即可．

【详解】解：如图

在矩形中，

，

在中，

，

，

，

．

故选：A．

7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（    ）

A．999 B．749 C．499 D．249

【答案】A

【分析】构造法判断为等比数列，为常数列，进而可得，再由，结合新定义有，最后利用裂项相消法求的前n项和.

【详解】由，得，又，

所以数列是以4为首项，5为公比的等比数列，则①，

由得：，又，

所以数列是常数列，则②，

由①②联立得.

因为，所以，即，

所以，故，

所以，则.

故选：A

8．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简题目所给不等式，构造函数，由在区间上恒成立分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】不妨设，

则，

即，

令

，

则，

∴在单调递增，

对恒成立，

而恒成立，

令，，

则在单调递减，

∴，

∴，

的取值范围是.

故选：A

【点睛】利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法，然后通过求函数的最值来求得参数的取值范围.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）．

A．若，且，则

B．若，，，则的最小值为4

C．函数的最小值为4

D．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，

【答案】AB

【分析】利用基本不等式可判断A;根据对数运算可得，再结合基本不等式可判断B;利用换元法将化为函数，，结合其性质判断C;求出数列的通项公式，可得的表达式，即可判断D.

【详解】对于A，若，且，因为 ，

即，A正确；

对于B, 若，，,则，

则，即，故，

当且仅当是取得等号，故的最小值为4，B正确；

对于C,当时，，令 ，

则函数，单调递减，故，

即函数的最小值为2，C错误；

对于D, 各项均为正数的数列满足，，

则

，

满足上式，所以,

所以，当时，，当时，，

由于，故D错误，

故选：AB.

10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）

A．平分

B．

C．延长交直线于点，则三点共线

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；

对于B，直接代入即可得到；

对于C，结合题意求得，由的纵坐标相同得三点共线；

对于D，由选项A可知.

【详解】根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，

所以，故直线为，即，

依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，

对于A，，，故，所以，

又因为轴，轴，所以，故，

所以，则平分，故A正确；

对于B，因为，故，故B错误；

对于C，易得的方程为，联立，故，

又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；

对于D，由选项A知，故D正确.

故选：ACD.

.

11．在棱长为2的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（    ）

A．三棱锥的外接球表面积为

B．三棱锥的体积为定值

C．过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形面积为

D．直线与平面所成角的正弦值的范围为

【答案】BCD

【分析】求出三棱锥外接球的直径与表面积，可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；做出截面图形，利用三角形的面积公式可判断C选项；计算出点到平面的距离，以及的取值范围，结合线面角的定义可判断D选项.

【详解】

对于A选项，三棱锥外接球即为正方体的外接球，

正方体的外接球直径为，

故三棱锥外接球的表面积为，A错误；

对于B选项，因为且，故四边形为平行四边形，

所以，，平面，平面，平面，

，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

，，B正确；

对于C选项，且，则四边形为平行四边形，

所以，，

平面，平面，所以，平面，

又因为平面，，所以，平面平面，

所以，过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，

易知是边长为的等边三角形，该三角形的面积为，C正确；

设点到平面的距离为，由知，

点到平面的距离为，

当点在线段上运动时，因为，若为的中点时，，，

当点为线段的端点时，，即，

设直线与平面所成角为，，D正确.

故选：BCD．

12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D在边上，和的面积分别为和且，则（    ）

A． B．

C．面积的最小值是 D．的最小值为6

【答案】AC

【分析】利用三角形面积结合条件推出以，可判断A,B；根据正弦定理表示出和，进而表示出面积，结合三角函数性质求最值，判断C；表示出，由此设，求出导数，利用导数判断函数单调性，进而判断的最小值不为6，判断D.

【详解】如图所示，

因为,

且,所以，

所以，,因为为三角形内角，

所以，故，故A项正确，B项错误；

，所以 ，

在 中， 即；

在中，由正弦定理可得，即，

所以，

所以，因为，所以，

当时， 取得最小值8，

所以，

即 面积的最小值是 ，故C项正确；

，设，

则，在单调递减，在单调递增，故在单调递增，

因为 ，

故存在满足，且在单调递减，在单调递增，

故 因此 的最小值不是6，故D错误.

故选：

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是判断的最小值是否为6，这一项的判断综合性很大，计算量也大，关键点在于利用正弦定理表示出后，要利用构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性进行判断.

三、填空题

13．考虑集合的非空子集，若其子集中的奇数的个数不少于偶数个数，则称这个子集叫做“奇子集”，则S的“奇子集”的个数为         ．

【答案】162

【分析】分类讨论，考虑子集中的奇数个数一定时，偶数的个数的可能的情况，将每种情况的自己个数相加，可得答案.

【详解】由题意知的元素中有4个奇数和4个偶数，

当子集中的奇数的个数为1个时，S的“奇子集”的个数为个；

当子集中的奇数的个数为2个时，S的“奇子集”的个数为个；

当子集中的奇数的个数为3个时，S的“奇子集”的个数为个；

当子集中的奇数的个数为4个时，S的“奇子集”的个数为个；

故S的“奇子集”的个数为，

故答案为：162.

14．已知复数满足，则的最小值为      .

【答案】

【分析】根据复数的几何意义求解．

【详解】解：，

∴ 在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，

的几何意义为圆上的点到的距离，

如图，

的最小值为

．

故答案为：．

15．已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是        .

【答案】9

【分析】由题设条件可得的奇偶性和周期性，结合在上的解析式可作出在上的大致图像；构造函数，利用奇偶性的判断及复合函数的单调性，可作出在上的大致图像；再分别考虑一下在与上与的交点情况，从而可作出与在上的交点情况，由此得解.

【详解】因为函数是偶函数，所以，

又因为，令，则，故，即，即，

所以，即是周期为的周期函数，

因为当时，，利用的奇偶性可作出在上的图像，再利用的周期性可依次作出上的图像，

令，由得，故的定义域关于原点对称，

又，所以也是偶函数，

当时，，由与易知在上单调递增，；

同理：当时，在上单调递增，且恒成立；

再利用的奇偶性，即可作出在上的图像，

又因为当时，由得，解得或，故与在上有两个交点，

特别地，当时，易知，由得，整理得，即，故与在上只有一个交点，

至此，利用与的奇偶性可作出两者的图像（含交点情况）如图，显然共有个交点，

所以方程在区间上的解的个数为.

故答案为：.

16．已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则          ．

【答案】

【分析】设,利用焦半径公式得到,设，写出垂直平分线方程，代入，化简得到值，最终求出的值.

【详解】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），

椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d，

则

，

所以，

因为本题椭圆离心率:，设

由焦半径公式:得:,

即中点，，则垂直平分线斜率为

根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，

则线段的垂直平分线方程为,代入得:

,即,则.

故答案为：.

【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，，，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.

四、解答题

17．已知各项均为正数的数列满足：，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求，并确定最小正整数n，使为整数．

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）由题意知，所以为等比数列，由此可得数列的通项公式；

（2）由题设条件知，为使为整数，当且仅当为整数，由此可确定最小正整数．

【详解】（1）条件可化为，

因此为一个等比数列，其公比为2，首项为，

所以①

因，由①式解出②

（2）由①式有

＝，

为使为整数，当且仅当为整数．

当n＝1，2时，显然不为整数，

当时，

只需为整数，因为3n－1与3互质，所以n为9的整数倍．

当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9．

18．在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．

(1)若cos∠CBD＝，求；

(2)记四边形ABCD的面积为,求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求出，再利用，求出，进而利用正弦定理，即可求得答案.

（2）设，利用余弦定理，解得，再由，利用三角恒等变换，化简得到，，进而利用三角函数的性质，即可求出的最大值.

【详解】（1）

如图，，设，，得

，整理得，，，解得，又由，则有，故，解得，

（2）在中，设，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，，

四边形ABCD的面积为，得

.

当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为.

19．为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：

设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过

(1)求出列联表中数据，y，M，N的值：

(2)求与的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：

(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？

（参考公式，其中

【答案】(1)

(2)，即说明药物有效

(3)不能够有99%的把握认为药物有效.

【分析】(1)根据，求出的值，根据列联表中各个数据的关系，得到另外三个值；

(2)分别计算,比较后得到结论；

(3)计算K2的值，由参考数据得出结论．

【详解】（1），

，

，，，；

即，，，；

（2）取值为0、1、2，

，

∴

取值为0、1、2，

，，

∴

∴，即说明药物有效.

（3）∵，

∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效

20．已知圆 ​， 点​是直线​上一动点， 过点​作圆​的切线​， 切点分别是​和​.

(1)当点​的横坐标为 3 时， 求切线的方程;

(2)试问直线​是否恒过定点， 若是求出这个定点， 若否说明理由.

【答案】(1)或；

(2)直线​恒过定点​，理由见解析

【分析】（1）分斜率存在，不存在讨论，根据直线与圆的位置关系即得；

（2）设​，由题可得以​为直径的圆的方程，结合条件可得公共弦​的方程进而即得.

【详解】（1）由题可知，由圆 ​，可知圆心为，半径为1，

当切线的斜率不存在时，满足题意，

当切线的斜率存在时，可设切线为，

则，解得，

所以切线为，即，

所以切线的方程为或；

（2）直线​恒过定点​，

设​， 由题意知​在以​为直径的圆上， 又​，

 则以​为直径的圆的方程为​，

即​，

又圆 ​， 即​，

两式相减， 故直线​的方程为​，

即​，

由​， 解得​，

即直线​恒过定点​.

21．如图，正三棱柱中，分别是棱，上的点，平面，且M是AB的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若，求平面BEF与平面BCE夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）在平面中构造与平面垂直的直线，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，通过两个法向量夹角和二面角夹角之间的关系，即可求得结果.

【详解】（1）过作的平行线交分别于点，连接，如下所示：

因为是正三棱柱，故可得面面，故；

又三角形为等边三角形，为中点，故；

又面，，故面；

因为////，则确定一个平面，即面，

又//面，面面，故可得//，

则面，又面，故面面.

（2）根据（1）中所证，可得////，故四边形为平行四边形，

在△中，因为//，且点为中点，故可得，又，则；

又两两垂直，故以为坐标原点，连接，建立如图所示空间直角坐标系：

设，则，

，

设平面的法向量为，

则，即，解得，取，则，

故平面的一个法向量；

设平面的法向量为，

则，则，取，则，

故平面的一个法向量；

设平面所成二面角的平面角为，

则.

故平面BEF与平面BCE夹角的余弦值为.

22．已知函数是方程的两个根，是的导数，设.

(1)求的值；

(2)已知对任意的正整数n，都有，记，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接解一元二次方程即可；

（2）首先得到，而，

利用完全平方式及得到，则证明其为等比数列，

最后利用等比数列求和公式即可得到答案.

【详解】（1）由，解得方程的两根为，

又是方程的两个根,且,

（2），

，且，

，

，

即是以为首项,以2为公比的等比数列.故数列前项之和为

.

【点睛】本题综合性，创新性较强，难点在第二问，首先得到和之间关系，然后是对的化简，利用之前得到的关系式，将代换，再结合完全平方式和是的两根即可证明为等比数列，求出其前和即可，所以转化，换元，整体代换等是这类难题常用的方法.